目標(biāo)散布已知情況下魚(yú)雷發(fā)現(xiàn)概率計(jì)算方法

于雪泳，李本昌，黃文斌

(海軍潛艇學(xué)院，山東 青島 266042)

0 引言

在目標(biāo)位置散布概率密度已知的情況下，計(jì)算某種搜索行動(dòng)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率，對(duì)于搜索決策的優(yōu)化具有十分重要的意義。

求解聲自導(dǎo)魚(yú)雷機(jī)動(dòng)搜索發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率，是這類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)典型實(shí)例。

1 問(wèn)題的描述

目標(biāo)散布概率密度已知情況下，聲自導(dǎo)魚(yú)雷機(jī)動(dòng)搜索發(fā)現(xiàn)目標(biāo)概率的計(jì)算，需要明確已知條件和要求解的問(wèn)題。其中已知條件包括目標(biāo)散布概率密度、聲自導(dǎo)魚(yú)雷探測(cè)手段和聲自導(dǎo)魚(yú)雷搜索彈道。

1.1 目標(biāo)散布概率密度

目標(biāo)散布概率密度表征了目標(biāo)位置點(diǎn)在二維空間中的分布情況，在魚(yú)雷攻擊過(guò)程中，目標(biāo)散布概率密度是動(dòng)態(tài)的，即目標(biāo)散布概率密度是時(shí)間的函數(shù)。在潛艇自行跟蹤、解算目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素和引導(dǎo)兵力通報(bào)目標(biāo)信息情況下，可以求得目標(biāo)散布概率密度近似符合二維正態(tài)分布，即平面直角坐標(biāo)系(x，y)處存在目標(biāo)的概率p(x，y)的表達(dá)式為

式中:σx為x軸方向的標(biāo)準(zhǔn)差，σx是時(shí)間的函數(shù)，即σx=σx(t);σy為y軸方向的標(biāo)準(zhǔn)差，σy是時(shí)間的函數(shù)，即σy=σy(t);r為協(xié)方差，r是時(shí)間的函數(shù)，即r=r(t)。

1.2 聲自導(dǎo)魚(yú)雷探測(cè)手段

聲自導(dǎo)魚(yú)雷通過(guò)聲吶設(shè)備探測(cè)目標(biāo)，為方便問(wèn)題的求解，將聲自導(dǎo)魚(yú)雷探測(cè)能力用發(fā)現(xiàn)目標(biāo)距離d和魚(yú)雷搜索有效扇面角±α表示。當(dāng)目標(biāo)處于魚(yú)雷搜索有效扇面之內(nèi)且距離小于d時(shí)，即認(rèn)為魚(yú)雷發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，如圖1所示。

1.3 聲自導(dǎo)魚(yú)雷搜索彈道

圖1 魚(yú)雷探測(cè)能力示意圖Fig.1 Map of torpedo detection capacity

魚(yú)雷機(jī)動(dòng)搜索彈道是魚(yú)雷機(jī)動(dòng)過(guò)程中，按時(shí)間順序形成的魚(yú)雷位置點(diǎn)的數(shù)據(jù)序列。一般情況下，魚(yú)雷搜索彈道不能用一個(gè)確定的函數(shù)來(lái)表達(dá)，而用魚(yú)雷彈道仿真程序中的數(shù)值方式來(lái)描述。即

當(dāng)t=t1時(shí)，x=x1，y=y1;當(dāng)t=t2時(shí)，x=x2，y=y2。

1.4 要求解的問(wèn)題

一般情況下，要考察魚(yú)雷的機(jī)動(dòng)搜索過(guò)程內(nèi)或從開(kāi)始搜索到某時(shí)刻范圍內(nèi)，即t［0，T］的時(shí)間范圍內(nèi)，魚(yú)雷搜索到目標(biāo)的概率P。

2 問(wèn)題的解決思路

因已知目標(biāo)散布概率密度是時(shí)間的函數(shù)，且可以用確定的函數(shù)表達(dá)，魚(yú)雷機(jī)動(dòng)搜索彈道也可以確定，要求魚(yú)雷在時(shí)間［0，T］范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率。可以考慮魚(yú)雷在某時(shí)間段［t，t+Δt］內(nèi)用魚(yú)雷有效作用范圍所經(jīng)過(guò)的區(qū)域作為積分區(qū)間，用目標(biāo)散布概率密度在t時(shí)刻的數(shù)值作為被積函數(shù)，用數(shù)值積分的方法求出［t，t+Δt］內(nèi)魚(yú)雷發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率。當(dāng)Δt→0時(shí)，求得的發(fā)現(xiàn)概率為［t，t+Δt］時(shí)間段內(nèi)魚(yú)雷發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率dP(t)。對(duì)dP(t)在區(qū)間［0，T］進(jìn)行積分計(jì)算，即為［0，T］時(shí)間段內(nèi)魚(yú)雷機(jī)動(dòng)搜索發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率。即

在計(jì)算dP(t)的過(guò)程中，因被積函數(shù) (即目標(biāo)散布概率密度)表達(dá)式十分復(fù)雜，積分區(qū)間具有不規(guī)則性，很難用數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行描述，所以用求解積分表達(dá)式的方法進(jìn)行計(jì)算是十分困難的。鑒于此，可以用計(jì)算機(jī)仿真和數(shù)值積分的方法，進(jìn)行積分過(guò)程的計(jì)算。

3 問(wèn)題的求解過(guò)程

要用數(shù)值積分的方法求得聲自導(dǎo)魚(yú)雷機(jī)動(dòng)搜索［0，T］時(shí)間段內(nèi)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率，需要在合適的坐標(biāo)系內(nèi)，描繪魚(yú)雷機(jī)動(dòng)搜索的相對(duì)彈道，然后確定積分區(qū)域，進(jìn)行數(shù)值積分計(jì)算。

3.1 魚(yú)雷相對(duì)彈道

為便于發(fā)現(xiàn)概率數(shù)值積分的計(jì)算，在魚(yú)雷機(jī)動(dòng)搜索仿真程序中，引進(jìn)相對(duì)彈道的概念。相對(duì)彈道是相對(duì)絕對(duì)彈道而言的。

絕對(duì)彈道就是魚(yú)雷在機(jī)動(dòng)搜索過(guò)程中，其位置點(diǎn)所形成的彈道。

相對(duì)彈道是魚(yú)雷機(jī)動(dòng)搜索過(guò)程中，其位置點(diǎn)與此時(shí)刻目標(biāo)散布中心點(diǎn)之差所構(gòu)成的數(shù)據(jù)序列形成的彈道，即

式中:x'(t)，y'(t)為魚(yú)雷 t時(shí)刻的相對(duì)位置點(diǎn);x(t)，y(t)為魚(yú)雷t時(shí)刻的絕對(duì)位置點(diǎn);X(t)，Y(t)為目標(biāo)t時(shí)刻的絕對(duì)位置點(diǎn)。

3.2 Δt的確定

在用數(shù)值積分法計(jì)算［t，t+Δt］魚(yú)雷發(fā)現(xiàn)目標(biāo)概率的過(guò)程中，是以魚(yú)雷有效作用范圍所經(jīng)過(guò)的區(qū)域作為積分區(qū)間，以目標(biāo)散布概率密度在t時(shí)刻的數(shù)值作為被積函數(shù)的。

在數(shù)學(xué)意義上，Δt可以取無(wú)限小，計(jì)算所得的發(fā)現(xiàn)概率p(t)為t時(shí)刻魚(yú)雷發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的即時(shí)概率。但用數(shù)值積分方法，Δt如果取得太小，就會(huì)增大計(jì)算量，影響計(jì)算速度;如果Δt取得太大，用t時(shí)刻的目標(biāo)概率密度作為被積函數(shù)就會(huì)有較大誤差。所以，為兼顧計(jì)算速度和計(jì)算精度，應(yīng)適當(dāng)選擇Δt的大小。在魚(yú)雷機(jī)動(dòng)搜索過(guò)程中，由于魚(yú)雷和目標(biāo)的速度均不太高，且目標(biāo)散布概率密度隨時(shí)間變化不很劇烈，在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，取Δt=1 s就可得到較高的計(jì)算精度，且不影響計(jì)算速度。

3.3 ［t，t+Δt］內(nèi)積分區(qū)域的確定

為求得［t，t+ Δt］內(nèi)的數(shù)值積分，必先確定［t，t+Δt］內(nèi)的積分區(qū)域。這個(gè)積分區(qū)域是魚(yú)雷在t時(shí)刻與(t+Δt)時(shí)刻所經(jīng)歷的搜索區(qū)域的增量。

為便于說(shuō)明和計(jì)算，設(shè)以任意時(shí)刻目標(biāo)散布中心點(diǎn)為原點(diǎn)，在一定距離范圍 (本例中以10 km×10 km)上標(biāo)繪魚(yú)雷相對(duì)位置點(diǎn)及目標(biāo)散布密度圖。在t時(shí)刻，魚(yú)雷位置點(diǎn)及目標(biāo)散布密度如圖2所示。(t+Δt)時(shí)刻，魚(yú)雷搜索范圍以及搜索范圍增量如圖3所示。圖3中“鏟”形區(qū)域就是［t，t+Δt］內(nèi)的積分區(qū)域。

圖2 t時(shí)刻魚(yú)雷相對(duì)位置圖Fig.2 Relative position of torpedo at t

圖3 (t+Δt)時(shí)刻魚(yú)雷相對(duì)位置圖Fig.3 Relative position of torpedo at t+Δt

3.4 ［t，t+Δt］內(nèi)的數(shù)值積分

因［t，t+Δt］內(nèi)積分區(qū)域的形狀具有不規(guī)則性，所以采用“圖形相與”的方法進(jìn)行積分計(jì)算。

所謂“圖形相與”，就是以圖3中的“鏟”形區(qū)域所代表的圖形像素，與圖3所表示的范圍中的對(duì)應(yīng)像素處目標(biāo)散布概率密度值進(jìn)行“與”計(jì)算，獲得［t，t+Δt］內(nèi)魚(yú)雷發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率。目標(biāo)概率密度圖與積分區(qū)間相“與”的效果如圖4所示。

圖4 積分區(qū)間和被積函數(shù)圖Fig.4 Map of integral interval and integrand

圖4中以色彩代表目標(biāo)概率密度的數(shù)值，圖形中央的“鏟”形區(qū)域就是［t，t+Δt］內(nèi)積分區(qū)域。圖5是數(shù)值積分的立體圖，目標(biāo)散布概率密度呈“山丘”形狀，積分區(qū)域范圍內(nèi)的體積，就是［t，t+Δt］內(nèi)魚(yú)雷發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率。

圖5 數(shù)值積分立體圖Fig.5 Three-dimension map of integral numerical integration

3.5 ［0，T］內(nèi)魚(yú)雷發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率

按3.1～3.4節(jié)的步驟，用程序的方法計(jì)算［0，Δt］，［Δt，2Δt］，［2Δt，3Δt］，…［T－Δt，T］時(shí)間段內(nèi)魚(yú)雷發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率，然后進(jìn)行累加，即得到魚(yú)雷在［0，T］時(shí)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率。

4 結(jié)語(yǔ)

目標(biāo)散布概率密度已知情況下，聲自導(dǎo)魚(yú)雷機(jī)動(dòng)搜索發(fā)現(xiàn)目標(biāo)概率的計(jì)算方法，可以作為規(guī)劃魚(yú)雷機(jī)動(dòng)搜索彈道的手段，也可以用于魚(yú)雷彈道的設(shè)計(jì)。這種計(jì)算方法亦可擴(kuò)展應(yīng)用到其他領(lǐng)域，如海上目標(biāo)搜尋、海底沉船搜尋等，計(jì)算多種搜索方案發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率，選擇發(fā)現(xiàn)目標(biāo)概率最高的方案，以此來(lái)優(yōu)化搜索行動(dòng)。

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