多方式交通條件下基于策略的公交定價方法

杜金寶，任華玲，高亮，四兵鋒

(北京交通大學交通運輸學院，北京 100044)

迅速推進的城市化以及大城市人口的急劇膨脹，給現有的交通基礎設施帶來了巨大的壓力，很多城市特別是特大城市(如北京和上海)出現了嚴重的交通擁擠和阻塞現象。而公交交通系統作為土地資源利用最有效的方式，也是將來一個時期內解決城市交通問題的重要方法之一。因此，研究如何提高公共交通的服務水平和服務質量以提高公共交通吸引度，具有重要的理論和實踐價值。本文探討多方式交通條件下的公交票價優化問題，并建立了一個雙層規劃模型，該模型下層為基于公交策略的乘客分配模型，上層為同時考慮公交運營和公交公益性的票價優化問題。

對于公交客流分配問題，國內外學者做了大量的研究。Dial［1］提出了公交網絡的組成要素是節點和路段，并將線路的發車頻率轉化為路段的發車頻率。Chriqui 和Robilard［2］首先提出了吸引路線集的概念，制定了公交線路吸引集的選擇規則。Nguyen 和Pallottino［3］等則引入了超級路徑的概念，抓住了重疊公交線路現象，推動了公交客流分配理論的發展。本文所用到的基于策略的模型由Spicss 和Florian［4］進一步將文獻［2］關于吸引線路集的概念發展為出行策略，其目標是使總的出行期望時間最小。此外，對公共交通方式的票價研究也取得了相應的成果。姚麗亞、關宏志［5］等人對公交的影響因素進行了研究，并強調了票價在吸引公交出行和提高公交比例的重要作用。葉麗［6］對在不同市場機制下的公交票價制定模式進行研究，考慮了社會福利最大化、企業盈虧平衡、緩解城市交通擁堵等情形。Whelan G、BatleyR 等［7］根據改進的經濟需求模型對英國的鐵路票價進行了經濟評價，并從一些定價方案中得到了最優票價。王健、徐亞國等［8］則在考慮道路擁擠的前提下制定了公共交通的票價標準，提出了一種雙層規劃模型的公交票價模式。Dodgson［9］則考慮了城市公共交通的票價和服務水平變化的預期邊際收益情況，并在此基礎上構建了收益評價模型。Vanreeven［10］考慮了運輸補貼因素，建立了公共交通的一般補貼模型，并得到票價和頻率的最優組合。

上述研究集中于實現企業的經濟最大化，較少從乘客的角度考慮出行費用問題，也鮮有考慮到公交的公益性屬性。本文結合交通流的具體分配，基于乘客出行選擇策略進行了定價，同時還考慮了票價浮動對乘客出行選擇的影響，進而在公交需求變動和多方式交通條件下研究公交票價確定問題，優化目標不僅考慮了公交經營者的總收入，同時引進公交公益性屬性。最后結合一個簡單的算例，對模型及算法進行了驗證。

1 基于策略的公交配流模型

1.1 公交網絡及最優策略

為了更好的理解策略的概念，本文首先給出了一個簡單的公交網絡并對其進行描述。表示一個公交網絡，I 為節點集，A 為公交路段;站點i∈I，Ai+(Ai-)表示離開(進入)節點i 的弧(路段);每段弧α∈A 用(ca，Ga)來表達，ca為弧的非負的旅行時間，Ga為等待時間的分布函數;O 為出行起點，D 為出行終點。

如圖1 所示的公交網絡，假設當乘客在站點等待時，其唯一知道的信息即為線路所開行的公交線路，且乘客在站時即決定是否搭乘某進站公交。因此，圖中，從O 到D的某一策略可為:乘坐線路2 在Y 換乘后乘線路3 或4 到達D。最優策略就是使得乘客總的出行期望時間(包括等車、行車時間)最短。

圖1 公交網絡Fig.1 A transit network

1.2 基于策略的公交配流模型

為了便于配流，將圖1 簡化為圖2 形式。其中，X2，X，Y 和Y3 分別為同一站點。括號內前者為等待時間，后者為發車頻率。在網絡圖中，給每條換乘弧段賦予相應屬性，其等待時間為0，頻率為無窮大。

令gi，i∈I-{i}表示從點i 到終點r 的需求量。最優策略的目標就是使總的期望行程時間最短且等待時間只由發車頻率來決定。因此，線性規劃問題P1 即為基于最優策略的配流模型［4］:

通過線性規劃問題P1，求得它的對偶問題P2，即從公交經營者的角度出發:

圖2 簡化后的公交網絡Fig.2 A simplified transit network

模型中，gi表示的是節點i 處產生的客流量，ui表示從節點i 到終點r 的最小期望旅行時間。ca為弧a 上的行車時間，μa為其候車時間，fa則是弧a 上的發車頻率。對于該模型的求解算法分為兩個步驟:首先，找到從終點到所有節點的最優策略，計算出每個節點到終點的最優期望旅行時間;其次，從所有起點到終點按最優策略配流。

步驟1:最優策略

(1.1)初始化:令ui:=∞，i∈I-{r};ur:=0;fi:=0，i∈I;S:=A;:=?;

(1.2)搜索下一段弧:若S=?，停止;否則找到弧a=(i，j)∈S 滿足uj+ca≤uj'+ca'，a'=(i'，j')∈S;S:=S-{a};

步驟2:根據最優策略分配流量

(2.1)初始化，令Vi:=gi，i∈I;

(2.2)給節點及弧分配流量:對每一條弧a，根據降序(與尋找最優策略時順序相反)(uj+ca)，如果a∈，那么;否則va:=0。

在步驟(1.1)中的ui表示除了終點外到達終點的節點的期望出行時間，初始化為0;變量fi包含在節點的組合頻率，初始化為0;S 表示沒有檢查的弧，表示最優策略中已經檢查了的弧。注意到最開始有，fiui=0·∞，為了能夠進行配流計算，令0·∞=1。在步驟2 中，根據最優策略將節點i 到目的地產生的流量gi分配到弧上。

2 基于策略的公交定價

2.1 彈性需求下基于策略的公交定價

基于策略配流方法考慮公交票價的制定，在建立多方式條件下的公交定價模型之前，先考慮只有公交一種方式而公交需求為彈性的情況。將票價和時間作為廣義費用ca，本文中廣義費用包含時間和票價，則廣義費用為:

其中，t 表示期望旅行時間，p 為票價，α 和β 分別為二者的權重系數，表示在乘客的出行選擇中相應的重要程度。

假定市場機制只有一家公交公司經營，則公交運營商的總收入F 可以表示為

2.2 多方式需求分離條件下的公交定價

多交通方式條件下乘客對廣義出行費用的理解值是一個隨機變量。因此，出行者的交通方式選擇實際上是一個概率問題，即出行者以某種概率選擇某種出行方式。根據Logit 分配模型，則可以得出如下形式的選擇概率:

其中Pn表示出行者選擇第n 種出行方式的概率，θ 為矯正參數，可通過統計回歸方法進行估計［13］。根據Logit 分配模型我們可以得到公交出行的一個需求量，進而計算公交運營商的總收入。

此外，本文考慮了公交的公益性屬性，即在公交收入盡量大的情形下，在多交通方式出行時，使其有較大的出行分擔率。

此雙層規劃模型上層目標考慮了公交運營商的公交總收入F 及公交方式分擔率W，φ 表示公益性屬性的權重。下層根據Logit 模型在多方式下得到的公交需求量q，在此需求量下進行基于策略的公交配流。

3 算例分析

3.1 基于策略的定價結果及分析

圖2 中弧里括號內為時間和頻率，但算例里進行最優策略配流時用式(2.1)來作為費用進行基于策略的配流。計算公交運營商總收入的時候，從起點O 到達目的地D，有部分乘客進行了換乘，需要加上換乘后的票價收入。

在網絡中采取壟斷的市場機制，即乘客不選擇公交，則會選擇其他的交通方式。模型中，參數的取值反映了乘客出行對于時間和票價的看重程度。如果取值較大，那么票價所起的作用就微乎其微;反之，時間所起的作用就小。而δ 的大小則影響公交總收入達到最優的收斂程度的快慢。本算例α 取1，β 取10，δ 取0.05，總的OD 需求為1 000。根據計算，不同票價下的公交收入及乘客需求見圖3。

圖3 彈性需求下公交總收入的變化Fig.3 Total transit revenue variation for elastic requirements

從圖3 可以看出，當票價較低時，乘客需求量較大，但公交運營商的收入也較低;隨著票價的增高，需求有一定的減少，但是公交運營商的收入卻在增大;當票價大于2 元時，收入遞減。結果表明票價為2 元時，公交運營商取得最大收入。

3.2 多方式條件下的定價結果及分析

假設只存在兩種交通方式，一為公交車，二為出租車，其網絡如圖2 所示。本算例兩種方式總的乘客需求為1 000，參數α 取1，β 取0.4，θ 取1。根據多方式下定價模型(2.5)，如果知道公交和出租車出行的廣義費用，就可得到公交出行的需求量及公交運營商的總收入。

根據式(2.1)將出租車的出行廣義費用定義為時間和費用之和。在本網絡中，從A 到B 無轉車線路時公交車的行車時間為25 min，故不妨假設出租車的行車時間為10 min;而出租車和公交車存在一定的競爭，如果公交車的票價變化，那么出租車的收費也跟著有所變化，假設出租車的基本費用為公交車的5 倍。對于φ 不同的取值，得到不同的公交需求及不同的公益性值。根據以上數據，計算在不同的公交票價下公交運營商總收入及社會效益(只考慮公交總收入和公交分擔率)，圖4 反應多方式條件下的Logit 分離模型對公交總收入和公交分擔率在不同公交票價下的變化。

由圖4、5 可知，根據Logit 模型分配后，當不考慮公交的公益性的時候，公交運營商在票價為1.7元時得到了最大收入。當公交票價比較低時，乘客大部分會選擇公交出行。隨著公交票價的提高，雖然公交乘客需求有所降低，但是公交運營商的總收入卻在增大。當過了最優值(總收入最大)之后，隨著公交票價的升高，選擇公交出行的乘客會越來越少，總收入隨之減少。當φ 的取值逐漸增大，即更多的考慮公交的公益性所占的比重時，公交的總收入會有所降低。為了使得公交分擔更多的乘客需求，需要減少票價。政府之所以要控制公交的票價上限，也就是考慮了公交的公益性。

4 結論

在多方式交通環境下，對于公交運營商如何定價才能取得最大收入是一個具有重要經濟及學術意義的課題。公交票價的變化會引起整個公交系統甚至整個交通運輸系統的變化。本文在考慮乘客需求分配的基礎上，提出兩種不同的方式去進行公交票價優化，并根據算例得到了公交運營商總收入最大時的最優票價。此外，文章還考慮到多方式競爭條件下公交的客流分配問題，并在考慮公交公益性的情況下進行了票價優化。合理的公交定價不僅可以使得公交運營商有較大收入，而且還能分擔較多客流。

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