帶終端角度約束的多目標最優魯棒制導方法①

晁 濤，王松艷，楊 明

(哈爾濱工業大學控制與仿真中心，哈爾濱 150080)

0 引言

現代對地攻擊制導武器的末制導階段通常采用俯沖攻擊的制導方式，所以需要研究滿足終端彈道傾角要求的制導方法。同時，為了獲得更大的可用過載，此類飛行器通常采用面對稱布局和傾斜轉彎(Bank to turn，BTT)控制方式。因此，針對BTT飛行器的帶終端角度約束的制導方法研究得到了廣泛關注。

針對帶終端角度約束的制導律設計問題，目前采用的方法主要有最優控制、變結構控制、非線性控制及自適應控制等。Kim基于線性最優控制理論，在彈目相對運動的俯沖平面內給出了帶終端角度約束的最優與次優制導律［1］。趙漢元針對再入彈頭的制導問題，將攻擊地面靜止目標的彈頭的空間運動分為俯沖與轉彎兩個平面，基于簡化的彈目相對運動方程，研究了彈頭俯沖攻擊目標時的最優制導律［2］。由于最優控制方法對模型精確程度要求較高，文獻［3］采用變結構控制理論提出了帶終端角度約束的制導律，Kim等提出了可實現帶角度約束的偏置比例導引制導律［4］，Ratnoo研究了基于狀態依賴黎卡提方程方法的制導律［5－6］，Lu 提出了攻擊靜止目標的自適應制導律［7］。

本文針對BTT飛行器需要在大氣環境與模型存在不確定性的條件下，滿足過載、攻角、姿態角及角速度約束，實現帶終端角度約束的高精度制導問題，提出了一種多目標綜合最優制導方法。通過將飛行器與目標間相對運動分解為縱向與側向平面運動，建立含干擾輸入描述的制導律設計模型。基于該模型，采用基于L2增益性能指標的魯棒控制方法設計制導律。將制導律中的參數作為待優化變量，建立包括終端角度偏差、終端位置偏差以及控制能量消耗等性能指標在內的多目標綜合優化模型，基于遺傳算法，提出制導律參數優化方法。最后，以某飛行器的制導律設計為例，在存在大氣密度、氣動系數偏差和風干擾的情況下，驗證所提出的方法的有效性。

1 魯棒制導律設計模型

給定飛行器與目標的相對運動關系如圖1所示，其中ogxgygzg為平移至質心處的發射坐標系，v為飛行器與目標的相對速度，σ為彈道偏角，θ為彈道傾角，ρ為飛行器與目標間相對距離，qε為視線高低角，qβ為視線方位角，T為目標點，A為目標在ogxgyg平面內的投影。

根據圖1中的幾何關系，忽略縱向和側向平面運動間的耦合關系，可以分別建立縱向平面與側向平面內的彈目相對運動方程:

圖1 飛行器與目標間相對運動關系示意圖Fig.1 Geometry relationship of missile-target

根據飛行力學得知［8］，彈道傾角、彈道偏角隨時間的變化率方程為

式中 L為飛行器受到的升力;m為飛行器質量;g為重力加速度。

將式(4)代入式(3)，可得

為簡化設計，在式(5)中將重力影響視為擾動，在后續的設計過程中采用魯棒設計方法予以考慮。同時，假設速度變化率與速度的比值近似為零，取視線高低角與終端期望彈道傾角偏差、視線高低角變化率、視線方位角、視線方位角變化率為自變量，即令:

式中 θcmd為期望的終端彈道傾角。

進一步，令控制量與擾動分別為

則可建立如下的魯棒制導律設計模型:

在式(9)基礎上，帶終端角度約束的制導律設計問題的目標轉化為尋找控制量u1與u2的變化規律，使狀態變量在控制量的作用下趨近于零，從而保證飛行結束時滿足終端位置和終端角度要求。

2 魯棒制導律及指令分配邏輯

本文采用基于L2增益性能指標的魯棒控制理論設計滿足終端角度約束的制導律［9］。首先，針對制導律設計模型(即式(9))，選取Lyapunov函數:

式中 k1、k2、k3、k4為待定的制導律參數。

為保證視線角轉率和終端角度偏差趨近于零，定義性能評價信號為

式中 r1(t)、r2(t)為性能評價信號的輸出加權函數，且滿足 γ1(t)≥0，γ2(t)≥0。

在制導律設計模型式(9)、Lyapunov函數式(10)以及性能評價信號式(11)的基礎上，采用基于L2增益性能指標的魯棒控制方法［9］，可以解得滿足終端角度約束的控制量:

為了驗證制導律設計模型在式(12)的作用下是否滿足魯棒L2增益性能指標，對式(10)求導，并將式(12)代入到式(9)中，整理后可得

對式(13)在 τ∈［0，tf］上積分，可得

對式(14)進一步整理可得

根據Lyapunov函數的定義(即式(10))，式(15)中的V(x0)和V(xf)分別是與飛行器初始狀態和終端狀態相關的正函數。根據魯棒L2增益性能設計準則［9］可知，當評價信號與擾動滿足如下公式時:

由于傾斜轉彎飛行器制導指令的輸出通常是攻角與傾側角指令，因此需要進一步給出攻角與傾側角指令的計算公式。根據飛行器質心運動模型［8］，可以得到如下關系:

式中 ny2c、nz2c分別為彈道系鉛垂面和水平面內的期望過載。

考慮到飛行器采用傾斜轉彎控制方式，也即其需用過載的產生原理是通過攻角產生法向過載，然后通過飛行器的傾側將法向過載投影到鉛垂面與水平面內，因此法向過載指令計算公式為

進一步根據攻角與過載的關系可解得

式中 CN0為攻角為0時的法向力系數;CNd為由于交叉導數和下洗等因素產生的法向力系數;CNα為法向力系數相對于攻角的導數。

由于攻角轉率受到限制，因此實際的攻角指令應經過速率限制與幅值限制后，才能作為飛行器制導指令傳遞給控制系統。設飛行器上一制導周期的攻角值為αc0，制導周期為ΔT，允許的攻角最大轉率為˙αmax，允許的攻角最大值為αcmax，則攻角指令值為

根據傾斜轉彎飛行器過載產生的原理，傾側角指令計算公式:

其中，傾側角的角度范圍是( －180°，180°］，arctan2 表示對nz2c與ny2c的比值取反正切函數值，求取反正切的過程中考慮nz2c與ny2c的符號，因此其函數值的范圍是( －180°，180°］。

與攻角指令相似，由于傾側角轉率受到限制，實際傾側角指令應經過速率限制與幅值限制后，才能作為飛行器的制導指令傳遞給控制系統。假設上一制導周期的飛行器傾側角為γc，制導周期為制導周期為ΔT，允許的傾側角最大轉率為˙γcmax，則傾側角指令為

至此，得到了滿足終端角度約束的飛行器制導律(即式(21)與式(23))，其中 k1、k2、k3、k4為待優化的制導律參數，需要進一步根據下文的多目標綜合優化方法確定。

3 制導律參數的多目標綜合優化

為實現同時滿足終端位置、終端彈道傾角以及控制能量消耗最小等多種性能目標，首先建立如下的多目標綜合性能指標:

式中 tf為終端時刻;θ(tf)為終端時刻的彈道傾角;ρ(tf)為終端時刻目標與飛行器間的相對距離;u為控制量，通常取為過載或者攻角;K1為終端彈道偏角的加權系數;K2為終端相對距離的加權系數;K3為控制量的加權系數。

此時，多目標綜合最優制導問題轉化為如下問題:針對飛行器數學模型，給定形如式(21)與式(23)的制導律，尋找制導律參數k1～k4的最優解，使得在滿足運動方程約束以及控制量約束(攻角幅值約束、攻角與傾側角轉率約束)的條件下，實現性能指標式(24)最優。

將上述問題進一步描述為優化模型:

式中 J(k1，k2，k3，k4)為性能指標，是待優化參數 k1、k2、k3、k4的函數;˙x=f(x，u)為飛行器數學模型式(1);C(x，u，t)≤0為制導過程中的約束條件，如過載不能超過限制;u=g(x，k1，k2，k3，k4)為魯棒制導律式(21)與式(23)，其對應控制量幅值與變化率受到控制能力限制，即最大可用攻角、最大允許攻角轉率和最大允許傾側角轉率限制。

在制導律優化模型(式(25))的基礎上，提出如圖2所示的優化方法，進行制導律參數優化。流程如下:

(1)確定待優化的參數k1～k4，將其視為染色體，采用一定的編碼方式對其進行相應的染色體編碼;

(2)利用染色體等位基因初始值隨機生成算法，給出染色體的初始猜測值;

(3)計算隨機生成的種群對應的參數值，將其帶入適應度計算函數中(式(25))，計算各個個體的適應度;

(4)判斷是否滿足算法的終止條件(式(24)的值最小)，若滿足要求，則輸出相應的參數猜測值，轉步驟9，否則進行下一步;

(5)根據一定的選擇算法，對隨機生成的種群進行選擇操作;

(6)根據一定的交叉算法，對選定的種群進行交叉操作;

(7)根據一定的變異算法，對交叉操作后的個體進行變異操作;

(8)針對經過選擇、交叉與變異后重新生成的種群，也即新的參數猜測值，重新進行適應度計算，返回步驟;

(9)將優化得到的制導律參數代入魯棒制導律中，結合制導律仿真模型，在環境與模型存在不確定性的條件下，采用蒙特卡洛方法評價制導參數是否能夠保證制導精度要求，若能則結合參數優化結果與魯棒制導律形式得到最終的帶終端角度約束的多目標綜合魯棒制導律;若不能則調整多目標綜合性能指標中的加權系數K1、K2與K3，返回步驟1)。

上述算法中K1、K2與K3的選取需要考慮到各指標的量級和量綱。彈道傾角采用弧度表示，量級為1，彈目距離采用單位m表示，量級為10，控制量采用弧度，量級為1。據此，給出參數的推薦范圍 K1∈［1，100］，K2∈［1，10］和 K3∈［1，100］。上述算法中適應度值的計算流程:

(1)給定參數k1～k4的數值，初始化飛行器位置、速度以及目標的位置速度;

(2)計算飛行器與目標的相對運動，也即相對距離、視線高低角、視線方位角以及相應的角速度;

(3)根據制導律計算過載指令;

(4)根據制導指令跟蹤控制律，解算出攻角與傾側角指令;

(5)在給定的攻角與傾側角作用下，積分飛行器運動方程，得到下一時刻的飛行器狀態與目標狀態，并計算相應的性能指標值;

(6)判斷是否滿足計算終止條件(如飛行器與目標距離滿足位置偏差要求)，若滿足要求，則輸出性能指標值，停止計算，否則返回步驟2。

圖2 制導律參數多目標優化原理Fig.2 Multiple objectives optimization of guidance law parameters

4 仿真分析

以某垂直對地攻擊飛行器為對象，按照上述方法，進行相應的多目標綜合最優魯棒制導律設計與數字仿真。該飛行器制導律設計的指標要求為位置偏差小于10 m、角度偏差在10°范圍之內。

采用Visual C++編寫制導律參數優化程序，采用基于Matlab優化算法對其進行參數優化，并基于Visual C++編寫數字仿真分析程序，對制導律設計和參數優化結果進行數字仿真分析。仿真過程中考慮了包括大氣密度正負向偏差、軸向力系數與法向力系數的正負向偏差以及8種風干擾的綜合影響，共計64種組合偏差情況，并加入了對飛行器攻角、過載、姿態以及姿態角速度的約束限制。仿真結果如圖3和圖4所示。圖3為飛行器經緯度變化示意圖，圖4為飛行器彈道傾角變化示意圖。

圖3 位置變化示意圖Fig.3 Trajectory of missile

圖4 彈道傾角變化示意圖Fig.4 Flight path angle of missile

從圖3可見，在64種偏差情況下，受大氣密度和氣動參數偏差的影響，飛行軌跡的地面投影形狀不同，但通過制導律的作用，最終飛行器的終端位置均到達了期望的目標點，位置偏差滿足精確制導要求。從圖4可見，飛行器的終端彈道傾角到達在－90°附近，角度偏差在5°以內，滿足角度偏差指標，實現了垂直攻擊目標的目的。

綜上所述，使用提出的方法可以保證飛行器實現在環境存在不確定性以及受到過載、攻角等多約束條件限制情況下的帶終端角度約束的高精度制導，終端位置和終端彈道傾角滿足制導指標要求。

5 結論

(1)將帶終端角度約束的多目標綜合最優魯棒制導問題分解為魯棒制導律設計與制導律參數的多目標綜合優化兩個子問題。采用基于L2性能指標的魯棒控制方法設計魯棒制導律，建立了包括終端角度偏差、終端位置偏差以及控制能量等多種指標在內的多目標綜合優化模型，并提出了基于遺傳算法的制導律參數優化設計方法。

(2)仿真結果表明，采用該方法進行制導律設計可以實現預期的制導目的。對于其他類型飛行器的帶終端約束的多目標綜合制導問題，也可參考該方法進行設計。因此，本文提出的帶終端約束的多目標綜合最優制導方法具有較高的應用價值和廣闊的應用前景。

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