倒棱工藝對(duì)激光角反射器衍射特性的影響

石 巖， 周 輝， 文 翔

(1．武漢大學(xué)電子信息學(xué)院，湖北 武漢430072;2．趙李橋中學(xué)，湖北赤壁437300)

式中:A為光線(xiàn)經(jīng)過(guò)初次折射后的單位矢量;B，C和D分別為 A 矢量經(jīng)過(guò) i、j和 k 反射面(i、j、k=1，2，3)后的單位矢量;E為光線(xiàn)經(jīng)過(guò)最終折射后的單位矢量;N0、N4分別為入射光線(xiàn)和出射光線(xiàn)的法線(xiàn);N i、N j和N k分別為i、j和k反射面法線(xiàn)的單位矢量。Refr和Refl分別為矢量形式的折射和反射定律，它們可表示為:

0 引言

激光角反射器是具有定向反射特性的光學(xué)元件，其主要作用是增加接收機(jī)處的激光強(qiáng)度［1-3］。經(jīng)激光角反射器衍射后的激光強(qiáng)度分布與激光角反射器參數(shù)以及光束入射條件有關(guān)［4-6］，受到目前激光角反射器加工工藝的限制，激光角反射器必然存在倒棱處理。在激光角反射器設(shè)計(jì)過(guò)程中，棱寬參數(shù)對(duì)衍射后的激光強(qiáng)度的影響往往被忽略［7-9］。事實(shí)上，由于倒棱工藝的出現(xiàn)會(huì)導(dǎo)致激光角反射器有效衍射區(qū)域發(fā)生改變，進(jìn)而影響近場(chǎng)衍射和遠(yuǎn)場(chǎng)衍射強(qiáng)度分布規(guī)律，使得接收機(jī)所接收的激光強(qiáng)度出現(xiàn)不同程度的下降。因此，研究倒棱工藝對(duì)激光角反射器衍射特性的影響具有十分重要的意義。

本文從激光角反射器幾何結(jié)構(gòu)及倒棱方式出發(fā)，推導(dǎo)了激光角反射器有效衍射區(qū)域的數(shù)學(xué)模型，并結(jié)合激光角反射器的位相分布及衍射理論。分析了棱寬因素對(duì)激光角反射器近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)衍射特性的影響規(guī)律，并從量化角度給出了棱寬取值不同導(dǎo)致的衍射強(qiáng)度下降程度，為指導(dǎo)激光角反射器的設(shè)計(jì)提供了一定的參考價(jià)值。

1 激光角反射器有效衍射區(qū)域的分布模型

激光角反射器是由3個(gè)互相垂直的直角面及底面組成的實(shí)心四面體。當(dāng)入射光束入射至激光角反射器內(nèi)部時(shí)，光束先后經(jīng)過(guò)底面的初次折射、3個(gè)直角面的反射和底面的最后折射，以6種不同次序從底面出射。

圖1 激光角反射器坐標(biāo)系

建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系:以激光角反射器的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以激光角反射器的3條直角棱為x、y和z軸，稱(chēng)o-xyz坐標(biāo)系為激光角反射器棱坐標(biāo)系;以激光角反射器頂點(diǎn)在底面的投影o'為原點(diǎn)，以底面的法線(xiàn)方向?yàn)閦＇軸方向，以y軸在底面的投影為y'軸，x'軸方向由右手螺旋法則確定。則o-xyz坐標(biāo)系與o'-x'y'z'坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為［10］:

式中:M為轉(zhuǎn)換矩陣;a為激光角反射器的棱長(zhǎng)。若激光角反射器底面采用圓形切割，則a =，r為激光角反射器底面圓半徑。

若入射光在o'-x'y'z'坐標(biāo)系下的入射角為φ，方位角為θ，則入射光矢量為

將該矢量轉(zhuǎn)換到o-xyz坐標(biāo)系，則入射光矢量方向可表示為

根據(jù)光線(xiàn)的折射和反射定律，可以得到在激光角反射器內(nèi)部及出射后的光線(xiàn)矢量為［11］:

式中:A為光線(xiàn)經(jīng)過(guò)初次折射后的單位矢量;B，C和D分別為 A 矢量經(jīng)過(guò) i、j和 k 反射面(i、j、k=1，2，3)后的單位矢量;E為光線(xiàn)經(jīng)過(guò)最終折射后的單位矢量;N0、N4分別為入射光線(xiàn)和出射光線(xiàn)的法線(xiàn);Ni、Nj和Nk分別為i、j和k反射面法線(xiàn)的單位矢量。Refr和Refl分別為矢量形式的折射和反射定律，它們可表示為:

若光束從空氣入射至激光角反射器內(nèi)部，n1=1，n2=n;相反，則n1=n，n2=1，n為激光角反射器材料的折射率。定義反射面1和2、反射面2和3以及反射面 3 和 1 之間的二面角偏差分別為 δ12、δ23、δ31，則反射面1、2和3的法線(xiàn)方向分別為:

若入射光在o'-x'y'z'坐標(biāo)系下入射光線(xiàn)與底面的交點(diǎn)為(xr'，yr'，0)，則在 o-xyz坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為

光線(xiàn)經(jīng)過(guò)初次折射后分別與激光角反射器3個(gè)反射面相交，并最后從激光角反射器口徑范圍內(nèi)折射出來(lái)，其交點(diǎn)坐標(biāo)可以根據(jù)光線(xiàn)和反射面及折射面的方程得到，即:

對(duì)于反射次序?yàn)?i，j，k的光線(xiàn)而言，坐標(biāo)點(diǎn)(xq，yq，zq)分別表示光線(xiàn)與初始折射面以及 i，j，k反射面的交點(diǎn)，矢量 F=［Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z］分別表示入射至 i，j，k反射面和折射面的光線(xiàn)矢量，即為A至E矢量，N=［Nx，Ny，Nz］表示各反射面和折射面的法線(xiàn)矢量。

由于采用方程組(8)得到的折射面交點(diǎn)(x4，y4，z4)是在o-xyz坐標(biāo)系內(nèi)的，因此，為便于約束折射點(diǎn)的位置范圍，將折射點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到o'-x'y'z'坐標(biāo)系，則

［xc'，yc'，0］T=M－1{［x4，y4，z4］T－ MC} (9)

若激光角反射器底面采用圓形切割，并且進(jìn)行了倒棱工藝處理，則各反射點(diǎn)和折射點(diǎn)位置必須位于激光角反射器的有效反射面和口徑范圍內(nèi)，如圖2所示。

根據(jù)圖2中各折反射點(diǎn)與激光角反射器結(jié)構(gòu)的關(guān)系，建立了它們與激光角反射器參數(shù)的約束區(qū)域表達(dá)形式，即:

圖2 折反射點(diǎn)區(qū)域示意圖

激光角反射器的有效衍射區(qū)域與光束入射條件以及棱寬有著緊密的關(guān)系，對(duì)于圓形切割的角反射而言，若激光角反射器半徑r=20 mm，材料折射率為1．461，則可以模擬出在不同光束入射條件下，不同棱寬對(duì)應(yīng)的激光角反射器有效區(qū)域的變化規(guī)律，如圖3所示。

圖3 不同棱寬及光束入射條件下的激光角反射器有效衍射區(qū)域

從圖3可以看出，當(dāng)激光角反射器出現(xiàn)倒棱工藝時(shí)，激光角反射器的有效反射區(qū)域由6個(gè)相互分離的區(qū)域組成，并且隨著棱寬的增加，6個(gè)區(qū)域的分離程度增加，這導(dǎo)致激光角反射器有效面積發(fā)生減小。當(dāng)棱寬尺寸固定時(shí)，隨著光束入射角的增加，6個(gè)區(qū)域的分離程度不變，但區(qū)域的面積變小。從衍射角度看，激光角反射器有效衍射區(qū)域直接影響其衍射的積分范圍，倒棱工藝的出現(xiàn)必然導(dǎo)致激光角反射器衍射特性發(fā)生改變。

2 棱寬對(duì)激光角反射器衍射特性的影響

通常情況下，入射到激光角反射器口徑范圍內(nèi)的光斑要遠(yuǎn)大于激光角反射器的口徑，因此，入射到激光角反射器底面的光波可看作平面波，假設(shè)其振幅為1。若入射光傾斜入射至激光角反射器底面，則衍射光場(chǎng)中引入了傾斜因子，其計(jì)算公式可通過(guò)基爾霍夫衍射公式得到［12］:

式中:H為激光角反射器與接收機(jī)之間的距離;Σ因子為激光角反射器的有效衍射區(qū)域，它由光束入射條件和激光角反射器棱寬決定;φ為激光角反射器出射光波的位相分布［13］;k為波數(shù);ρ為激光角反射器口徑內(nèi)任意一點(diǎn)到接收機(jī)范圍內(nèi)任意一點(diǎn)的距離。

根據(jù)激光角反射器口徑大小以及激光角反射器與接收機(jī)之間的距離關(guān)系，可以將激光角反射器衍射分為近場(chǎng)衍射和遠(yuǎn)場(chǎng)衍射。對(duì)于圓形切割的激光角反射器，若H、r以及λ滿(mǎn)足r2/λ＜H，則接收機(jī)處的衍射為遠(yuǎn)場(chǎng)衍射，否則為近場(chǎng)衍射［7］。考慮到激光角反射器加工過(guò)程中必不可免地存在二面直角誤差，因此，選取高精度的5″激光角反射器作為分析對(duì)象，即二面直角誤差約為 0．42″。

2．1 激光角反射器的近場(chǎng)衍射

采用菲涅爾近場(chǎng)衍射數(shù)學(xué)關(guān)系式并結(jié)合激光角反射器有效區(qū)域及位相分布，可模擬在不同棱寬和光束入射角條件下，激光角反射器近場(chǎng)衍射的分布規(guī)律。圖4為仿真?zhèn)鬏斁嚯xH為2 m時(shí)，棱寬和光束入射條件的改變導(dǎo)致激光角反射器近場(chǎng)衍射模式的變化。

圖4 不同光束入射角條件下，棱寬對(duì)近場(chǎng)衍射分布規(guī)律的影響

圖4 顯示，棱寬的出現(xiàn)導(dǎo)致激光角反射器近場(chǎng)衍射分離成6個(gè)獨(dú)立的衍射圖樣，每個(gè)圖樣的分布區(qū)域基本與激光角反射器有效衍射區(qū)域分布規(guī)律保持一致［14］。在倒棱位置處出現(xiàn)了近似狹縫的衍射圖樣，隨著棱寬的增加，倒棱位置處出現(xiàn)更為暗的衍射條紋，這直接導(dǎo)致激光角反射器近場(chǎng)衍射總強(qiáng)度發(fā)生降低。同時(shí)，隨著光束入射角的增加，倒棱位置處的衍射圖樣基本沒(méi)發(fā)生變化，但考慮到激光角反射器近場(chǎng)衍射總強(qiáng)度的降低，因此，倒棱對(duì)近場(chǎng)衍射強(qiáng)度的降低比例減小。

由于激光角反射器近場(chǎng)衍射強(qiáng)度分布范圍較小，接收機(jī)能夠完全接收近場(chǎng)衍射的全部光強(qiáng)，因此，通常情況下，在接收機(jī)處于近場(chǎng)衍射范圍時(shí)，以激光角反射器近場(chǎng)衍射的總強(qiáng)度為分析目標(biāo)。圖5給出了棱寬取值不同時(shí)，激光角反射器近場(chǎng)衍射總強(qiáng)度隨光束入射角的變化規(guī)律(以垂直入射至理想激光角反射器的近場(chǎng)衍射總強(qiáng)度為1進(jìn)行歸一化)。

圖5 棱寬取值不同時(shí)，近場(chǎng)衍射總強(qiáng)度及其隨光束入射角的變化規(guī)律

從圖5中看出，在不同的棱寬條件下，激光角反射器近場(chǎng)衍射總強(qiáng)度η隨著光束入射角的增加呈遞減趨勢(shì)，并且棱寬值越大，遞減趨勢(shì)越劇烈。

圖6模擬給出了在幾種棱寬與棱寬為零對(duì)應(yīng)的近場(chǎng)衍射總強(qiáng)度的差值Δη。表明隨著光束入射角的增加，Δη逐漸減小。但是，對(duì)于某個(gè)固定的光束入射角，隨著棱寬值的增加，Δη逐漸增加。在整個(gè)光束入射角范圍內(nèi)，當(dāng)棱寬取值1 mm時(shí)，Δη最大值達(dá)到9．3%，而當(dāng)棱寬取值0．1 mm時(shí)，Δη最大值僅為1．0%。

2．2 激光角反射器的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射

圖6 不同棱寬取值與棱寬為0對(duì)應(yīng)的近場(chǎng)強(qiáng)度差值

當(dāng)接收機(jī)位于激光角反射器的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射位置處時(shí)，激光角反射器遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣的分布規(guī)律(以垂直入射至理想激光角反射器的衍射強(qiáng)度最大值為1進(jìn)行歸一化)與距離H無(wú)關(guān)。采用夫朗霍夫遠(yuǎn)場(chǎng)衍射公式并結(jié)合激光角反射器有效區(qū)域及位相分布，可模擬出在不同棱寬和光束入射角條件下，激光角反射器的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣［15］。

為分析衍射圖樣中心點(diǎn)強(qiáng)度的變化情況，定義中心點(diǎn)強(qiáng)度的絕對(duì)下降量為d I=I2－I1，其中:I2為棱寬為零對(duì)應(yīng)的中心點(diǎn)衍射強(qiáng)度;I1為存在倒棱時(shí)對(duì)應(yīng)的中心點(diǎn)衍射強(qiáng)度，則相對(duì)下降量為RI=d I/I2。

圖7模擬了光束垂直入射條件下棱寬對(duì)激光角反射器遠(yuǎn)場(chǎng)衍射強(qiáng)度的影響。

圖7 棱寬為0的激光角反射器遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣

從圖7可以看出，當(dāng)光束垂直入射到激光角反射器表面時(shí)，由于二面直角誤差的存在，其遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣不再是艾里斑分布，衍射圖樣中心點(diǎn)的光強(qiáng)發(fā)生下降，并且衍射強(qiáng)度的分布范圍也發(fā)生擴(kuò)散。

當(dāng)存在倒棱工藝時(shí)，衍射圖樣中心點(diǎn)的強(qiáng)度將進(jìn)一步下降。圖8顯示了棱寬取值為0．3 mm與棱寬為0時(shí)所對(duì)應(yīng)的衍射圖樣差異的分布。解算結(jié)果表明，衍射中心點(diǎn)的光強(qiáng)絕對(duì)下降量為2．4%，相對(duì)下降量為3．3%。隨著棱寬的增加，其下降程度將更加明顯。

圖8 棱寬為0與棱寬為0．3 mm的激光角反射器遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣的差異

事實(shí)上，當(dāng)光束傾斜入射到激光角反射器表面時(shí)，棱寬導(dǎo)致激光角反射器遠(yuǎn)場(chǎng)衍射強(qiáng)度的降低程度與垂直入射時(shí)的也不相同。圖9模擬了光束入射角為20°時(shí)棱寬對(duì)激光角反射器遠(yuǎn)場(chǎng)衍射強(qiáng)度的影響。

圖9 棱寬為0的激光角反射器遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣

圖9 表明，當(dāng)光束傾斜入射至激光角反射器時(shí)，激光角反射器遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣重新進(jìn)行分布，衍射圖樣中心點(diǎn)光強(qiáng)發(fā)生下降。

當(dāng)存在倒棱工藝時(shí)，衍射圖樣中心點(diǎn)的強(qiáng)度將進(jìn)一步下降。圖10模擬了入射為20°時(shí)，棱寬為0與棱寬為0．3 mm的激光角反射器遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣的差異。從圖10中可以看出，當(dāng)棱寬為0．3 mm時(shí)，衍射圖樣接收機(jī)中心點(diǎn)的光強(qiáng)絕對(duì)下降量為2．1%，相對(duì)下降量為8．5%，這是因?yàn)楣馐鴥A斜入射時(shí)衍射圖樣中心點(diǎn)的強(qiáng)度發(fā)生下降所導(dǎo)致的。

圖10 棱寬為0、0．3 mm的激光角反射器遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣的差異

由于接收機(jī)往往僅能接收到遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣中心位置附近的光強(qiáng)，因此，以遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣中心點(diǎn)的光強(qiáng)為分析對(duì)象，模擬在棱寬取值不同時(shí)，中心點(diǎn)強(qiáng)度I0隨光束入射角的變化規(guī)律，具體如圖11所示。

圖11 棱寬取值不同時(shí)，衍射圖樣中心點(diǎn)光強(qiáng)隨光束入射角的變化規(guī)律

圖11 顯示，在不同的棱寬條件下，隨著光束入射角的增加衍射圖樣中心點(diǎn)強(qiáng)度I0迅速減小，并且棱寬值越大，遞減趨勢(shì)越劇烈。

圖12模擬給出了幾種棱寬與棱寬為0對(duì)應(yīng)的衍射圖樣中心點(diǎn)強(qiáng)度差值ΔI0隨光束入射角的變化。結(jié)果表明，隨著光束入射角的增加，絕對(duì)差值ΔI0逐漸減小。但是，對(duì)于某個(gè)固定的光束入射角而言，隨著棱寬值的增加，絕對(duì)差值ΔI0逐漸增加。在整個(gè)光束入射角范圍內(nèi)，當(dāng)棱寬取值為0．1 mm時(shí)，強(qiáng)度的絕對(duì)下降量最大值達(dá)到1．2%，相對(duì)下降量最大值為8．9%。當(dāng)棱寬增加至1．0 mm時(shí)，強(qiáng)度的絕對(duì)下降量最大值達(dá)到12．0%，相對(duì)下降量最大值為50．3%。

圖12 幾種棱寬與棱寬為0對(duì)應(yīng)的衍射圖樣中心點(diǎn)強(qiáng)度差值隨光束入射角的變化規(guī)律

事實(shí)上，若激光角反射器二面直角誤差取值不同，會(huì)導(dǎo)致衍射圖樣的發(fā)散程度不同，使得衍射圖樣中心點(diǎn)的強(qiáng)度值發(fā)生變化，則棱寬對(duì)衍射圖樣中心點(diǎn)的影響程度也不相同。二面角誤差越小，衍射圖樣中心點(diǎn)強(qiáng)度值越大，棱寬對(duì)其影響程度也越明顯，反之亦然。

3 結(jié)語(yǔ)

由于激光角反射器倒棱工藝的出現(xiàn)，使得激光角反射器衍射特性發(fā)生了改變，直接影響接收機(jī)處的激光強(qiáng)度，因此，從量化角度研究倒棱大小對(duì)衍射強(qiáng)度數(shù)值的影響是十分必要的。本文以激光角反射器有效衍射區(qū)域?yàn)榛A(chǔ)，利用激光角反射器位相分布和衍射理論，仿真分析了不同棱寬對(duì)激光角反射器近場(chǎng)衍射總強(qiáng)度及遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣中心點(diǎn)強(qiáng)度的影響規(guī)律。所得結(jié)論為限定激光角反射器的倒棱寬度提供了有益的理論依據(jù)。

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