基于雙參數混合指數分布的參數估計

韓 靜

（山西大學商務學院 理學系，山西 太原 030031）

0 引 言

壽命分析的目的是定量地把握系統或部件壽命的性狀，并把所獲取的信息反饋到設計、制造或使用維修中去，以期改善可靠性。從統計學的角度來看，可認為這些產品來自于不同的兩個或多個子總體，我們稱其為混合分布。基于極大似然估計（Maximum Likelihood Estimate，MLE）的方法能獲得對參數較高精度的估計，因此極大似然法往往被用于混合分布的參數估計。EM算法雖然可研究混合分布在正常工作條件下的參數估計問題，但EM 算法可能會收斂到局部最優值［1－2］。針對極大似然估計計算量較大的缺陷，文獻［3-4］結合遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）實現參數的優化估計。然而，遺傳算法容易過早收斂產生早熟現象。為了克服其不足，文中將模擬退火技術（Simulated Annealing，SA）引入遺傳算法中，基于極大似然估計模型利用退火遺傳算法 （Simulated Annealing Genetic Algorithm，SAGA）實現壽命分布參數的最優估計。

1 極大似然函數法及其優化估計模型的建立［2］

設壽命分布為雙參數混合指數分布，t1，t2，t3，…，tN是來自母體t的一個樣本，定義其聯合概率密度為:

即

其中，σi≥0，λi分別稱為位置參數和尺度參數。記

一般采用二重或三重的混合（即i＝2或3），多重混合之所以不常見，主要是模型參數過多，參數估計困難，也極少需要［5］。

當獲得n個樣本數據t1，t2，…，tn之后，樣本的似然函數為:

要求得此極大似然估計值，傳統的做法是直接將對數似然函數

關于各參數求偏導，使其為零，即

極大似然估計存在的問題是，對于許多具體問題不能構造似然函數解析式，或者似然函數表達式過于復雜而導致求解超越方程組（8）非常困難，因此必須借助于其它方法。下面介紹的退火遺傳算法就是一種有效的方法。

2 模擬退火遺傳算法［6］

退火遺傳算法（Simulated Annealing Genetic Algorithm，SAGA），一般而言，首先考慮遺傳算法GA和模擬退火算法SA兩種算法，但是，這兩種算法都各自具有本身的局限性。文中嘗試將兩種算法結合，豐富其優化過程，從而更有效率地搜索全局最優解。

退火遺傳算法按以下主要步驟進行:

1）初始化控制參數，包括種群規模n，進化代數g，交叉概率pc，變異概率pm，溫度下降因子δ，初始溫度t0。

2）隨機產生一個由確定長度的特征串組成的初始群體。采用實數編碼，即每個染色體表示一個θ的估計，也就是說，每個染色體由s個基因位組成，第k個基因位表示θ的第k個分量（k＝1，2，…，s），為方便記，以下將θ的分量統一用x表示，即θ＝（x1，x2，…，xs），并將它與式（4）定義的θ等同對待。

3）計算每個個體xi的適應度函數值f（xi）。

4）根據適應度值生成新的下一代。

5）根據交叉概率pc和變異概率pm進行交叉與變異操作。

6）利用退火函數Tk＋1＝vTk，v∈（0，1）執行退火操作。

7）決策是否滿足停止迭代的條件，如滿足，輸出最后結果。否則，轉步驟3）。

8）算法結束。

3 應用實例

為了驗證退火遺傳算法在估計混合指數分布參數時的效率，文中提出的雙參數指數混合分布模型在加速應力水平下壽命試驗完全數據場合下進行了模擬，在計算機上產生了100個模擬數據［7］。

加速應力水平為S1＝160K，S2＝395K，S3＝438K，S4＝503K，正常應力水平S0＝325K。采用Arrenius加速模型，在每一個應力水平上進行定數截尾壽命試驗，得到一組模擬數據，其中ri為截尾數。

由數據的經驗分布可知，符合指數類型分布模型如圖1所示。

圖1 數據的經驗分布曲線

進行擬合優度檢驗。首先進行指數分布檢驗，結果見表1。

表1 基于χ2分布的擬合優度檢驗Ⅰ（單參數指數分布擬合）

其中，置信水平為α＝0.1，拒絕域W＝ ｛χ2＜

由表1可以看出，該數據不符合單一指數分布。接下來進行雙參數指數分布擬合檢驗，結果見表2。

表2 基于χ2分布的擬合優度檢驗Ⅱ（雙參數指數分布擬合）

由表2可以看出，該分布也不能用單一的雙參數指數分布來表示。

記θ＝［p，q，λ1，λ2，σ1，σ2］，這里，選取 p＝0.6，λ1＝0.5，λ2＝0.6，σ1＝2，σ2＝2.5，分別取種群大小n＝20，40，60，80，100（即樣本數目），最大進化代數為5 000；交叉概率pc＝0.5；變異概率pm＝0.05；采用算術交叉和非均勻變異，非均勻變異的系統參數為0.01；初始溫度t0＝100℃，溫度冷卻系數δ＝0.95，利用提出的退火遺傳算法對混合分布的極大似然模型進行參數估計。分別在樣本容量為20，40，60，80，100的時候各重復1 000次試驗。第i次試驗得到的估計記為

則

估計結果及誤差見表3。

表3 完全數據場合下的估計結果

由表3可以看出，文中采用退火遺傳算法解決極大似然優化估計問題，所得到的壽命分布參數與真值幾乎吻合，隨著樣本的增加，估計也越準確，從而證明了文中所提出的方法的有效性。

4 結 語

基于最大似然估計法和優化理論的基本原理以對數似然函數為目標函數，建立了可靠性壽命分布參數的最大似然估計模型，并使用退火遺傳算法求解。該方法既可以克服傳統優化技術易陷入局部最優解的缺點，又能夠改善遺傳算法容易早熟的局限性。文中提出的方法具有普遍適用性，可由計算機軟件實現，計算精度和效率較高，適用于各種儀器及電工電子元件的可靠性壽命分布參數的估計。

［1］ 張士峰.混合正態分布參數極大似然估計的EM算法［J］.飛行器測控學報，2004，23（4）:125-128.

［2］ 王建康，蓋鈞鎰.混合分布理論及應用［J］.生物數學學報，1995，10（3）:67-70.

［3］ 方華元，胡昌花，李瑛.基于遺傳算法的威布爾分布的參數估計及MATLAB實現［J］.戰術導彈控制技術，2007，15（1）:100-103.

［4］ 方華元，胡昌華，樊紅東，等.基于GA的可靠性壽命分布參數的極大似然優化估計［J］.上海航天，2006，23（2）:50-53.

［5］ Euan W，Mc Gookin，David J，et al.Submarine manoeuvring controllers＇optimisation using simulated annealing and genetic algorithms［J］.Control Engineering Practice，2006，14（1）:1-15.

［6］ 孫雅芳，王曉丹，徐俊彥，等.基于視覺認知的全局優化算法［J］.長春工業大學學報:自然科學版，2010，31（6）:609-612.

［7］ Marvin A，Arostegui Jr，Sukran N，et al.An empirical comparison of tabu search，simulated annealing，and genetic algorithm for facilities location problem［J］.International Journal of Production E-conomics，2006，103（2）:742-754.