常微分方程初值問題的變分迭代算法

姜兆敏

（江蘇理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 常州 213001）

0 引 言

關(guān)于求微分方程近似解的分析方法很多，如攝動法、同倫分析法、同倫攝動法、變分迭代法、Adomian分裂算法等。其中，變分迭代法已經(jīng)被成功地應(yīng)用于解決各種線性、非線性問題［1－4］，許多研究者還對其進行了改進［5－6］，變分迭代法對求微分方程的近似解、精確解是一種很有效的方法。

文中主要考慮用變分迭代法求解如下n階線性常微分方程的初值問題

其中，a0（x），a1（x），…，an（x），f（x）為連續(xù)函數(shù)。初值條件

1 變分迭代法

為了闡明變分迭代法的思想，以下面形式的非線性微分方程為例說明

式中：L——線性算子；

N——非線性算子；

g（x）——連續(xù)函數(shù)。

方程（1）的校正泛函可表示為

式中：λ（t）——拉氏乘子，可以用校正泛函取駐值的條件來確定；

yn（x）——方程（1）的n階近似解；

2 應(yīng)用舉例

例1 考慮一階線性微分方程

初值條件

方程（3）的校正泛函為

對式（4）進行變分，得

得到駐值條件：

于是可以識別拉氏乘子λ＝－1，將其代入式（4），得到以下迭代公式

取初始近似解y0（x）＝0，應(yīng)用迭代公式（5），通過計算得：

由于

所以

此為所求常微分方程初值問題的精確解。

例2 考慮二階線性微分方程

初值條件：

方程（6）的校正泛函為

對式（7）進行變分，得

得到駐值條件

于是可以識別拉氏乘子λ＝t－x，將其代入式（7），得到以下迭代公式

取初始近似解y0（x）＝x，應(yīng)用迭代公式（8），通過計算得：

此為所求常微分方程（6）初值問題的精確解。

例3 考慮二階柯西－歐拉方程

初值條件：

令

即

初值條件：

同例2，對方程（10）應(yīng)用變分迭代法，得到以下迭代公式

取初始近似解

應(yīng)用迭代公式（11），通過計算得：

原方程化為

此為所求常微分方程（10）初值問題的精確解，從而原常微分方程（9）初值問題的精確解為

例4 考慮三階線性微分方程

初值條件：

方程（12）的校正泛函為：

對式（13）進行變分，得：

得到駐值條件：

于是可以識別拉氏乘子

取初始近似解

應(yīng)用迭代公式（14），通過計算得：

此為所求常微分方程（12）初值問題的精確解。

3 結(jié) 語

用4個具體例子說明了變分迭代法在求解常微分方程初值問題中的應(yīng)用，對于線性問題，使用變分迭代法可以確定拉格朗日乘子的精確值，從而給出有效的迭代公式。只要給出滿足初值條件的初始近似解y0（x），利用變分迭代公式可以逐步提高近似解yn（x）的精度，當(dāng)n→∞時，近似解yn（x）收斂到精確解。變分迭代法對求解常微分方程初值問題是一種很有效的分析方法。

［1］Ji Huan He，Xu Hong Wu.Variational iteration method：New development and applications［J］.Computers and Mathematics with Applications，2007，54：881－894.

［2］Zhang J.The numerical solution of fifth－order boundary value problems by the variational iteration method［J］.Computer and Mathematics with Applications，2009，58：2347－2350.

［3］Shang Xu Feng，Han Dan fu.Application of the variational iteration method for solving nth－order integro－differential equations［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2010，234：1442－1447.

［4］Ganji D D，Hafez Tari，Bakhshi Jooybari M.Variational iteration method and homotopy perturbation method for nonlinear evolution equation［J］.Computer and Mathematics with Applications，2007，54：1018－1027.

［5］Ahmad Soltani L，Ahmad Shirzadi.A new modification of the variational iteration method［J］.Computer and Mathematics with Applications，2010，59：2528－2535.

［6］Hafez Tari.Modified variational iteration method［J］.Physics Letters A，2007，369：290－293.