高等代數概念教學策略初探*

賴弋新，楊慧娟

(青島大學師范學院數學系，山東 青島 266071)

“數學概念是反映一類事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性的思維方式，往往脫離了事物的具體物質屬性”［1］.所以正確理解數學概念，是掌握數學知識的基礎.學生如果不能理解數學中的各種概念，就不能很好地掌握各種公理、定理、推論，更談不上利用所學知識去解決實際問題.因此，搞好數學概念的教學，是提高數學教學質量的關鍵.

高等代數是高校數學專業的重要基礎課，一般在大一開始學習.高等代數中的概念具有高度的抽象性，大一新生由于抽象思維能力發展等方面的限制，接受高等代數中的概念會有一定的困難.如果教師只是照本宣科地提出概念的正確定義，缺乏生動的講解，對某些概念講解不夠透徹，可能使得部分學生對概念的理解模糊不清，甚至一知半解，從而也就無法對概念進行準確應用.“因此在教學過程中，注意利用學生已有的具體經驗，使學生弄清楚新概念的存在性，明確新概念仍是客觀現實的某種反映”［2］.教師可以結合學生心理發展特點去分析事物的本質特征，探尋有效的教學策略.

1 在已有經驗基礎上揭示高等代數概念來源

對于抽象的概念，有效的方法就是“重視與學生已有經驗的聯系”使學生引起認知沖突，直面數學困惑，置身于渴望解決問題的情境之中.學生的思路應該在學生自己的頭腦中產生，教師的作用在于系統地給學生發現事物的機會，啟發學生在允許的條件下親自去發現盡可能多的東西.因此，在教學中，教師應熟悉并重視學生已有的經驗，使學生在已掌握的知識基礎上去想高等代數，“經歷比較、抽象、概括、假設、驗證和分化等一系列的概念形成過程”［3］，從中學到研究問題和提出概念的思想方法，在獲得概念的同時培養學生的探索能力和創新精神.所以在形成高等代數概念的過程中，首先要有與之相關的基礎材料，讓高等代數知識與學生的現實生活和已有經驗密切結合，使學生感受到高等代數是有趣的，是有實際意義的.

例如，“在講解n階行列式的定義時，首先比較二階行列式展開式，得到:1)它是2!=2項的代數和;2)每一項都是兩個元素相乘，且這兩個元素位于不同的行和不同的列;3)每一項的兩個元素行標按自然順序排列后，其所在列標構成的全部二元排列為12和21，前一個為偶排列與其對應的項a11a22取正號;后一個為奇排列，與其對應的項a12a21取負號，于是二階行列式可簡寫為:

通過這樣一個由2階到n階的推廣與抽象，不僅有利于學生在感性認識的基礎上認識概念的本質，還能促進高等代數直覺的形成、高等代數知識思維的發展，更能促進學生在以后遇到相關問題時自覺地運用有關的高等代數經驗去思考、解決問題.

2 多渠道幫助學生理解新概念的存在性

高等代數中的很多概念，都是建立在其他的數學概念基礎之上的.所以，高等代數的概念較抽象，但又源于各自的具體內容.因為學生在學習中頭腦都已建立了一些概念，所以引入新概念時，充分利用學生頭腦中已有的知識，是非常重要的，這樣就使學生能理解新概念的存在性，明確新概念仍是客觀現實的某種反映.

例如，在學習多項式理論時，多項式的整除、多項式的最大公因式、多項式互素、不可約多項式等概念.學生在中學數學中已掌握了多項式的加、減、乘、除及多項式因式分解的常用方法，這些都是理解這些概念的基礎，同時又可與中學數學的數論中整數的整除、最大公因數、整數的互素、素數等概念作類比.在引入歐氏空間的概念時，解析幾何中的向量長度和夾角給出了歐氏空間的具體實例，歐氏空間中向量的內積就是從解析幾何中向量的數量積這一概念抽象而得到的.“從而學生會體會到歐氏空間這個概念不是由數學家虛構的，而是客觀世界中存在的”［1］.

高等代數的高度抽象性要求在教學中在給出新問題后，盡可能聯系實際例子加以說明.如講線性方程組的行列式解法和矩陣的初等變換法后，如果把它與中學數學的二元一次方程組及三元一次方程組的消元法結合起來講解，學生很容易觀察到用消元法解線性方程組的過程，就是對線性方程組的增廣矩陣作初等變換使其對角化的過程.同時，學生自然認識到矩陣的初等變換存在的必要性與重要性.

3 建立新概念應注意概念內涵與外延

“概念的形成是一個積累漸進的過程，因此，在概念的的教學中要遵循從具體到抽象，從感性認識到理性認識的原則”［3］.給出了新概念的定義以后，還必須建立概念的確定性，即弄清概念的內涵與外延.

例如線性空間是高等代數的一個重要概念.線性空間概念的實質是線性空間里有一個向量加法和一個純量乘法運算，且滿足8條規則.

學生剛開始接觸這個定義時感到很抽象、不習慣，因此必須在教學中加以解決.首先依照定義讓學生逐步掌握“線性空間”的以下意涵:1)線性空間是一個代數系統;2)線性空間中定義了兩種代數運算，一個稱為加法，一個稱為數量乘法;3)加法滿足4條規則，數乘也滿足4條規則.同時例舉大量例子加以驗證，這樣學生就能胸有成竹了.

隨著教學內容的進行，學生對線性空間的認識也會逐漸加深.他們將逐步認識到歐氏空間也是在線性空間的概念中添加一些內容構成的，事實上，歐氏空間是特殊的線性空間，它在線性空間的基礎之上定義了一個二元函數(被稱為內積)，且這個二元函數滿足4條規則，進一步，學生還能看到歐氏空間中還有向量長度和夾角的概念，這與學生已經具備的空間解析幾何知識非常接近，學生在整個學習過程中對線性空間的理解就會逐步得到加強，抽象感就逐漸消失了.

4 實施變式教學，回歸問題原型

“合理的變式教學可以促進學生有意義的主動學習，幫助學生構建良好的知識結構，進而發展他們靈活地解決問題的能力”［5］.所以在高等代數概念教學中可借助適度變式，提出富有探究性、挑戰性的問題，讓學生在嘗試中體驗高等代數概念，通過自己的思考建立起對概念的理解，逐漸認識概念的本質.

例如，我們在講解線性變換概念時，首先必須了解什么是變換，其次思考什么是線性的變換，考慮到是線性空間上的線性變換，變換還必須保持加法和數乘.在講完線性變換概念后，為了鞏固所學知識，可以加強變式練習.如可以讓學生練習:判斷下列所定義的各變換σ是否為線性變換，1)線性空間V中，σ(x)=x+α，其中α為V中一固定向量;2)線性空間V中，σ(x)=α，其中α為V中一固定向量;3)把復數域看作復數域的線性空間上，σ(x)=.通過這些變式讓學生體驗線性變換概念，自己思考并建立起對線性變換概念的理解，逐漸認識概念的本質.

5 通過反思深化對高等代數概念的理解

德國哲學家黑格爾認為反思是從聯系中把握事物內部的對立統一本質的概念.在高等代數概念教學中，促使學生反思他們的體驗和獲得的知識，不僅可以提高反思性學習的能力，而且可以讓學生對高等代數的概念有更為深刻的理解.

例如，講解特征值與特征向量的概念后，讓學生從幾何的角度反思特征值與特征向量的概念，如從幾何上看，特征向量ξ與其像σ(ξ)在同一直線上，當特征值λ0＞0時，兩向量方向相同，當特征值λ0＜0時，兩向量方向相反，當特征值λ0=0時，σ(ξ)=0.通過這些反思，學生會對特征值與特征向量有更深刻的理解.

再如“證明:若矩陣 A，B∈Pn×n，AB=0，則秩(A)+秩(B)≤n”，讓學生反思這類證明的基本思路就是:由AB=0，于是B的列向量是齊次線性方程組AX=0的解，由秩(A)=r，則AX=0的基礎解系由n－r個解組成，所以秩(B)≤n－r，因而秩(A)+秩(B)≤n，通過這樣一個反思過程，學生可以更深刻地理解矩陣秩的概念和證明秩的不等式的方法.由此可見，對一個新概念的理解不能只靠定義的解釋，其他問題和習題的運算或推證等學習活動對于深刻理解一個概念的本質屬性也是十分必要的.

6 結語

“語言是思維的物質載體，高等代數概念是用科學、精練的數學語言概括表達出來的，它所揭示事物的本質屬性必須是確定的，無矛盾的，有根有據并合情合理的”［3］.所以，高等代數概念形成之后，應及時讓學生用語言表述出來以加深對高等代數概念的印象，促進學生內化.

教師在學生學習高等代數概念的過程中，要做好引導工作，注重培養學生的主體意識與參與意識，改變傳統高等代數教學中“重定理證明、輕概念”的思想，幫助學生自主學習，改變學習方法.如教師可以引導學生去感受高等代數概念引入的必要性與合理性;引導學生合理地進行高等代數概念的抽象;引導學生進行高等代數概念的“數學化”來培養語義轉化能力;引導學生學會在高等代數概念的定義中進行科學的歸納;引導學生在高等代數概念的應用中深化對概念的認識和理解、體會概念的價值，從而讓課堂有機、有序、高效地達成目標.

除了引導，我們認為必要的時候，教師應對學生提供一定力度的干預.如當學生對概念的理解或是表述出現偏差時，教師要及時制止，以便培養學生正確的表述高等代數概念的習慣，促進學生數學思維的深刻性.這也有利于高等代數教學目標的順利實現.

［1］劉志輝.高等代數概念教學之我見［J］.遼寧教育行政學院學報，2007，(6):171 －172.

［2］翟瑩.師范院校高等代數與解析幾何教學改革探究［J］.四川教育學院學報，2010，(1):112－114.

［3］鐘向軍.初中數學概念教學淺探［J］.基礎教育論壇，2007，(3):130 －131.

［4］王文省，趙建立，于增海，等.高等代數［M］.濟南:山東大學出版社，2004.

［5］鮑建生，黃榮金，易凌峰，等.變式教學研究(再續)［J］.數學教學，2003，(3):6 －12.