淺論抽象矩陣秩的問題*

趙忠華

（菏澤學院 計算機與信息工程系，山東 菏澤274015）

矩陣的秩是線性代數中一個重要的概念，矩陣的初等變換是研究矩陣的秩的重要方法［1］.但抽象矩陣秩的計算與證明無法利用矩陣的初等變換求矩陣的秩，所以抽象矩陣秩的計算與證明是線性代數比較難的內容之一，但其在線性代數的教學與研究中都占有重要的地位，矩陣的秩與線性方程組的解、向量組的線性相關性等知識都有密切的聯系，矩陣秩的計算與證明的教學方法一直被廣泛討論.

1 矩陣秩的定義與定理

定義1 在m × n 矩陣A 中任取k 行k 列（k ≤m，k ≤n），位于這些行列交叉處的k2個元素，不改變它們在A 中所處的位置次序而得的k 階行列式，稱為矩陣A 的k 階子式.

定義2 矩陣A 的最高階非零子式的階數叫做矩陣A 的秩，記作r（A）［2］.

定理1 矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.

定理2 若A為列滿秩矩陣，則r （AB）= r （B）［3］.

證明 假設A為m × n 矩陣，B為n × s 矩陣，由于A為列滿秩矩陣，所以r（A）= n，m ≥n，存在一個m 階可逆方陣P，使，于是，所以r（AB）= r（PAB）= r（B）.

定理3 若A 是m × n 矩陣，若AX = O 有非零解，記rs為解集的秩，則r（A）+ rs= n.

2 矩陣秩的例題分析

通過對一般矩陣進行初等行變換，往往能夠較好掌握利用矩陣的行秩或列秩來判斷矩陣的秩.但是，抽象矩陣是指不給出矩陣的具體元，而是告訴矩陣所具有的某些性質，所以對于抽象矩陣秩的綜合題［4］，往往在已知條件和結論之間的聯系不是十分明顯，不知如何下手.對此類現象，以幾個抽象矩陣秩的計算或證明例題的講解為例，強調分析條件與結論之間的聯系的重要性.

例1 （2012年考研數學一試題）設x為三維單位向量，E為三階單位矩陣，則E－xxT的秩為（）.

分析:作為一個考研題目，要求學生較全面的掌握基礎知識，加以綜合分析，就本題而言，很顯然1為矩陣E－xxT的特征值，而r（E－xxT－E）= r（－xxT）= 1，所以1為矩陣E－xxT的二重特征值，x為矩陣E－xxT一個特征向量，所對應的特征值為0.

解 因為x為三維單位向量，所以xxT= 1，（E－xxT）x = x－xxTx = O.又因r （E－xxT－E）=r （－xxT）= 1，即1為矩陣E－xxT的二重特征值.故E－xxT的三個特征值分別是0，1，1.

所以E－xxT的秩為2.

例2 設A，B為三階方陣，A2+ A－2E = O，r（B）= 2，求r （AB－2B）.

分析:由于A，B 均為抽象矩陣，考慮利用定理2 來求解.A2+ A－2E = O 的矩陣方程為已知條件，所以所給條件要充分分析整理，因為AB－2B = （A－2E）B，若A－2E為滿秩矩陣，則r（AB－2B）= 2.

解 因為A2+A－2E = O，所以A－2E =－A2，A（A +E）= 2E ，A為可逆矩陣，－A2為可逆矩陣.

故A－2E為可逆矩陣，即A－2E為列滿秩矩陣.由于r（AB－2B）= r（（A－2E）B）= r（B），已知r（B）= 2，根據定理2 可得r（AB－2B）= 2.

例3 設A為n 階方陣，且A2－A－6E = O，證明r（A +2E）= r（A－3E）= n.

分析:對于證明矩陣方程作為已知條件的，主要利用矩陣秩的性質與方程組解的性質.

證明 因為A2－A－6E = O，所以（A +2E）（A－3E）= O，r（A +2E）+ r（A－3E）≤n.

又因r（A－3E）= r（－A +3E），所以:

r（A +2E）+ r（A－3E）= r（A +2E）+ r（－A +3E）≥r（A +2E－A +3E）= r（5E）= r（E）= n.

故r（A +2E）= r（A－3E）= n.

例4 設A，B ∈Rn×n，且A2－2AB = E，則r（AB－BA + A）= （）.

分析:本題給出已知條件和要求矩陣的秩，主要是利用矩陣的性質，靈活變換已知條件，來求矩陣的值.

解 因為

所以A（A－2AB）= E.將A（A－2AB）= E 左乘矩陣A－1可得A－2B = A－1.將A－2B = A－1兩邊分別右乘矩陣A 可得（A－2B）A = A－1A = E.所以:

由式（1），（2）可知AB = BA，r（AB－BA + A）= r（A）.又因A－2B = A－1.所以r（AB－BA + A）= r（A）= n.

例5 設A為n 階方陣，證明:r（An）= r（An+1）.

分析:因A為n 階方陣，所以An，An+1都為n 階方陣，要證r（An）= r（An+1），根據定理3 可知，只需要證明AnX = O 與An+1X = O 同解即可.

證明 設AnX = O，An+1X = O，很顯然AnX = O 的解都是An+1X = O 的解.要證An+1X = O 的解也是AnX = O 的解.采用反證法來證明，假設a為AnX = O 的任意解，不是An+1X = O 的解，所以An+1a = O，Ana≠O.所以a，Aa，…，Ana 一定線性相關.所以存在一組不全為零的數k1，k2，…，kn+1使:

因為Ana ≠O，所以An，An－1，…，A 均不是零矩陣，用An，An－1，…，A 依次左乘（3）式，可得k1= k2= … = kn+1= 0，所以a，Aa，…，Ana 一定線性無關.與假設矛盾，所以假設不成立，原命題正確.所以An+1X = O 的解也是An+1X = O 的解.

例6 設A，B ∈R3×3，r（A）= 2，B3= 0，求r（AB－A）.

分析:本題計算矩陣的秩由于AB－A = A（B－E），若能求出矩陣B－E為滿秩矩陣，根據定理2 可知，A（B－E）的秩就是矩陣A 的秩.

解 由分析可知，若要出現B－E，因為－E = B3－E = （B－E）（E + B + B2）.所以B－E為可逆矩陣，r（AB－A）= r（A）.又因A，B ∈R3×3，r（A）= 2，故可得r（AB－A）= 2.

通過以上6 個例題說明，對于抽象矩陣求秩或者證明矩陣的秩，主要利用了定理2和定理3 來求解和證明，在教學過程中充分引導學生根據矩陣方程的特點靈活變形［5］，有助于提高學生分析和解決實際抽象矩陣秩的問題的能力.

［1］嚴坤妹.一類矩陣的秩［J］.福建商業高等專科學校學報，2005，8（4）:59－60.

［2］同濟大學數學系.工程數學線性代數［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［3］謝國瑞.線性代數及應用［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［4］陳洪，陶燕芳.矩陣的秩例題教學淺析［J］.湖北成人教育學院學報，2011，17（3）:122－141.

［5］趙忠華.利用“升階法”計算行列式值的研究［J］.牡丹江大學學報，2012，21（12）:125－127.