基于響應面法的液壓平板車車架結構優化

王新彥 戈余麗 桂 天 張勝文 王 琪

1.江蘇科技大學，鎮江，212013 2.密西西比大學，牛津，38655

0 引言

平板車是對貨物水平運輸的理想高效運輸設備，在船廠、碼頭、火車站、機場、大型工廠、倉庫等物料搬運場所被廣泛使用。我國對此類重型車車架設計及強度校核多依靠經典的材料力學、彈性力學等傳統的經驗和方法，其缺點是會造成應力分布不均，強度分配不合理，而且設計周期長，設計成本高。可靠性設計考慮了隨機因素對安全性的影響，更能揭示事物的本來面貌，提供全面的信息，避免了傳統方法追求保險導致過分保守的設計，從而能夠節約原材料、降低成本并帶來較大的經濟效益。為了更好地研究車架應力與結構之間的關系，常需要構造其顯式表達，多項式響應面法是解決此類問題應用較為廣泛的方法，Kaymaz等［1］通過加權響應面法進行結構的可靠性分析，Wong等［2］將載荷步法運用到響應面法中進行了可靠性分析，Knill等［3］利用縮減項的響應面模型來預測高速民用運輸機（HSCT）超音速阻力的歐拉解。但是在進行基于響應面法的可靠性分析時容易出現回歸矩陣奇異的現象［4］。本文在使用上述方法進行常規編程求解時，在迭代計算至第二步時便程序報錯，發生矩陣奇異情況，導致計算無法進行。

針對上述問題，本文以320t液壓平板車車架為例進行了如下的探索：①首先進行了靜應力試驗及有限元分析，確定了危險部位，并以危險部位車架腹板孔口處圓角半徑、薄板厚度和長度為設計變量，運用回歸設計方法獲得了響應面函數，確保響應面函數為最優回歸；②利用響應面函數構建顯式約束條件，進行車架的輕量化設計；③在響應面函數已知的情況下，結合可靠性理論，對車架結構進行可靠性分析。

1 車架有限元分析及應力試驗

根據車架結構及載荷的對稱性，利用ANSYS軟件的參數化設計語言建立1／4液壓平板車車架參數化有限元模型。車架材料為Q345，彈性模量為206GPa，泊松比為0.3，密度為7850kg／m3。采用shell63單元，參考單元邊長為20mm。

車輛靜止時，車架承受的靜載荷由車身和車架的自身質量、車架上各總成與附屬件質量及有效載荷組成。本文主要考慮車架自重、置物架質量10t以及滿載質量320t，忽略附件影響。車輛行駛時車架受到的動載荷作用可用動載荷系數來衡量。平板車有6組軸線，采用液壓懸掛，具有良好的減振性能，由文獻［5］，可取動載荷系數為1.26。加載時，將靜載荷乘以動載系數所得的動載荷施加在相應的作用節點上。對平板車車架而言，最常見及影響較大的工況為滿載彎曲。平板車車架通過回旋支撐與懸架相連，將懸架與車架接觸部分的中間4個環形區域節點進行全約束，其余部分約束Z方向位移。對于本文1／4車架模型，只需在左邊的環形接觸區域進行全約束，其余兩處約束Z方向位移，另外在對稱中心面上施加對稱約束，如圖1所示。

圖1 1／4車架邊界約束

由有限元分析結果可知，車架最大von Miss等效應力為159.829MPa（圖2），發生在車架橫梁上翼板焊接處，與焊接質量有關。次大值發生在橫梁之間的腹板圓角處，為143.799MPa（圖2圓圈處），說明此位置存在應力集中現象。

圖2 車架有限元應力分析結果

對某平板車進行應力試驗（圖3），選取車輛滿載靜止和車輛滿載并以1km／h勻速行駛兩種工況。取車架板件連接部位及圓角等截面突變位置作為試驗點進行應力試驗，具體位置如圖4所示，箭頭所指即是腹板處試驗點位置。

圖3 應力現場試驗

圖4 應力試驗點位置

試驗結果表明，行駛中的車輛應力值相對靜止時分布有所不同，最危險的部位與靜止時一致，數值上有所增加。有限元仿真結果與應力試驗結果對比如表1所示。結果表明，仿真與動態試驗誤差不大于14.8%，可認為有限元模型是有效的。

表1 試驗值與仿真值及其誤差

據文獻［6］可知，圓弧與直角邊過渡處經常發生應力集中現象。大量文獻探討了關于薄板切口的應力集中系數，但大多屬于理論探索，其對矩形薄板的結構形式及受力有很多限制［7－9］。為此本文取敏感部位的參數，即腹板開孔孔長、寬及倒圓半徑為不確定變量，以此更有效地避免應力集中現象，為優化提供重要參考。

2 車架的響應面模型

2.1 二次回歸響應面法的思路

響應面法的基本思想是用形式已知的簡單函數，通過一系列確定性試驗，來構造隱式極限狀態函數的解析表達式，再通過合理的選取試驗點和迭代策略，來保證多項式函數能夠在概率上收斂于真實的隱式極限狀態函數。本質上來說，該方法是數學方法與統計方法相結合的產物［10］。通常，響應面函數中考查的因素間關系是未知的，進行二次回歸設計可以滿足一般非線性問題的基本要求。組合設計既能全面滿足試驗要求，又能充分利用信息［11］。

為滿足以上要求，本文選擇二次回歸正交組合設計為試驗方案，它是在自變量空間中選擇幾種類型的點組合成試驗計劃，以確定響應面函數的顯示表達式。該方案的基本步驟為：

（1）定義設計變量和響應變量；

（2）確定設計變量變化范圍并進行因素編碼；

（3）選用相應的組合設計進行試驗，獲得其響應值；

（4）確定回歸函數的系數。

2.2 車架響應面模型

為獲得腹板處最大應力值與腹板尺寸參數間的顯式函數表達式，運用二次回歸正交組合設計方法，擬合其回歸數學模型表達式：

式中，β0、βj、βij、βjj、εα為待定系數；y為函數；xαi、xαj為自變量。

編制試驗方案，結合有限元分析求解系數值。首先選取設計變量為腹板開孔處孔長、寬及倒圓半徑，記為z01、z02、z03（圖5），設計變量總數記為P。根據結構限制與設計要求，設計變量的取值范圍如表2所示，對設計變量進行編碼，用xj表示水平，zj表示因素，其對應關系如表3所示。其中，z2j、z1j為對應第j個因素的上下限，Δj可通過公式Δj＝（z2j－z1j）／（2r）求得，其中r為臂長，可由表查得［10］，這樣就完成了設計變量的編碼。對表3中3因素5水平進行試驗，通過有限元軟件ANSYS求解其響應值，即腹板處最大應力值。 試驗號1，即孔長z1為1175.26mm，孔寬z2為193.23mm，倒圓半徑z3為34.12mm時，腹板的最大應力如圖6所示，最大值為173.716MPa。按照三元二次回歸正交設計試驗方案，并計算響應值，如表4所示。

圖5 選作設計變量的腹板參數

表2 設計變量取值范圍mm

表3 設計變量編碼表 mm

圖6 試驗號1的腹板應力云圖

表4 車架正交組合設計試驗方案

根據上述試驗方案計算式（1）的各項系數，獲得如下回歸方程：

經F檢驗顯示，回歸方程達0.01顯著，表明方程擬合很好，達極顯著水平，可以認為是最優回歸方程［7］，即車架腹板最大應力值回歸函數。

3 車架結構優化

通過二次組合回歸設計得出腹板最大應力值與腹板尺寸的關系式后，可調用MATLAB優化工具箱提供的fimincon函數進行非線性優化求解。

以腹板孔長、寬和倒圓半徑為設計變量，腹板質量最小為優化目標，各設計變量的上下限及最大應力值小于許用應力為約束條件，建立如下優化模型：

其中，y0為許用應力，Q345的屈服極限為345MPa，取安全系數為2，許用應力值為172.5MPa。y（z1，z2，z3）函數即由前面的回歸公式將設計變量z1，z2，z3替換編碼x1，x2，x3得到。由于密度和厚度為固定值，將質量最小簡化為橫截面積S最小，其計算公式為

通過MATLAB的非線性優化函數fimincon計算上述模型的最優值和對應的設計變量取值。優化結果為：當孔長為1123mm，孔寬為195mm，孔倒圓半徑為26mm時，得最小截面面積為250 540mm2，使腹板質量減小6.92%，此時腹板處最大應力為171.94MPa。

4 可靠性分析

在功能函數形式已知的情況下，可通過一次二階矩法計算結構的可靠度。工程結構可靠度的分析具有大量的不確定性，結構本身的不確定性包括構件材料的性能、截面幾何參數和計算模型的精度等［12］，本文以腹板截面幾何參數zj為隨機變量，根據可靠性理論知識，用隨機向量表示結構中的不確定參數為功能函數，那么即為極限狀態方程，可靠度指標β表示為

其中，Pr為可靠概率，Pf為失效概率。由可靠度指標的幾何意義可知，在極限狀態曲面上離原點最近的點稱為驗算點，其對應的最短距離即為β，那么，可靠度指標可以歸結為優化約束模型［13］：

上述優化模型也可由MATLAB非線性優化函數fimincon進行編譯求解。最后將優化結果如下（尺寸取整）：孔長為1132mm，孔寬為185mm，孔倒圓半徑為26mm時，可靠度指標為3.5111，失效概率為2.2311×10－4，可認為結構可靠。此時腹板的截面積為260 570mm2，腹板質量減輕了3.20%，最大應力值為166.145MPa。

通過上述兩種優化模型的求解可知：以許用應力為約束條件的輕量化設計使得腹板質量下降了6.92%，此時最大應力值為171.945MPa；通過可靠度分析獲得的腹板參數使得腹板質量下降了3.20%，并取得最大應力值為166.145MPa（表5）。上述兩種模型都是在滿足結構強度要求的前提下，對部件尺寸參數的優化，不同之處在于前者是以質量最小為優化目標，并在優化過程中把參數都看作確定量；而后者以可靠度為目標，可靠性設計本身考慮隨機因素的影響。由優化結果可見后者相對安全，保證了構件的可靠度，但這是以材料體積為代價的，所以在一般情況下可采用輕量化的設計減少材料費用，在需要高可靠度的情況下可采用后者來保證結構安全性。

表5 兩種優化方法結果對比

5 結論

（1）使用ANSYS軟件建立了1／4車架結構的參數化有限元模型，與試驗結果進行對比，證明了有限元模型的有效性。利用分析結果，擬定腹板結構尺寸為敏感參數作為優化的設計變量。

（2）通過二次正交組合設計的方法獲得了車架腹板處最大應力值的近似表達式，經F檢驗該式達顯著水平，可以認為是最優回歸方程。

（3）利用MATLAB的優化工具箱，使用非線性優化函數fimincon對車架腹板結構分布進行了輕量化設計和可靠性分析。前者優化使得車架結構更輕，更充分地利用了材料；而后者更注重車架結構安全可靠，可為平板車車架結構的設計提供一定參考。

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