一種針對未知參數系統的實時混沌化方法

周加喜，徐道臨，張月英，劉春嶸

(湖南大學 機械與運載工程學院 深海裝備研究與開發中心，長沙 410082)

近年來，混沌化(或混沌反控制)越來越被學者所重視，其工程應用已涉及信息加密、寬帶通信、溶劑混合以及生命科學等領域［1］。近期Lou等［2］提出當隔振系統處于混沌狀態時，將簡諧輸入轉化為寬頻輸出，有效改變了噪聲的線譜特征，提高了水下航行器的隱蔽性。但系統混沌狀態敏感地依賴于激勵條件和系統參數，當其改變時，混沌很可能隨之而消失;而且針對某一激勵條件確定的混沌參數對應的隔振系統不能保證其隔振性能。因此，多種方法被用來實現隔振系統的混沌化。

Yu等［3］提出用一種類似于廣義混沌同步的方法，用類似達芬系統的混沌信號驅動隔振系統使之處于混沌狀態，但該方法似乎僅適用于特定參數。Wen等［4］基于改進的投影混沌同步化方法，利用電系統(達芬系統)驅動隔振系統，使系統處于混沌狀態，且隔振性能良好，但該方法需要較大的能量完成控制過程。Liu等［5］提出用反饋控制來實現隔振系統的混沌化，該方法以最大Lyapunov指數為正作為控制目標，但這類控制方法在實時控制中不可行［4］。張振海［6］基于 Konishi［7］的離散反饋控制方法對隔振系統進行了混沌化。該方法通過在時間區間［nT，(n+1)T］對系統積分建立x［(n+1)T］與x(nT)的映射關系，將連續系統離散，然后利用離散時間系統反饋混沌化方法［8］對系統實施混沌化。而時延反饋混沌化方法［9］可以直接對連續時間系統實施混沌化，且研究表明不管線性系統還是非線性系統，都能達到很好的混沌化效果。Xu等［10］也指出時延反饋控制可作為系統狀態混沌或非混沌的開關。但是，多數混沌化方法都是針對確定系統，且對系統的動力學特征需分析得十分透徹，而針對未知系統的混沌化研究幾乎沒有。

本文將基于作者之前的工作［11］，提出一種針對未知參數系統的實時反饋混沌化方法?；谙到y穩態響應構造性能指標，量化系統穩態行為(周期或混沌等)，隨著時間進程的推進，依照直接尋優算法，調整反饋控制器的時延，直至算法收斂，此時認為性能指標達到最小值，且系統進入最佳混沌狀態。本方法最大的優勢在于僅僅需要通過數值仿真或試驗測試獲取系統穩態響應，并構造頻譜性能指標來量化系統狀態;通過優化時延量來控制頻譜特性，將混沌化問題轉化為優化問題，跨越了界定混沌參數的傳統方法;本方法的實施無需知道系統參數，對于工程實際系統易于實現實時控制。

1 混沌化方法

1.1 理論模型

如前所述隔振系統處于混沌狀態可有效控制噪聲線譜特征［2］，但針對激勵條件，系統混沌參數域是一定的，而具備混沌參數的系統不一定具備隔振性能;而且當激勵條件改變時混沌狀態會隨之而消失。因此，多種控制方法被用來對隔振系統實施混沌化。本文擬采用時延反饋控制，對雙層線性隔振系統實施混沌化。雙層隔振系統可簡化為如圖1所示的二自由度質量－彈簧系統。m1，m2分別表示被隔振設備和筏體;k1，k2為線性彈簧;c1，c2為黏性阻尼。在 m1和m2之間安裝作動器 u，以實現反饋控制。控制流程亦見圖1:采集系統響應，并對信號進行延遲和非線性函數運算處理，進而作為控制信號輸入作動器并執行，從而實現時延反饋控制。在簡諧激勵力和控制器作用下系統的運動方程為:

其中:u(t，τ)為時延反饋控制器。如果系統參數已知，根據Wang和Chen的方法［1］可以推導出控制器的解析表達式;而本文考慮的是未知參數系統，故采取類似形式的控制器:

這種非線性控制器能比較容易實現動力系統的混沌化，但混沌參數區間需要利用分岔分析來界定。當系統參數未知時，混沌參數區間的界定將無從下手?；谖覀冎疤岢龅淖顑灂r延反饋混沌化概念［11］，跨越尋找混沌參數的傳統方法，針對未知系統混沌化提出以下控制策略。

圖1 受時延反饋控制的二自由度系統Fig.1 Two DOFs system under time-delay feedback control

1.2 控制策略

核心思想:實時跟蹤系統響應，獲取一段時間內的穩態響應，并進行快速傅里葉變換(FFT)得到系統響應的幅值譜，然后利用并改造我們之前構造的性能指標［11］，量化系統的動力學行為，混沌行為越明顯則性能指標越小。依照Hooke-Jeeves方法［12］，隨著時間進程，及時調整控制器的時延，直至性能指標趨近于最小值，則認為系統已處于較好的混沌狀態。其流程圖如圖2所示。

圖2 實時最優時延反饋混沌化流程圖Fig.2 Flow chart of the optimal time-delay feedback chaotification method

基于數值仿真或實驗測試獲得的系統響應，性能指標通過如下表達式來構造:

其中:Y為系統響應時間序列di的幅值譜;Ymax，Ymin分別為幅值譜的最大值和最小值;為幅值譜除去前三個最大值后所有幅值的均方根，該值用來衡量響應中諧波或(和)次諧波成分的多少，即用其來近似描述幅值譜的寬度。除去前三個最大值是為了區分擬周期、鎖相與混沌。眾所周知，寬頻連續譜預示著系統響應很可能是混沌的［13］。

在時間歷程中，先后取等長的三個時間段ΔTk，ΔTk+1，ΔTk+2，分別施加時延為τj，τj－δ，τj+δ的控制輸入，如圖3所示。每個時間段ΔT包含三部分:第一部分Td消除瞬態響應;第二部分Ts為穩態響應時間段;考慮到實際控制系統，第三部分Tc為性能指標計算和尋優算法所消耗的時間。性能指標I便是基于第二部分時間段內的穩態響應構造而來。

Hooke-Jeeves方法［12］是一種直接搜索方法，包含探索步和加速步。探索步通過比較τj，τj－δ，τj+δ對應的指標值，確定每個迭代的基點τj+1。如果指標值沒有改善則折減探索步增量δ/λ，再進行探索，當δ≤ε時搜索結束。探索步成功找到新基點后，實施加速步。如果指標有所改善，則加速成功，將加速后的點作為基點返回探索步;如果加速失敗，則直接回到探索步。控制器時延值每次探索或加速，時間歷程按ΔT推進，性能指標不斷被改善，直到滿足算法的收斂條件，性能指標達到最小值，從而達到混沌化的目標。

圖3 尋優時間歷程Fig.3 Time process for searching optimal time delay

2 數值算例

表1 系統參數Tab.1 System parameters

圖5 混沌化過程中四個時段的系統穩態響應Fig.5 Steady state responses in four time intervals in the process of chaotification

圖5給出了時間歷程中四個時間段的系統穩態響應，分別為 ΔT1∶0 ～90 s，ΔT4∶270 ～360 s，ΔT7∶540 ～630 s，ΔTf∶1 890 ～1 980 s，其中 ΔTf是指系統最終狀態的響應。系統無控制作用時，系統響應為周期，如圖5(a)、圖6(a)所示，其功率譜為線譜。ΔT4時間段內，控制器時延為0.4 s，系統穩態響應的功率譜為連續譜，最大李雅普諾夫指數(LE)為0.688 2，依此判斷系統進入混沌狀態，但觀察響應時間歷程(圖5(b))，其混沌狀態不甚明顯。時延系統在數學意義上是無窮維動力學系統，其最大LE無法直接按照定義法計算，本文采用基于小數據量的Rosenstein方法［14］計算。ΔT7時間段內，控制器時延為1 s，系統穩態響應的功率譜為連續譜(圖6(c))，最大LE為0.662 3，意味著系統響應是混沌的，且響應時間歷程也可以比較明顯地觀察到混沌(圖5(c))。時延經過不斷調整，最終收斂于1.1 s，系統穩態響應如圖5(d)，可以比較明顯地觀察到混沌，且其功率譜為連續譜，最大 LE為1.871 1。ΔT7時間段內響應雖然是混沌的，但其振動幅值明顯比最終狀態的幅值大，且其最大LE比最終狀態的小，這說明系統最終狀態的混沌特征最明顯，且振動幅值較小，對于混沌隔振系統［4］是比較理想的狀態。

圖6 與圖5時程響應相對應的相圖和功率譜密度(PSD)Fig.6 Phase plane and power spectrum density(PSD)corresponding to time histories in Fig.5

圖7 時延(a)和性能指標(b)隨性能指標計算步數的變化Fig.7 Variations of(a)time delay and(b)performance index against index evaluation count

通過上述對時程響應的分析可知，按照直接尋優算法調整時延，很容易使系統混沌化，而且隨著時延逐漸趨近于最優值，系統響應混沌特性越來越明顯，最終系統狀態定格于混沌化性能最優的混沌狀態。從圖7可以觀察時延和性能指標隨指標計算步數的增加，也就是隨著時間歷程向前推進，指標值I越來越小，最終時延收斂至最優值τopt=1.1。

眾所周知，混沌運動對初始條件的依賴性很強。程序開始時，及ΔT1∶0～90 s，系統初始條件為(0，0，0，0)，但隨著時間推進，每個時間段ΔTk的初始條件都是繼承前一個時間段ΔTk－1的末了狀態，那么，對于作用相同時延的控制，性能指標I可能因初始條件不同而不同，也就是說，性能指標與時延不是完全一一對應的。然而，本文數值仿真的結果已經證實:假設性能指標與時延一一對應的前提下得到的‘最優’時延能使系統處于較好的混沌狀態。

需要說明的是，對于未知參數系統，為更好地實現對系統的控制，首先應根據系統響應，對系統進行參數識別獲取系統近似參數，把握系統的振動動力學特性，然后再利用本文的控制方法對系統進行混沌化。

3 結論

本文針對未知參數系統提出一種基于頻譜優化和時延反饋控制的實時混沌化方法。本方法僅需系統穩態響應構造性能指標，然后依照直接尋優方法調整時延反饋控制器參數——時延，直至算法收斂，使系統混沌化。仿真結果表明:該方法能有效地實現未知參數系統的混沌化，且本方法量化系統狀態，將混沌化問題轉化為優化問題，跨越了界定混沌參數域的傳統方法，解決了目前混沌化方法無法解決的問題。因此，本方法對于工程實際系統易于實現實時控制。針對實際系統的混沌化試驗研究是我們即將開展的工作。

致 謝

感謝海軍工程大學朱石堅教授提供數值仿真模型參數，以及與博士研究生楊慶超的有益討論。

［1］陳關榮，汪小帆.動力系統的混沌化:理論、方法與應用［M］.上海:上海交通大學出版社，2006.

［2］LOU J，ZHU S，HE L，et al.Application of chaos method to line spectra reduction［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，286(3):645－652.

［3］ YU X，ZHU S，LIU S.A new method for line spectra reduction similar to generalized synchronization of chaos［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，306(3 － 5):835－848.

［4］ WEN G，LU Y，ZHANG Z，et al.Line spectra reduction and vibration isolation via modified projective synchronization for acoustic stealth of submarines［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，324(3－5):954－961.

［5］ Liu S，Yu X，Zhu S.Study on the chaos anti-control technology in nonlinear vibration isolation system ［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，310(4 － 5):855－864.

［6］張振海.基于離散混沌化的線譜控制技術研究［D］.武漢:海軍工程大學，2010.

［7］Konishi K.Generating chaotic behavior in an oscillator driven by periodic forces［J］.Physics Letters A，2003，320(2 －3):200－206.

［8］Wang X F，Chen G.Chaotifying a stable LTI system by tiny feedback control［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems I:Fundamental Theory and Applications，2000，47(3):410－415.

［9］Wang X F，Chen G，Yu X.Anticontrol of chaos in continuous-time systems via time-delay feedback［J］.Chaos，2000，10(4):771－779.

［10］ Xu J，Chung K W.Effects of time delayed position feedback on a van der Pol-Duffing oscillator［J］.Physica D:Nonlinear Phenomena，2003，180(1－2):17－39.

［11］ Zhou J，Xu D，Li Y.Chaotifing duffing-type system with large parameter range based on optimal time-delay feedback control［C］.Proceedings of 2010 International Workshop on Chaos-Fractal Theories and Applications，Kunming，China，Oct.29 －31.2010.

［12］ Liu G R，Han X.Computational inverse techniques in nondestructive evaluation［M］. Boca Raton:CRC Press，2003.

［13］ Moon F C.Chaotic vibrations:an introduction for applied scientists and engineers［M］.New York:John Wiley ＆Sons，1987.

［14］ Rosenstein M T，Collins J J，De Luca C J.A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets［J］.Physica D:Nonlinear Phenomena，1993，65(1－2):117－134.