基于廣義Logistic分布的選煤分級(jí)曲線數(shù)學(xué)模型

李曉棟，張興芳，樊民強(qiáng)

（太原理工大學(xué)a．化學(xué)化工學(xué)院；b．礦業(yè)工程學(xué)院，太原030024）

粒度分級(jí)是依據(jù)顆粒在流體介質(zhì)中沉降速度的差異，將物料分成若干粒度級(jí)別的一種分離方法。在選煤實(shí)踐中，通常將物料分成兩種粒度級(jí)別，即底流（粗粒級(jí)）和溢流（細(xì)粒級(jí)）［1］。分級(jí)曲線（效率曲線）表示給料中每個(gè)粒級(jí)的顆粒出現(xiàn)在底流排料中的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與顆粒粒度之間的關(guān)系［2］。旋流器的實(shí)際效率曲線并不通過原點(diǎn)，其原因已由Kelsall作了闡明。他提出，如果Rf是進(jìn)入底流中的給料流體分?jǐn)?shù)（分流比），那么所有粒級(jí)都有Rf分?jǐn)?shù)的顆粒通過底流排出，而與作用于顆粒上的離心力無關(guān)。因此，人們提出了校正效率曲線，校正分配率與實(shí)際分配率之間的關(guān)系［3］為：

式中：Ec為校正分配率；Ea為實(shí)際分配率；Rf為分流比。

對(duì)于分級(jí)曲線數(shù)學(xué)模型的研究，前人已經(jīng)做了大量的工作，得到了各種理論和經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型，其中最常用的有Lynch［4］模型和Plitt［5］模型。

Lynch模型：

Plitt模型：

以上兩模型都是兩參數(shù)的模型，分離粒度d50為位置參數(shù)，α和n則與分級(jí)曲線的陡峭程度有關(guān)。分級(jí)曲線經(jīng)常為不對(duì)稱曲線，但上述兩個(gè)模型并沒有獨(dú)立的參數(shù)來描述曲線的不對(duì)稱性。因?yàn)樗鲓A帶作用的存在，實(shí)際選煤分級(jí)曲線更能反映分級(jí)過程的真實(shí)情況。因此，筆者將廣義正態(tài)分布的變量形式引入Logistic分布，在傳統(tǒng)的位置參數(shù)和分散參數(shù)的基礎(chǔ)上引入了偏斜參數(shù)，構(gòu)建了三參數(shù)的廣義Logistic分布數(shù)學(xué)模型。它既對(duì)實(shí)際分級(jí)曲線有良好的擬合精度，又能獨(dú)立表述分級(jí)曲線的分離粒度、分離精度和曲線的對(duì)稱性。

1 三參數(shù)廣義Logistic分布模型

1．1 模型的建立

Hosking和Wallis提出了一個(gè)帶偏斜系數(shù)的廣義正態(tài)分布［6］，具體表達(dá)式如下：

由于κ的引入，使分布函數(shù)可以描述不對(duì)稱分布。

Logistic分布是一個(gè)對(duì)稱分布，基本形式為：

式中：α、β為參數(shù)，－∞＜α＜∞，β＞0；－∞＜x＜∞。

因?yàn)長(zhǎng)ogistic分布函數(shù)比正態(tài)分布函數(shù)易于計(jì)算，在建立重選分配曲線數(shù)學(xué)模型和煤炭可選性曲線密度曲線模型時(shí)，Logistic分布函數(shù)常作為模型的基礎(chǔ)函數(shù)使用，并且能獲得較好的擬合精度［7］。借鑒Hosking和Wallis提出的廣義正態(tài)分布中變量的表達(dá)形式，將式（2）引入Logistic分布，得：

將式（3）進(jìn)一步化簡(jiǎn)，得：

式中：α，β，κ為參數(shù)。

1．2 模型參數(shù)的意義

由式（4）可得分布的四分位數(shù)：

根據(jù)四分位數(shù)可得其四分位偏差Ep和四分位偏度S［8］：k

四分位偏差Ep與β成正比，與κ的絕對(duì)值成正比；四分位偏度Sk只與κ有關(guān)，表征分布函數(shù)式（4）的偏斜程度。

圖1是α＝0、β＝0．5時(shí)，κ取不同值時(shí)分布函數(shù)曲線的形態(tài)。由圖可見，當(dāng)κ＞0時(shí)，曲線發(fā)生左偏斜；當(dāng)κ＜0時(shí)，曲線發(fā)生右偏斜；當(dāng)κ＝0時(shí)，即為L(zhǎng)ogistic分布，曲線對(duì)稱。

相對(duì)于Logistic分布，式（4）可稱之為帶有偏斜系數(shù)的廣義Logistic分布。

圖1 κ對(duì)分級(jí)曲線形態(tài)的影響

若用式（4）描述實(shí)際分級(jí)曲線，則α為分離粒度d50。Ep為分級(jí)精度，Ep越小，分離精度越高。κ為分級(jí)曲線的偏度，κ為負(fù)，曲線右偏，說明溢流跑粗；κ為0，曲線對(duì)稱；κ為正，曲線左偏，說明底流夾帶嚴(yán)重。初步分析表明，廣義Logistic分布可以描述不同形態(tài)的分級(jí)曲線。下面將用實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。

2 分級(jí)數(shù)據(jù)處理

2．1 分級(jí)數(shù)據(jù)

一組分級(jí)數(shù)據(jù)來自《Mineral Processing Technology》一書［9］，用于說明分級(jí)過程中的夾帶現(xiàn)象，見表1所示。

表1 第一組數(shù)據(jù)

從表1中初步可以看出底流夾帶現(xiàn)象比較嚴(yán)重。為了降低底流夾帶，筆者對(duì)旋流器結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化，溢流管插入深度為90，115，140mm時(shí)，?150 mm水力旋流器分級(jí)結(jié)果見表2所示。

表2 第二組數(shù)據(jù)

2．2 數(shù)據(jù)擬合方法

以式（4）為模型，采用非線性擬合方法［7］求得偏差平方和最小時(shí)的各個(gè)參數(shù)值，偏差平方和Q為：

式中：N表示試驗(yàn)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)；Et、Ec表示某粒級(jí)底流分配率的實(shí)驗(yàn)值和計(jì)算值。Q越小，表明擬合精度越高，數(shù)學(xué)模型對(duì)分級(jí)曲線的描述越可靠。

3 擬合結(jié)果與討論

Lynch模型、Plitt模型是校正分級(jí)曲線數(shù)學(xué)模型，當(dāng)描述實(shí)際分級(jí)曲線時(shí)，根據(jù)式（1）可寫成：

同樣的，廣義Logistic分布模型可寫成：

由于底流中多少都帶有一定的水，Rf不可能為負(fù)，因此在用式（5）和（6）擬合時(shí)，限定k3≥0。

分別用（5）、（6）、（7）式對(duì)表1和表2中的分級(jí)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果見表3和表4所示。

表3 第一組數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

表4 第二組數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

表3和表4中，Lynch模型和Plitt模型的k1代表校正分級(jí)粒度，三參數(shù)廣義Logistic分布k1代表實(shí)際分級(jí)粒度。從表3可知，三個(gè)模型中，Plitt模型的偏差平方和Q最大，三參數(shù)廣義Logistic分布的次之，Lynch模型的最小。從表4可知，Lynch模型和Plitt模型的k3均為0，說明兩個(gè)模型均無法運(yùn)用數(shù)值方法引入分流比Rf，若人工引入Rf，只會(huì)使擬合誤差更大。三參數(shù)廣義Logistic分布的數(shù)學(xué)模型對(duì)表2數(shù)據(jù)擬合精度最高，Plitt模型次之，Lynch模型最差，說明Plitt模型和Lynch模型不適應(yīng)表2中的數(shù)據(jù)。

三參數(shù)廣義Logistic分布對(duì)表1中數(shù)據(jù)的擬合精度略低于Lynch模型而高于Plitt模型，對(duì)表2中3組數(shù)據(jù)的擬合精度明顯高于Lynch模型和Plitt模型，說明三參數(shù)廣義Logistic分布是一個(gè)適應(yīng)性良好的分級(jí)曲線數(shù)學(xué)模型。

以粒度為橫坐標(biāo)，各粒級(jí)的底流分配率為縱坐標(biāo)，繪制三個(gè)模型對(duì)第一組數(shù)據(jù)的擬合曲線見圖2所示。繪制三參數(shù)廣義Logistic分布的數(shù)學(xué)模型對(duì)第二組數(shù)據(jù)的擬合曲線見圖3所示。

圖2 第一組數(shù)據(jù)擬合曲線

圖3 第二組數(shù)據(jù)擬合曲線

從圖2中可以看出，除起始端稍有不同外，Lynch模型和Plitt模型擬合的分級(jí)曲線幾乎重合，廣義Logistic分布擬合的分級(jí)曲線上端向左偏斜，三個(gè)模型都能很好地?cái)M合常見的分級(jí)數(shù)據(jù)。

從圖3中可以直觀地看出，隨著溢流管插入深度的增加，分級(jí)曲線向右平移，并逐漸變緩。結(jié)合表4分析可得，隨著溢流管插入深度的增加，分級(jí)粒度增大，分級(jí)精度降低，曲線右偏程度加大。

4 結(jié)論

1）將廣義正態(tài)分布的變量形式引入Logistic分布，在傳統(tǒng)的位置參數(shù)和分散參數(shù)的基礎(chǔ)上引入了偏斜參數(shù)，構(gòu)建了三參數(shù)的廣義Logistic分布，使廣義Logistic分布可以描述非對(duì)稱分布。

2）廣義Logistic分布模型對(duì)旋流器實(shí)際分級(jí)數(shù)據(jù)的擬合精度高于Plitt模型，多數(shù)情況下也高于Lynch模型，說明廣義Logistic分布模型是一個(gè)適應(yīng)性良好和參數(shù)意義明確的分級(jí)曲線數(shù)學(xué)模型。

3）模型有待更多分級(jí)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)。下一步擬引入峰度參數(shù)，使模型能夠適應(yīng)不同的數(shù)據(jù)類型，在選煤分級(jí)曲線數(shù)學(xué)模型的研究中得到推廣和應(yīng)用。

［1］ 謝恒星，李松仁．分級(jí)機(jī)理與分級(jí)模型的研究［J］．武漢化工學(xué)院學(xué)報(bào)，1993，15（3）：48－53．

［2］ Lynch A J．破礦和磨礦回路［M］．祝振鑫，胡長(zhǎng)柏，譯．北京：原子能出版社，1983．

［3］ 胡為柏，李松仁．?dāng)?shù)學(xué)模型在礦物工程中的應(yīng)用［M］．湖南：科學(xué)技術(shù)出版社，1983．

［4］ 龐學(xué)詩(shī)．水力旋流器工藝計(jì)算［M］．北京：中國(guó)石化出版社，1997．

［5］ 王淀佐，盧壽慈，陳清如，等．礦物加工學(xué)［M］．江蘇：中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社，2003．

［6］ Hosking J R M，Waills J R．Regional frequency analysis［M］．New York：Cambridge University Press，1997．

［7］ 樊民強(qiáng)．選煤數(shù)學(xué)模型與數(shù)據(jù)處理［M］．北京：煤炭工業(yè)出版社，2005．

［8］ 樊民強(qiáng)，張榮曾．分配曲線特性參數(shù)及由其構(gòu)成的數(shù)學(xué)模型［J］．煤炭學(xué)報(bào)，1998，23（2）：202－207．

［9］ Wills B A，Napier－Munn T J．Wills’Mineral Processing Technology［M］．Oxford：Elsevier Lid，2006．