重積分中值函數(shù)及其性質(zhì)研究 (二)*

郎開祿，陳 振

(楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，云南 楚雄 675000)

文［1］給出了積分中值定理及廣義積分中值定理，文［2］給出了關(guān)于定積分的兩個(gè)重要結(jié)果，文［3］引入了定積分中值函數(shù)，并討論了積分中值函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，獲得了一系列深刻的結(jié)果。受文［3］的啟發(fā)，在本文中我們引入了矩形區(qū)域上二重積分中值函數(shù)的概念及Rn中長(zhǎng)方體區(qū)域上重積分中值函數(shù)的概念，并討論獲得了二重積分中值函數(shù)的性質(zhì)，并進(jìn)一步獲得了n重積分中值函數(shù)的性質(zhì)。

2.二重積分中值函數(shù)

2.3 二重積分中值函數(shù)的性質(zhì)

2.3.5 可導(dǎo)性

(2)，(3)，(4)同理可證。

3.n重積分中值函數(shù)

3.1 n重積分中值定理

在文［4］中給出了n重積分中值定理及廣義n重積分中值定理。

定理23［4］若f(x1，x2，…，xn)在有界閉區(qū)域V?Rn連續(xù)，g(x1，x2，…，xn)在V可積且不變號(hào)，則至少存在點(diǎn)(ζ1，ζ2，…，ζn)∈ V，使得

3.2 n重積分中值函數(shù)

在本文中，我們研究引入n重積分中值函數(shù)。

定義6 設(shè)f(x1，x2，…，xn)在有界閉區(qū)域V?Rn連續(xù)，g(x1，x2，…，xn)在V可積且不變號(hào)，則存在點(diǎn)(ζ1，ζ2，…，ζn)∈ Vx1x2…xn? V，使得

為 f(x1，x2，…，xn)，g(x1，x2，…，xn)在 V 的 n 重積分中值函數(shù)。

定義7 設(shè)f(x1，x2，…，xn)在有界閉區(qū)域V?Rn連續(xù)，g(x1，x2，…，xn)在V可積且不變號(hào)，則存在點(diǎn)(η1，η2，…，ηn)∈ Gx1x2…xn? V，使得

為 f(x1，x2，…，xn)，g(x1，x2，…，xn)在 V 的 n 重積分中值函數(shù)。

3.3 n重積分中值函數(shù)的性質(zhì)

關(guān)于n重積分中值函數(shù)，在本文中，我們同樣可獲得下列性質(zhì)。

3.3.1 中值性

定理 24 ζk(xk)，k=1，2，…，n 滿足

其中 Vx1x2…xn={(t1，t2，…，tn)|ak≤ tk≤ xk，ak≤ xk≤ bk，k=1，2，…，n}。

定理25 ηk(xk)，k=1，2，…，n 滿足

3.3.2 單調(diào)性

定理 26 (1)ζk(xk)在［ak，bk］單調(diào)增加，k=1，2，…，n;

(2)ηk(xk)在［ak，bk］單調(diào)增加，k=1，2，…，n 。

3.3.3 可積性

定理 27 (1)ζk(xk)在［ak，bk］可積，k=1，2，…，n;

(2)ηk(xk)在［ak，bk］可積，k=1，2，…，n 。

3.3.4 連續(xù)性

定義 8 設(shè) f(x1，x2，…，xn)定義在 V={(x1，x2，…，xn)|ak≤ xk≤ bk，k=1，2，…，n}。若 ?(x1，…，x'k，…，xn)，(x1，…，x″k，…，xn)∈ V ，當(dāng) x'k＜ x″k時(shí)，有

則稱 f(x1，x2，…，xn)在 V 關(guān)于 xk偏嚴(yán)格單增，k=1，2，…，n 。

定理28 (1)ζk(xk)在 ak點(diǎn)右連續(xù)，k=1，2，…，n;

(2)ηk(xk)在 bk點(diǎn)左連續(xù)，k=1，2，…，n 。

定理 29 設(shè) f(x1，x2，…，xn)在 V={(x1，x2，…，xn)|ak≤ xk≤ bk，k=1，2，…，n}關(guān)于 xk偏嚴(yán)格單增，則

(1)ζk(xk)在［ak，bk］連續(xù)，k=1，2，…，n;

(2)ηk(xk)在［ak，bk］連續(xù)，k=1，2，…，n 。

［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析 (第三版)(上冊(cè))［M］.北京：高等教育出版社，2001：217—218.

［2］劉文武，積分第二中值定理“中間點(diǎn)”的漸進(jìn)性分析［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2005，35(9)：211—225.

［3］樊守芳，第一積分中值函數(shù)［J］，數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2007，37(15)：189—193.

［4］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析 (第三版)(下冊(cè))［M］.北京：高等教育出版社，2001：216—217，260—262.