一類離散非線性時滯人口模型的平衡解與漸近性

安存斌，陳慧琴，明亞東

(山西大同大學數學與計算機科學學院，山西 大同 037009)

一類離散非線性時滯人口模型的平衡解與漸近性

安存斌，陳慧琴，明亞東

(山西大同大學數學與計算機科學學院，山西 大同 037009)

文章研究一類時滯差分方程的平衡解與解的漸近性，利用單調有界原理得到解的漸近性的一些充分條件。

離散；時滯；平衡解；漸近性

近幾年來，隨著微分、差分方程在許多領域都有廣泛的應用，并且許多學者已得出大量的成果，如文獻[1-4]。受文獻[2-4]啟發，通過研究一類時滯差分方程的平衡解與漸近性，得出解的漸近性的一些條件。

文獻[1]中研究了方程

的平衡解與解的漸近性，但是考慮到文獻[1]人口模型無時滯的局限性，在文獻[1]的基礎上結合文獻[2]基本理論討論時滯方程

相對應的初始條件為

x(-τ)，x(-τ+1)，x(-τ+2)，…，x(1)∈[0，∞)，x(0)＞0(2)的平衡解與解的漸近性。這里設方程(1)滿足下列條件：

1)n=0，1，…；

2)p，q，r∈(0，∞)；

由于方程(1)中p，q常數，所以方程(1)滿足初始條件(2)的平衡解同文獻[1]的方程(1)的解的漸近性一樣。

引理若方程(1)滿足初始條件(2)的所有解為正的有界。

從而可得

-p+f(x(n-1-τ))＞0，x(nk-1-τ)∈(1，2)。若當x(n-1-τ)∈(1，2)，則有

上面不等式與

矛盾，所以假設不成立。即當f(ω)＞p q時，方程(1)滿足初始條件(2)的所有解也有界。

綜合上述，方程(1)滿足初始條件(2)的所有解為正的有界。定理證畢。

定理1若方程(1)滿足初始條件(2)，則其總存在解x(n)，使得

證明方程(1)取初始條件x(i)=x(0)(i＝－τ，－τ+1，…，-1)，其中當x(0)充分小時，可使得

-p＋qf(x(0))＜0，

則有

x(1)=x(0)exp(-p＋qf(x(－τ)))=

x(0)exp(-p＋qf(x(0)))＜x(0)，

x(2)=x(1)exp(-p＋qf(x(－τ＋1)))=

x(1)exp(-p＋qf(x(0)))＜x(1)，

…

x(τ)=x(τ－1)exp(-p＋pf(x(0)))＜x(τ－1)，

…

x(n＋1)＜x(n)，

所以數列x(n)單調遞減，又由引理數列x(n)正的有界，所以由數列的單調有界原理得數列x(n)存在極限。對方程(1)兩邊取極限得

即若方程(1)滿足初始條件(2)，則其總存在解x(n)，使得

定理證畢。

下面分三種情況討論方程(1)的解的漸近性。

x(n＋1)＜x(n)，

所以x(n)單調遞減。由文獻[1]中證明定理1的方法同樣可證(3)成立。定理證畢。

-p＋qf(x(n－τ))≤0，

從而

x(n＋1)=x(n)exp(-p＋qf(x(n－τ)))≤x(n)，所以x(n)是單調不增。根據單調有界原理可得數列x(n)一定存在極限，設

，

此時對方程(1)兩邊取極限可得

，

則有

?N1＞0，當n－τ＞N1時，總有x(n－τ)＞，所以

p＋qf(x(n－τ))＜0，

因此得

x(n＋1)=x(n)exp(-p＋qf(x(n－τ)))＜x(n)。

即，?N1＞0，當n－τ＞N1時，數列x(n)單調遞減。又由于x(n)有界，則由單調有界原理可得x(n)存在極限。設

此時對方程(1)兩邊取極限可得

即(4)成立。

(Ⅱ)當x(n)-Z1最終負時，則有

?N2-＞p 0，＋q當f(x n (n－－ττ＞) ) N＜2時0，，總有x(n－τ)＜所以

因此得

x(n＋1)=x(n)exp(-p＋qf(x(n－τ)))＜x(n)。

即，?N2＞0，當n－τ＞N2時，數列x(n)單調遞減。又由于x(n)有界，則由單調有界原理可得x(n)存在極限。設

此時對方程(1)兩邊取極限可得

則有

b=0，

即(3)成立。定理證畢。

注：特別地，k=1時，是文獻[1]中方程。因此，本章的方程更具一般性，適用范圍更廣。

[1]安存斌，明亞東，王新年.一類離散非線性人口模型的平衡解與漸近性[J].太原師范學院學報：自然科學版，2010，9(1)：46-47.

[2]Saker SH.Periodic Solution and Attractivity ofDiscrete nonlinearDelay Population Model[J].Mathematicaland ComputerModelling，2008(47)：278-297.

[3]谷麗彥，梁海燕.帶強迫項的非線性高階中立型微分方程解的漸近性和振動性[J].工程數學學報，2004，21(3)：330-334.

[4]張廣，高英.差分方程的振動理論[M].北京：高等教育出版社，2001.

〔責任編輯 高 海〕

Steady Solutions and Asym ptotic Babavior for a Discrete Nonlinear T ime Delay Population Model

AN Cun-bin，CHEN Hui-qin，MING Ya-dong
(School ofMathematics and Computer Sciences，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009)

In this acticle，s teady solutions and asymptotic behavior of solutions for a difference equation are studied and the sufficient conditions for asymptotic behavior of solutions are acquired withmonotone bounded principle.

discrete；time delay；steady solutions；asymptotic behavior

O175.15

A

2013-01-11

安存斌(1979-)，男，山西山陰人，碩士，講師，研究方向：差分與常微分方程。

1674－0874（2013）03－0003－02