一類二階變系數(shù)線性微分方程的解法

王麗霞

（山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西 大同 037009）

一類二階變系數(shù)線性微分方程的解法

王麗霞

（山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西 大同 037009）

研究了利用常數(shù)變易法求一類二階變系數(shù)線性微分方程通解的解法，給出通解公式.關鍵詞：二階變系數(shù)線性微分方程；常數(shù)變易法；通解

我們知道對于二階常系數(shù)齊次線性微分方程

其中p，q是常數(shù)。當(1)的特征方程r2＋py＋q＝0的兩個根r1，r2為兩個相等的實根,即r1＝r2＝r時, (1)的通解為y＝（C1＋C2x）erx,其中(1)的兩個特解分別為y1＝erx,y2＝xerx。

對于一類二階變系數(shù)齊次線性微分方程

其中k（x）,p（x）,q（x）是關于x的函數(shù),利用上述結果[1-3],通過常數(shù)變易法給出了其通解的表達式。

定理設二階變系數(shù)齊次線性微分方程

［k（x）y′］′＋p（x）y′＋q（x）y＝0的特征方程r2＋pr＋q＝0有兩個相等的實根即r1＝r2＝r時,其中k（x）,p（x）,q（x）是關于x的函數(shù),則方程(2)的通解為

y′1＝rf′（x）erf(x),

y″1＝rf″（x）erf(x)＋r2f′2（x）erf(x)，

將y1，y′1，y″1代人(4)得

由于erf(x)≠0,故(5)可化為.

將y2,y′2,y″2代人(4)得

由于erf(x)≠0,即(7)可化為

對(8)移項整理可得不是常數(shù)。

其中C1，C2為任意常數(shù)。

證明對(2)進行變形得

即(3)可整理為

設y1＝erf(x)為(2)的一個非零特解,其中r為不為零的常數(shù)(在特定條件下r也可為零),f（x）為關于x的函數(shù)。

對y1＝erf(x)進行求導可得在 k(x)[rf″(x)+r2f′2(x)]+[k′(x)+p(x)]·[rf′(x)+ q(x)=0

成立的條件下,(9)化為對(10)進行移項整理可得

以f′（2x）除(11)的兩端可得即令z＝f′－（1x）,則上述方程成為

此方程是一個非齊次線性方程,先求對應的齊次方程

用常數(shù)變易法,把C換為G(其中G是關于x的函數(shù)),

代入(12)式，可得則

兩端積分可得

由z＝f′－1（x），可得

即

則

即方程(2)的通解為

y＝［C1＋C2f（x）］erf（x）。

則

[1]東北師范大學微分方程考研室.常微分方程[M].北京：高等教育出版社,2005.

[2]嚴文軍.常數(shù)變異法求解一類一階非線性常微分方程[J].產業(yè)與科技論壇,2011，10(14)：175-176.

[3]梁洪亮,徐少華.一類二階變系數(shù)常微分方程的初等解法[J].數(shù)學的實踐與認識，2009,39(20)：213-216.

〔責任編輯 高 海〕

The General Solution to a Kind of Second Order Linear Differential Equation with Variable Coefficient

WANG Li-xia
(School ofMathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi，037009)

The solvingmethod of general solution to a kind of second order linear differential equation with variable coefficien was studied in the paper.With constant variation adopted,the fomula of general solution to second order linear differential equation with variable coefficientwas presented.

second order linear differential equation with variable coefficient;constant variation；general solution

O175.1

A

2012－12－08

王麗霞（1979－），女，山西大同人，碩士，講師，研究方向：微分方程。

1674-0874（2013）03-0010-02