一類橢圓型方程解的能量估計及其應用

胡文燕

（晉中學院數學學院，山西 晉中 030600）

一類橢圓型方程解的能量估計及其應用

胡文燕

（晉中學院數學學院，山西 晉中 030600）

文章對一類橢圓型方程的邊值問題進行討論，給出其解的能量估計，并利用能量積分方法，證明了其邊值問題解的唯一性及穩定性。

橢圓型方程；能量估計；唯一性；穩定性

我們考慮如下橢圓型方程的邊值問題：

其中Ω是Rn中的一個具有光滑邊界Γ的有界區域,且系數aij，bi，c及右端項f都是Ωˉ上的連續函數,而且aij在Ωˉ上還具有一階連續偏導數;對一切i，j=1，…，n,aij=aji成立,且存在正常數α＞0,使得對一切x∈Ωˉ及任意實向量（ξ1，…，ξn）,

對于該邊值問題,文獻[1]中給出了其解的存在性,并對其非平凡解進行了估計,文獻[2]中給出了其解的存在性和唯一性,文獻[3]對其正奇異解進行了能量估計,下面將首先給出其解的能量估計式,并利用能量積分方法,證明其解的唯一性與穩定性。

引理1[4]設u=u（x）在界區域Ω∈Rn上連續可微,且在邊界Γ上為零,則成立如下的弗里德里克斯(Friedrichs)不等式：其中C0是一個與u無關的正常數。

證明不妨就n=2的情形證明此不等式,并不妨設Ω在第一象限內,則由Ω的有界性可作矩形

于是利用施瓦茲(Schwarz)不等式,得

由于在Ω外u≡0,故取C0=a2,就有引理證畢。

下面我們首先對問題(1)的解進行能量估計：

證明對問題(1)中的方程兩端乘以u,然后在Ω上積分,得

將上式左端第一項利用格林公式[5]進行分布積分,并利用邊界條件,可得于是

在實際生長的過程中，春玉米的光合作用效果與葉片中的水勢存在很明顯的關系，葉片水勢上升，則光合作用以及光合產物的運輸都有增強，反之則出現下降。因此秸稈覆蓋可以更好的提升春玉米光合作用的速率，從而幫助玉米更快的進行光合產物的積累。

其中

記

則對任意給定的ε＞0,有

取ε=α／2Μ,令λ0=2nM2／α+1／2,則當c≤－λ0時就有

再利用邊界條件及弗里德里克斯不等式,可知存在不依賴于u的正常數C,成立證畢。

下面利用能量積分方法給出問題(1)解的唯一性與穩定性。

定理2問題(1)的解如果存在的話,它一定是唯一的。

證明設u1，u2是問題(1)的兩個解,則其差u=u1-u2滿足相應的齊次方程及齊次邊界條件：

因此由定理2,uxi≡0，u≡0,唯一性得證。

定理3問題(1)的解在均方模意義下關于右端項f是穩定的，對于任意給定的ε＞0,一定可以找到僅依賴于ε和區域Ω的η＞0,使‖f1-f2‖L2（Ω）≤η,那么以f1為右端項的解u1與以f2為右端項的解u2之差滿足

‖u1-u2‖L2（Ω）≤ε。

證明記v=u1-u2,則v滿足

則利用能量不等式,有結論成立。

特別強調指出,在定理1中，c（x）≤-λ0的條件是重要的,當這個條件不成立時,能量估計式以及解的唯一性與穩定性都可能不成立。

[1]周展宏.一類橢圓型方程的非平凡解的估計[J].湛江師范學院學報,2006(3)：24-26.

[2]許興業.一類非線性橢圓型方程解的存在唯一性[J].廣東教育學院學報,2005(3)：21-23.

[3]周杰,楊作東.一類擬線性橢圓型方程正奇異解的能量估計[J].南京師范大學學報：自然科學版,2006(1)：21-24.

[4]Yang Zuodong.Ex istence of positive bounded entire so lutions of quasilinear elliptic equations[J].App lied M ath and Com putation,2004,156(3)：743-754.

[5]侍述軍.一類橢圓偏微分方程解的凸性估計及其應用[D].合肥：中國科學技術大學,2012.

〔責任編輯 高 海〕

Energy Estimation and its Application of Solition to a Class of Elliptic Equations

HUWen-yan
（DepartmentofMathematics，Jinzhong University，Jinzhong Shanxi，030600）

This article does some research summary on the energy estimation of a class of Elliptic Equations，and using the energy integralmethod，proves the existence and uniqueness of its solution of boundary value problems.

elliptic equations；energy estimation；uniqueness；existence

O175.23

A

2012-08-08

胡文燕（1983-），女，山西平遙人，碩士，講師，研究方向：應用數學。

1674－0874（2013）03－0012－04