一類狀態脈沖不育控制的單種群模型

李曉霞

(運城學院應用數學系，山西 運城 044000)

一類狀態脈沖不育控制的單種群模型

李曉霞

(運城學院應用數學系，山西 運城 044000)

建立了一類狀態反饋脈沖控制的不育單種群模型，當害鼠的數量達到經濟危害水平時，通過滅殺，從而控制種群數量的增長。首先利用微分方程幾何理論和后繼函數的方法得到系統階1周期解得存在性，并給出了階1周期解得漸近穩定性的充分條件。

狀態脈沖；不育；階1周期解

健康的生態系統是穩定、具有活力、有自調節能力的系統。系統為每一種植物、動物、微生物都準備了它們所需要的食物和生存空間，任何一種植物、動物、微生物在系統中都有自己的位置；它們的存在不僅無害，還有助于維持整個系統的健康發展。然而在自然變化過程和人類不合理活動的影響下，系統平衡常常會被打破，有些生物會偏離它們原來的動態軌跡，發生種群數量的爆發，破壞生態系統的結構和功能，威脅人類的利益，從而變成有害生物，如果是鼠類，則稱為害鼠。害鼠的綜合治理早在20世紀60年代后期收到了人們的普遍關注，控制害鼠的方法分為化學控制，不育控制，生物防治，機械防治，物理防治等。化學控制會污染環境破壞生態系統的穩定性。近年來，不育控制下的數學模型已受到廣大學者關注[1-8]，研究了不育控制下的害鼠種群模型。但是，不育控制下種群的減小是一個緩慢的過程。

在害鼠防治中，不應當見鼠就治，而應當考慮充分考慮作物的補償作用，有研究結果表明，草木受害后不一定就造成生長損失。相反，在一定程度上，可增加草木生長量。當受害程度達到補償點時，草木生長率最大，超過補償點以后，才出現生長損失。因此，有害鼠不一定造成危害。從而在海鼠防治中，應當充分考慮作物的補償作用，確定害鼠的經濟危害水平，制定準確的經濟閾值。基于此想法，本文建立一類不育控制下狀態脈沖收獲的害鼠防治模型，即當害鼠數量達到經濟危害水平h，實施滅殺控制，在小于經濟危害水平h實施不育控制，關于帶有狀態依賴的脈沖微分方程[9]。

1 模型

其中x(t)，y(t)分別是害鼠可育者，害鼠不育者在時刻t的密度。近幾年，有關學者對不育控制下的種群模型做了不少的研究，但關于狀態反饋脈沖不育控制的單種群模型還沒有見到，因此研究以下系統：

在文獻[8]中，討論了不育控制下的單種群模型：這里所有系數均為非負的，μ是每次投放不育劑使得害鼠可育者變為不育者的比例。h定義為經濟危害水平中導致經濟危害的害蟲數量。

△x(t)=x(t+)－x(t)，△y(t)=y(t+)－y(t)，

p是實施滅殺控制時候的被捕獲的數量比例。

對系統(1)有以下結論：

定理1當r-μ≤0時，系統(1)零平衡點(0，0)是全局漸近穩定的；

2 階1周期解的存在性

主要利用微分幾何理論和后繼函數的方法討論狀態依賴的脈沖微分系統(2)的階1周期解的存在性。

為了使用方便，下面給出一些記號和定義。脈沖集為

脈沖函數為

I：(x，y)∈M→((1-p)h，(1-p)y)。

相集

N＝I(M)={(x，y)∈

x′(t)=0，y′(t)=0，

N1={(x，y)∈R2+|x=(1-p)h，y≥0}。

定義對于任意的點P∈N1，系統(2)存在過點P的軌線Γ，它與脈沖集M交與點P1，=I(P1)∈N，令yp+1，yp1，分別表示，P1與x軸距離，g(P)= yp+1-yp1那么g(P)就是點P的后繼函數，其中稱為點P的后繼點。

定理2當r-μ＜0時，系統(2)的平衡點(0，0)是全局漸近穩定的。

(Ⅰ)點B+與點A重合；(Ⅱ)點B+在點A正上方；(Ⅲ)點B+在點A正下方。

當B+與點A重合時，顯然軌線Γ1就是系統(2)的階1周期解。下面證明在(Ⅱ)，(Ⅲ)這每種情形之下，都存在階1周期解。

當B+在A正下方，在點A的正下方且充分接近取一點C′。經過C′的軌線設其為，根據微分方程解函數的性質，軌線Γ1與充分接近，且在兩軌線都沒有與脈沖集相交之前，它們沒有交點。又由于點是全局穩定的焦點，所以經過C′的軌線肯定與脈沖集M相交，設其交點為，則其坐標可設為(h，)，顯然＜yB1，且充分接近B，根據系統(2)可得＜。從而C的后繼函數g(C)=＜yC1＜0。同樣取集合N1與x軸交點D′，則yD′=0。經過D′的軌線設其為，由于點是全局穩定的焦點，所以經過D′的軌線肯定與脈沖集M相交，設其交點為，則其坐標可設為(h，)，則yD′1＞0。從而點的相點為((1-p)h，(1-p))。從而的后繼函數g(D′)=-yD′＞0。由后繼函數的連續性1知，在線段D′C′一定存在一點E′，使得g(E′)=0，從而系統(2)存在階1周期解。

類似可證以下結論：

3 漸近穩定性

由上面的分析可知，系統(2)在滿足一定條件下，存在階1周期解，下面討論階1周期解的穩定性。

引理若乘子｜μ2｜＜1，則系統的T-周期解x＝ξ(t)，y＝η(t)是軌道漸近穩定的，其中

P(x，y)=(r－k(x＋y)-μ)x，Q(x，y)＝μx－dy，

α(x，y)=－px，β(x，y)=-py，φ(x，y)＝x－h，

(ξ(T)，η(T))=(h+η0)，(ξ(T＋)，η(T+))=

((1－p)h，(1－p)η0)，

所以

令

那么，對于系統(2)有因為(x(t)，y(t))是系統(2)的周期為T的周期解，則

[1]馬知恩.常微分方程定性與穩定性方法[M].北京：科學出版社，2001.

[2]張知彬.鼠類不育控制的生態學基礎[J].獸類學報，1995，15(3)：229-234.

[3]宛新榮，石巖生.不育劑對黑線毛足鼠種群繁殖的影響[J].獸類學報，2006，26(4)：392-297.

[4]張知彬，張健旭.不育和“滅殺”對圍欄內大倉鼠種群繁殖力和數量的影響[J].動物學報，2001，47(3)：241-248.

[5]劉漢武，周立，劉偉，等.利用不育技術防治高原鼠兔的理論模型術[J].生態學雜志，2008，27(7)：1238-1243.

[6]李秋英，劉漢武，張鳳琴.具有性別結構和不育控制的單種群模型[J].河北師范大學學報，2010，34(3)：263-267.

[7]劉漢武，李秋英.不育和滅殺控制下的單種群模型[J].數學的實踐與認識，2009，39(15)：104-107.

[8]劉漢武，李秋英.不育控制下的單種群動態[J].運城學院學報，2009，27(2)：9-12.

[9]魏春金，陳蘭蓀.狀態反饋脈沖控制的Leslie-Gower害蟲管理數學模型[J].生物數學學報，2012，27(4)：621-628.

A S ingle Modelw ith Contraception Im pulsive State Control

LI Xiao－xia
(Department of Applied Mathematics，Yuncheng University，Yuncheng Shanxi，044000)

In this paper，a single model with c ontraception i mpulsive state control is proposed.When it reach es the critical case，the controlmeasures are taken by harvesting.The sufficient conditions for existences of order-1 periodic solution are obtained by differential equation geometry theory and themethod of successor function.The order-1 periodic solution is orbitally asymptotically stable under some conditions.

i mpulsive state；contraception；order-1 periodic solution〔責任編輯 高 海〕

1674－0874（2013）03－0016－03

O175

A

2013-03-19

運城學院科研項目[YQ-2010011]

李曉霞(1984-)，女，山西臨猗人，碩士，助教，研究方向：泛函分數。