物體沿圓軌道下滑的計算

解廷月，溫麗霞，孫 祝，王 萍

(山西大同大學物理與電子科學學院，山西 大同 037009)

物體沿圓軌道下滑的計算

解廷月，溫麗霞，孫 祝，王 萍*

(山西大同大學物理與電子科學學院，山西 大同 037009)

物體沿圓軌道下滑過程中摩擦力做功的計算，在力學中會經常遇到，也是一個比較簡單的問題。我們用的傳統方法是功能原理。本文則利用變力做功的定義和質點動能定理，在一些物理量未知的情況下，也可以對變力做功問題進行綜合計算。計算過程中用到了高等數學中的分部積分和解一階非奇次微分方程等一些數學知識，還運用計算機數學語言matlab進行求解方程，并制作出函數的二維圖象。

功能原理；功的定義；計算機語言

在力學中，我們經常遇到一個物體沿著1/4圓軌道滑動，由于物體在此過程中會受到摩擦力，因此我們需要計算這個過程中的功。一般的解決方法也是比較方便的方法是利用功能原理進行計算。本文則對文獻[1][2][3]中的方法進行了討論，并提出運用計算機數學語言matlab進行求解方程。

設一個物體初速度為零，它的質量為2 kg，它順著1/4的圓弧滑下，如圖1所示。已知圓的半徑R=4 m，物體在B處的速度是V=6 m/s，求解物體在下滑過程中摩擦力所做的功[3]。

圖1 物體沿圓軌道下滑

解：根據題意可知在物體從A到B的過程中受到重力G→的作用，而且還受到圓軌道對它的摩擦力F→f和支持力F→N的作用，摩擦力F→f與支持力F→N兩個力都不是恒力。支持力F→N處處與物體運動的方向垂直，因此它沒有做功，但是摩擦力做功，可是因為摩擦力是個變力，它所做的功不容易計算。想要求摩擦力所做的功，根據功的定義要先求出摩擦力，而要求摩擦力必須先確定物體對軌道的正壓力N，即軌道對物體的支持力F→N，對物體進行受力分析如圖1。

據牛頓運動定律，在切線方向上可得：

又因

因此在法線方向上可得：由文獻[1]可得：

由文獻[1]可得：

(5)式表示物體對圓軌道的正壓力的變化規律。

當動摩擦系數μ＝0時，即圓軌道為光滑的軌道，那么物體對圓軌道的壓力為：

N＝3mg sinθ，

此時摩擦力做功為：

摩擦力做功為零，也就是說光滑圓軌道就可以不計摩擦力。

當動摩擦系數μ≠0時，即圓軌道不是光滑的，摩擦力要做功。把正壓力N的表達式代人(6)式，由文獻[1]可得

(7)式就是我們所求的物體沿圓軌道下滑過程中摩擦力所做的功。

此方法用了功的定義，但是此方法在動摩擦因素μ未知的情況下，卻不能將功的具體數值計算出來。下面的一種方法是首先運用動能定理的微分形式將μ求出來。

由文獻[2]可以得出又因θ=π/2，u=V2時，V=6m/s，則

因為(9)式這是一個超越方程，求解比較難。可以運用matlab計算機數學語言進行求解。下面是求解μ值的計算機程序。

因為matlab中英文輸入的局限，令μ＝x，則

x=solve(′(78.4*(1-2*x^2-3*x*exp(-pi*x)))/ (1+4*x^2)=36′，′x′)

計算機顯示結果(輸入源代碼之后，不要加分號，就可以直接顯示結果)：

x=0.2313154656140709880186918609425

上面解出來的就是物體在B點的動摩擦因數μ，又動摩擦因素是個定值，它體現了材料本身的性質，一般情況下，材料比較粗糙時動摩擦因素大。

求出μ之后將其代入(8)式可以得到速度的平方u與θ的函數關系式，運用計算機matlab制作出函數圖象(圖2)。下面是計算機程序：

clear；

clf；

μ=0.2313154656140709880186918609425；

x=[0：pi/200：pi/2]；

z=78.4*((1-2*u.^2).*sin(x)+3*x.*(cos(x)-

exp(-2*u.*x)))./(1+4*u.^2)；

plot(z，x)；

hold on；

圖2 運用matlab制作出函數圖象

在上面的圖象中橫軸是u，即速度的平方。縱軸是角度θ。此圖顯示速度隨角度的變化。我們知道。在物體沿圓軌下滑時，角度θ是從0到π/2，從圖象看出速度隨角度先是逐漸增加，達到最大值之后，又逐漸減小了。同時從圖象可以看出來當θ＝0時，速度也是0。函數的最大值在30～40之間，取最大值時，對應的角度值在0.8～1之間。

[1]徐信洪.由功的定義式計算物體沿圓弧軌道下滑時摩擦力的功[J].舟山師范專科學校學報：自然科學版，1998，2(1)：36-39.

[2]解廷月，武琦.力做功的求解方法[J].物理與工程，2012，22(2)：49-50.

[3]程守洙，江之永.普通物理學[M].北京：高等教育出版社，2006：85.

[4]漆安慎，杜嬋英.力學[M].北京：高等教育出版社，2005：121-135.

[5]鄧法金.大學物理學[M].北京：科學出版社，2001：60.

[6]吳百詩.大學物理[M].北京：科學出版社，2001：94-105.

[7]薛定宇，陳陽泉.高等應用數學問題的matlab求解[M].北京：清華大學出版社，2004：29-37.

[8]陳懷琛.matlab及其在理工課程中的應用指南[M].西安：西安電子科技大學出版社，2007：31-42.

[9]周培源.理論力學[M].北京：人民教育出版社，1953：45-48.

〔責任編輯 李海〕

(2)使用效果

使用過本系統的教師，都覺得該工具很方便，在進行教學設計的過程中也學習了教學設計的相關理論知識。

參考文獻

[1]彭紹東.教學設計自動化的定義與發展述評[J].電化教育研究，2011(1)：24-34.

[2]何克抗.教學設計理論與方法研究評論(下)[J].電化教育研究，1998(4)：29-32.

[3]李龍.教學過程設計的理論與實踐[J].電化教育研究，1999(4)：20－26.

[4]任培花，康振峻，王麗珍.Web2.0環境下程序設計課程自主學習平臺的設計與實現[J].山西大同大學學報：自然科學版，2012，28(5)：4-6.

[5]李龍.教學設計[M].北京：高等教出版社，2010.

Calculation of the Object along the Circular Track down

XIE Ting-yue，WEN Li-xia，SUN Zhu，WANG Ping
(School of Physics and Electronics Science，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009)

To calculat e the friction when objects decline along the circular orbit，is often encountered in mechanics，and is a simple problem.T he traditionalmethod w e use is the functional principle.In this paper，with the definition of the variable force acting and the particle kinetic energy theorem，the calculation can change the forces acting in the case of some physical unknown.I n the calculation process the settlement in the higher mathematics of first order non-singular differential equations and other mathematical knowledge are used，the computer language of mathematics matlab for solving equations is also used，and a twodimensional image is prcduced.

functional theory；the definition ofwork；computer language

P159.3

A

2013-04-10

山西大同大學教學改革項目[2012104]；山西大同大學博士科研啟動基金項目[2008－B－08]

解廷月(1971-)，男，山西山陰人，碩士，講師，研究方向：力學；*王萍，女，博士，副教授，通信作者。

1674－0874（2013）03－0028－03