可逆三分子反應模型的系統(tǒng)分析

孔麗麗

（山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西 大同 037009）

可逆三分子反應模型的系統(tǒng)分析

孔麗麗

（山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西 大同 037009）

生化反應；極限環(huán)；存在性

1 建立模型

由文獻[1]我們知道：在生物化學反應中,反應物的反應速度能近似地看作與其濃度成正比,但是反應物并不隨著其濃度的增多而無限增大。即當其濃度超過一定的量后,反應速度并不加快了，也就是說它有一個飽和反應速度。文獻[2]討論了一類可逆三分子反應模型，得到該模型奇點的性態(tài)以及極限環(huán)的存在性。在文獻[2-4]基礎上討論一類具有一級飽和反應速度的可逆三分子反應模型

其中A＞0，B＞0,c＞0,d＞0。基于系統(tǒng)（1）的實際意義,限制在區(qū)域Ω={（x,y）｜x≥0,y≥0}內(nèi)進行分析。

2 奇點的類型

易知，當d＞A時,系統(tǒng)（1）在Ω內(nèi)有唯一的奇點R（x0,y0）,其中

以下均討論d＞A的情形，我們有：

證明由系統(tǒng)（1）在R處的變分矩陣即可證明得到該結(jié)論。

3 正解的有界性

定理1系統(tǒng)（1）的一切正初始值的解得正半軌線有界。也就是說存在閉折線Γ使得對任意Μ（x1, y2）∈intΓ,當t增加時,系統(tǒng)（1）的從M出發(fā)的軌線跑不出Γ所圍的區(qū)域。

4 極限環(huán)的存在性

證明利用Bendixson環(huán)域定理來構造廣義的Bendixson環(huán)域。其外境界線為定理1中證明得到的閉折線Γ=CDE?FGC,而正平衡點R在定理2的條件下為不穩(wěn)定的焦點或結(jié)點,于是在區(qū)域Ω的內(nèi)部正平衡點R的外部系統(tǒng)（1）至少存在一個穩(wěn)定的極限環(huán)。定理得證。

圖1 Bendison環(huán)域

[1]陳蘭蓀,陳健.非線性生物動力系統(tǒng)[M].北京：科學出版社,1993.

[2]賈建文.可逆三分子反應模型的系統(tǒng)分析[J].生物數(shù)學學報,1999,14（4）：415-418.

[3]孔麗麗,賈建文.一類多分子生化反應系統(tǒng)的定性分析[J].山西師范大學學報：自然科學版,2012,26（1）：21-24.

[4]陳慧琴.一類含強迫項的二階微分方程解的振動性[J].山西大同大學學報：自然科學版,2011,27（4）：5-6.

〔責任編輯 高 海〕

Systematic Anlysis of a Model for Reversible Trimolecular Reaction

KONGLi-li

（School of Mathematicsand Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009）

In this paper,a model in biochemical reaction is discussed,by means of the ordinary differential equation qualitative method,we obtain such conclusions as boundedness of solutions which initial value is in the first quadrant and the existence of limit cycle.

biochemical reaction；limit cycle；existence

O175

A

2013-06-04

孔麗麗（1984-）,女,山西呂梁人,碩士,助理實驗師,研究方向：生物數(shù)學。

1674-0874（2013）05-0025-03

收稿日期：2013-08-19

山西省高等學?？萍佳芯块_發(fā)項目[20121015]；國家自然科學基金資助項目[11271235]

作者簡介：孟獻青（1979-）,女,山西懷仁人,碩士,講師,研究方向：圖論與高等數(shù)學。