帶有非局部條件Caputo分?jǐn)?shù)階差分方程解的存在性

孟獻(xiàn)青，陳慧琴

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同 037009）

帶有非局部條件Caputo分?jǐn)?shù)階差分方程解的存在性

孟獻(xiàn)青，陳慧琴

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同 037009）

考慮如下Caputo分?jǐn)?shù)階差分方程

在非局部條件y（ν-3）=φ（y），△y（ν+b）=ψ（y），△2y（ν-3）=λ（y）下的邊值問題（BVP），其中t∈［0，b］，f：［ν-2，ν-1，…，ν+b］Nν-2×R→R，f為連續(xù)函數(shù)，φ，ψ，λ∈C（［ν-3，ν+b］）→R，2＜ν≤3。利用Banach壓縮映射定理和Brouwer不動點定理得到此邊值問題解存在的充分條件。

Caputo分?jǐn)?shù)階差分方程；非局部條件；邊值問題；不動點定理

近幾十年間,已出現(xiàn)不少分?jǐn)?shù)階差分方程的文章,如文獻(xiàn)[1-6]。文獻(xiàn)[1]主要給出了分?jǐn)?shù)階差分方程的一個有用的生物模型,文獻(xiàn)[2]研究了Caputo分?jǐn)?shù)階差分方程的初值問題,而文獻(xiàn)[3-6]利用錐不動點理論主要討論了分?jǐn)?shù)階差分方程邊值問題解的存在性與正解的存在性。

討論如下帶有非局部條件Caputo分?jǐn)?shù)階差分方程的邊值問題：

其中t∈［0，b］N0,f：［ν-2，ν-1，…，ν+b］Nν-2×R→R是連續(xù)函數(shù)φ,ψ，λ：C（［ν-3，ν+b］Nν-）2→R，而2＜ν≤3。我們將利用Banach壓縮定理討論（1）～（4）解的存在性與唯一性,利用Brouwer定理討論解的存在性。

首先,我們介紹一些分?jǐn)?shù)階差分與和分的理論,這些理論在文獻(xiàn)[2-6]及其參考資料中可查到。

定義1[2]對于ν＞0,0≤n-1＜ν≤n,ν階和分與ν階Caputo差分分別定義如下：（s）,n∈N。

引理1[2]設(shè)ν＞0,f定義在Na上,則

其中ci∈R,1≤i≤n,0≤n-1＜ν≤n。

為了得到我們的主要定理,下面給出一個主要引理。這個引理給出了邊值問題（1）～（4）解的表達(dá)式,這個解的表達(dá)式對本文解的存在性定理起著關(guān)鍵作用。

引理2設(shè)f：［ν-2，ν-1，…，ν+b］Nν-2×R→R,且2＜ν≤3。那么邊值問題（1）-（4）的解是：

證明對方程（1）兩邊進(jìn)行ν階和分,由引理1,得這里t∈［ν-3，ν+b］Nν-3,則有把條件（4）代入（8）,得

把條件（3）以及c3代入（7）,得

f（s+ν-1，y（s+ν-1）），把條件（2）以及c2,c3代入（6）,得

（s+ν-1，y（s+ν-1）），把c1,c2,c3代入（6）并整理即得（5）式。定理得證。

為了得到邊值問題（1）-（4）解的存在定理,定義算子T：

其中t∈［ν-3，ν+b］Nν-3。特別地,y是邊值問題（1）-（4）的解當(dāng)且僅當(dāng)y是算子T的不動點。下面我們利用這個事實證明本文的主要定理。

定理1設(shè)φ（y）,ψ（y）,λ（y）,（ft，y）對y都滿足Lipschitz條件,即存在α,β,ξ,η＞0,對任意y1,y2∈C（［ν-3，ν+b］，R）使得

如果

則邊值問題（1）-（4）存在唯一解。

證明對任意y1,y2∈C（［ν-2，ν+b］，R），由引理2與引理3,有

又因為

即有

因為

即有

則

根據(jù)Banach壓縮映射定理可知,T有唯一不動點y,從而y是邊值問題（1）～（4）的解。

由定理1以及微積分的理論還可得

定理2如果φ（y）,ψ（y）與λ（y）可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)有界,f（t，y）關(guān)于變量y的偏導(dǎo)數(shù)存在且有界,這里y∈C（［ν-3，ν+b］Nν-3，R）。即存在M1,M2，M3，M4＞0，使φ（′y）≤M1,ψ（′y）≤M2,λ（′y）≤M3,f（yt，y）≤M4。

如果

則邊值問題（1）～（4）存在唯一解。

如果減弱對f（t，y）和φ（y）,ψ（y）,λ（y）的條件,得到問題（1）～（4）解的存在性定理。

定理3如果存在M＞0,使得

則邊值問題（1）～（4）至少存在一個解y0,且滿足y0（t）≤M,t∈［ν-3，ν+b］Nν-3。

證明令Ω=｛y∈Rb+4：‖y‖≤M｝,T是由（9）定義的算子,則T是連續(xù)的。證明T：Ω→Ω。為此,記

則

所以T：Ω→Ω,從而由Brouwer定理知,算子T存在不動點y0,則y0為邊值問題（1）～（4）之解,且y（0t）≤M,t∈［ν-3，ν+b］Nν-3。

[1]Atici FM,Sengül S.Modeling with fractional difference equations[J].JMath Anal Apply,2010（369）：1-9.

[2]Abdeljawad T.On Riemann and Caputo fractional differences[J].Computers and Mathematics with Applications,2011（3）,36-38.

[3]Goodrich C S.Existence and uniqueness of solutions to a fractional difference equation with nonlocal conditions[J].Comput Math Appl,2011（61）：191-202.

[4]Goodrich CS.On positive solutions to nonlocal fractional and integer-order difference equations[J].Appl Anal Discrete Math,2011（5）：122-132.

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[6]Atici F M,Eloe PW.Two-point boundary value problems for finite fractional difference equations[J].JDifference Equ Appl, 2011,17（4））：445-456.

〔責(zé)任編輯 高 ?！?/p>

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[6]Philip D,Ross S.Subramanian.Thermodynamics of protein association reaction：forces contributingto stability[J].Biochemistry，1981（20）：3096-3102.

Abstract：The reaction of Chromium（III），5-methyl-salicylic acid and ethylenediamine led to synthesized[Cr（5-MeSA）（en）2]Cl，The complex was characterized by element,IR and UV-vis.in pH 7.5 of 0.05 mol/L This-HCl buffer，the interaction of bovine serum album with the complex was investigated by fluorescence spectra，the conditional binding constant，K 1.38×104k/L·mol and the type of effect is electrostatic attraction.

Key words：complex；bovine serum album；fluorescence spectra

〔責(zé)任編輯 楊德兵〕

Existence and Uniqueness of Solutions about Caputo Fractional Difference Equation w ith Nonlocal Conditions

MENG Xian-qing，CHEN Hui-qin

（School of Mathematics and Computer Sciences，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009）

In this paper，we investigate the existence and uniqueness of solutions for fractional difference equation boundary value problem（BVP）：

where t∈［0，b］N0,f：［ν-2，ν-1，…，ν+b］Nν-2×R→R，is continuous，φ，ψ，λ∈C［ν-3，ν+b］Nν-3→R，2＜ν≤3.We use the Banach＇s contraction mapping principle to deduce the uniqueness theorem.By means of the Brouwer＇s fixed points theorem，we obtain sufficient condition for the existence of solution to boundary value problem.

Caputo fractional difference equation；nonlocal conditions；boundary value problem；fixed point theorem

The Interaction of[Cr（5-MeSA）（en）2]Clw ith Brovine Serum Album in

SUN Z han-guo，WANG J un-ling，MENG S huang-ming

（School of Chemistry and Chemical Engineering，ShanxiDatong University,Datong Shanxi，037009）

O175.7

A

1674－0874（2013）05－0028－06