壓電柔性臂動力學模型修正研究

曹青松，王輝，洪蕓蕓，何悅海

(華東交通大學載運工具與裝備教育部重點實驗室，江西南昌330013)

工程實際中，幾乎所有機器設備都處于振動環境中工作，如何改善、控制以及利用這些振動對國防建設、航空航天技術的研究以及工業技術的發展都具有重大意義［1］。要改善、控制和利用機械設備運轉中的振動，首先需要建立準確描述結構系統特性的數學模型。在系統結構數學模型描述上存在理論建模與實驗建模兩種［2］，兩種方式均存在一定誤差，控制效果的好壞、系統的穩定與否在很大程度上都取決于系統的模型是否建得精確，從某種意義上說柔性多體系統的動力學建模是系統研究的核心問題，因此，對系統模型的修正具有重要意義。

傳統的柔性臂建模，為了降低建模難度，在建模過程中簡化了方程的推導過程和最終的推導結果，忽略了柔性臂的結構變化、關節摩擦、結構阻尼和導線因素的影響，因此模型與實際系統存在一定程度上的差異。目前，模型修正的主要方法有［3－6］:最優矩陣法、設計參數型法、頻響函數法、神經網絡法等。袁永新等［7］提出一種基于不完全模態測量數據同時修正有限元質量矩陣與剛度矩陣的有效數值方法，該方法運用代數特征值反問題的理論與方法，得到了滿足正交關系及特征方程的最逼近有限元質量矩陣及剛度矩陣的唯一的修正質量矩陣與剛度矩陣 (最優修正矩陣)，表達式簡潔，修正過程簡單而且容易實現。盧菊洪等［8］用實驗方法測得系統的相關模態參數，建立了基準 (未損)模型，借助模型剛性靈敏度實現對系統結構損傷位置及程度的識別。李明偉等［9］提出了基于頻響函數的模型修正方法，該方法以設計參數為修正對象，避免了模態分析過程，而且不需要將有限元模型的頻響函數與實驗測得的頻響函數進行匹配，僅需要少量實測的頻響函數數據即可完成模型修正過程。何浩祥等［10］利用遺傳算法對神經網絡權值進行優化設計，使運算速度得到了大幅度的提升，提出了一種基于子結構與神經網絡的遞推模型修正方法，使之更為實用便捷。

作者以兩連桿多壓電片作動傳感的柔性臂結構為研究對象，由于在初始建立的模型中，為了降低難度簡化了方程的推導過程和最終的推導結果，忽略了柔性臂的結構變化、關節摩擦、附加質量、結構阻尼和導線等因素的影響，造成模型與實際系統存在一定程度上的差異，針對這種情況，對系統初始模型，在剛度與阻尼方面進行有效修正。

1 壓電柔性臂動力學模型特性

根據外力不做功，將柔性臂當Euler梁處理，求得單個柔性臂動能:

勢能:

拉格朗日方程:

其中:L=T－V。

M、m、I1、P11分別為柔性臂質量、柔性臂末端集中質量、臂截面慣性矩、臂1的一階模態。將式(1)、式 (2)代入式 (3)得到單臂自由振蕩模型與角頻率ω表達式分別如式 (4)、(5)所示:

為了檢測柔性臂的振動，將柔性臂根部固定于臺鉗上，在末端施加一個垂直沖擊。這樣只會激起臂的基本振型，不會激發其他任意振型。圖1、圖2為所得到的柔性臂的振動曲線。

圖1 柔性臂1彈性振動

圖2 柔性臂2彈性振動

柔性臂系統參數如下:柔性臂1長l1=0.35 m，寬b1=0.04 m，高h1=0.001 m，臂分布質量M1=0.11 kg，末端集中質量m1=0.19 kg，彈性模量E1=E2=200 GPa，慣性矩I1=3.33×10－12m4。柔性臂2的l2=0.32 m，寬b2=0.040 m，高h2=0.001 m，臂分布質量M2=0.075 kg，慣性矩I2=2.5×10－12m4。

將柔性臂數值參數代入式 (5)，得到臂1、臂2的振動頻率，并與結構實際的檢測振動頻率 (圖1、圖2)一同列于表1中。

表1 柔性臂振動頻率

自由衰減法是一種有效的常用的檢測結構阻尼的方法，操作方法為:將柔性臂的根部固定，在末端施加垂直沖擊，振動衰減率則表示為:

當阻尼為黏滯阻尼，或近似等效為黏滯阻尼時，則ε為一常數，與振幅無關。

表2 柔性臂衰減率

由表中頻率數值可以看出角頻率實際值與理論值存在著差異。導致這種差異的原因主要有兩個方面，一方面是模型中柔性臂的長度與實際實驗時柔性臂的長度有差異，在實驗系統中臺鉗夾頭的影響使柔性臂的長度小于理論長度，另一方面在實驗系統中由于粘貼了壓電陶瓷、導線等使柔性臂的物理特性參數E、J發生了改變，而在模型建立中忽略了這一方面的影響。同時臂振動也是不斷衰減的，建模過程中忽略了系統的阻尼，是以等副變化來處理。

2 壓電柔性臂模型及修正

為補償頻率上的差異，需對振蕩模型進行調整，即在模型中增加剛度項:

于是得到剛度調整系數Δk的表達式為:

兩聯桿柔性臂多壓電作動器數學模型如下式:

令Bτ+βUa=Q，由于慣性矩陣M為正定對稱的，在這里定義G=M－1，在式 (10)中左右兩邊同時乘上G，則可見式 (10)寫成:

根據廣義坐標和廣義力的定義，有:

將剛度矩陣用分塊形式表示:

Kζ為4×4階對角矩陣，定義Z=GH，O為零陣，P(t)=［p11(t) p12(t)p21(t) p22(t)］T，θ(t)=［θ1(t) θ2(t)］T，于是由式 (12)得:

作如下分塊化處理:

式中:Z11、G11為n×n維矩陣，Z12、G12為n×r維矩陣;Z21、G21為 r×n維矩陣;Z22、G22為 r×r維矩陣。

將補償頻率和增加阻尼的方法擴展到兩連臂中去，綜合式 (11)— (15)于是有:

為了研究簡便，只研究其在某一固定構型時的彈性振動。通過上述公式的推導可知項與振動頻率無關聯，因此分析系統頻率是可以忽略含的項。

由式 (16)得到的系統自由振動模型:

此式中G22Kζ不是對角矩陣，所以兩柔性臂間的振動是耦合的。而又有 G22為對稱正定，因此式(17)可以改寫成:

由式 (18)有分量形式:

于是按照單臂修正分析過程對頻率進行修正。在式 (19)中增加一剛度項

得到雙臂振動剛度調整系數:

式中:ωij為第i根柔性臂第j階振動角頻率實測值。

測量電機在不同的轉速下的柔性臂的振動角頻率，將結果記錄在表3中。

表3 (細分數)轉速與ω間的關系

Z22中的為相對小量，此時又有˙θ=0，則可以認為Z22=0，于是由式 (18)并考慮到剛度調整有:

對上式增加阻尼補償項:

3 仿真與實驗驗證

為了驗證系統動力學模型以及進行剛度調整與阻尼修正后系統模型的準確性，采用MATLAB軟件對以上所建立的原始模型與修正模型進行仿真分析。在仿真過程中，將柔性臂系統相關參數代入，且大、小電機分別輸出τ1=1.07n1sin(2πk1t)N*m(n1，k1為常數)，τ2=0.065n2sin(2πk2t)N*m(n2，k2為常數)。仿真過程中只考慮1階模態修正，將衰減率與轉角實測值代入各自修正公式，將所得的Dc˙q、Kq代入式 (25)。

圖3 臂1轉角曲線

圖4 臂2轉角曲線

圖5 臂1角速度曲線圖

圖6 臂2角速度曲線圖

為了進一步驗證所建立的動力學模型，將系統在脈沖力矩激勵情況下的仿真結果和實驗結果進行比較研究。在實驗過程中，采集臂1振動信號時，臂2不轉將其視為臂1末端集中質量，對臂1加垂直沖擊;在檢測臂2振動信號時，臂1照常轉動，對臂2施加垂直沖擊。在模型仿真過程中，設置系統初始狀態與實驗過程狀態保持一致。實驗與仿真的對比圖如圖7—10所示。

圖7 修正前臂1振動比較

圖8 修正后臂1振動比較

圖9 修正前臂2振動比較

圖10 修正后臂2振動比較

由上述仿真與實驗結果可以看出:

(1)由圖3、圖4可知，模型修正前、后臂1、臂2轉角曲線在線性度方面后者明顯優于前者。線性度變化趨勢在模型修正前與后兩者之間變化明顯，且修正后的曲線線性度更好，更接近現實模型的特性。

(2)臂2角速度曲線顯示出較臂1更加明顯的鋸齒狀波形，說明在臂2上產生的彈性抖動強烈，修正前、后的曲線如圖5、6(頻率為原始頻率的0.5倍)所示:修正后曲線幅值波動更加平穩，因此剛度調整和阻尼補償對模型的修正是有效的。

(3)圖7與圖8所示，臂1修正前后實驗與仿真所得到的振動響應，對比修正前后結構發現，模型修正前臂1的沖擊響應，修正前仿真結果的幅值略有偏小，衰減率與實驗結果變化一致，但衰減周期較實驗結果大;修正后臂1仿真的響應與實驗結果無論是在幅值、衰減周期以及衰減率都高度吻合。臂2修正后的結果同樣是幅值、衰減周期以及衰減率與實驗結果相比較的吻合度高于修正前的。

4 結論

采用假設模態法描述壓電柔性臂的彈性變形，再利用拉格朗日方程推導出系統動力學方程。通過剛度調整與阻尼補償的方法對建模過程中采取的簡化處理造成的模型誤差進行修正。仿真結果表明，修正后的轉角曲線線性度更好，角速度曲線幅值波動更加平穩，由此說明剛度調整和阻尼補償對模型的修正是有效的。

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【8】盧菊洪，陳志平．基于有限元模型修正的損傷識別方法研究［J］．機械設計，2010，27(5):25 －27．

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