雙裂紋轉子系統非線性動力學特性研究

于 濤，孫 偉，韓清凱

(1.煙臺大學 機電汽車工程學院，山東 煙臺 264005;2.山東省高校先進制造與控制技術重點實驗室，山東 煙臺 264005;3.大連理工大學 機械學院，遼寧大連 116024)

轉子軸系是大型旋轉機械設備如汽輪機、航空發動機等的重要部件，通常工作在高溫、高壓和高速運轉的環境中會產生疲勞裂紋。這些疲勞裂紋如不及時發現，就會在交變載荷的作用下擴展、突變以至引起災難性的斷裂事故。雙裂紋轉子系統作為裂紋轉子系統的一種特殊情況，其在實際工程中的危害是顯而易見的。文獻［1］對具有兩條橫向裂紋的轉子系統動力學特性進行仿真分析，研究了不同裂紋夾角的轉子動力學行為，得到轉動過程中兩條裂紋開閉的關系。與實驗結果對比，驗證了模擬的有效性。文獻［2］采用較為簡單的余弦型裂紋呼吸模型，利用有限元方法，分析了含兩條裂紋的轉子系統動力學特性。文獻［3］采用有限元方法建立了雙盤雙呼吸型裂紋轉子系統的動力學方程，研究了雙裂紋轉子振動響應的特點，以及在一個穩態旋轉周期內裂紋軸剛度時變規律，分析了不同裂紋深度和裂紋夾角對轉子振動響應的影響。文獻［4］通過實驗方法研究具有兩條裂紋轉子系統的振動特性。Chasalevris［5］建立了轉子裂紋的柔度矩陣，利用小波分析的方法，研究了彎矩作用下雙直裂紋梁上裂紋深度、位置及角度的檢測方法。文獻［6］采用集中質量法建立轉子模型，研究了含雙呼吸型裂紋轉子的動力學特性。以上研究對雙裂紋轉子系統的非線性動力學及其故障診斷提供了重要參考。

但是，在裂紋轉子系統的動力學特性分析及故障診斷中，通常采用簡化的Jeffcott轉子模型作為研究對象，而在裂紋轉子系統動力學方程建模過程中，往往將轉子系統簡化為具有少量自由度的集中質量模型，多將裂紋置于轉子系統中心位置，即轉盤附近。這種分析方法具有建模過程簡單，分析快速等優點，為進行裂紋轉子系統的動力學特性研究提供了極大的方便，得到了一系列有價值的研究結果［7－19］。但這種方法也具有不足和缺陷，即無法最大限度的模擬實際轉子系統的結構和動力學特性。因為，采用集中質量的簡化模型雖然適用于理論分析，但在進行實際旋轉機械建模過程中往往容易丟失軸系的關鍵信息，如變截面軸的簡化，多級葉輪的簡化等;再者，將裂紋置于中心位置，認定裂紋的存在對整個轉子系統剛度產生影響也并不合理，根據Saint－Venant原理可知，裂紋只對其周圍局部區域的應力場產生影響，故可認為，在一定的局部尺寸下，裂紋只對其附近的軸段剛度產生影響，而其它轉子系統其它部位剛度不變。在裂紋轉子故障研究的過程中，學者們提出了多種模擬實際轉子裂紋的方法，著名的有Papadopoulos與Dimarogonas提出的局部柔度計算法［14］等。

本文在考慮裂紋界面剪力引起的彎矩情況下，從斷裂力學理論和局部柔度理論出發，研究了轉子裂紋位置及裂紋方向角等因素的變化對雙裂紋轉子系統固有特性造成的影響。得到了豐富的雙裂紋轉子動力學行為。

1 雙裂紋轉子系統動力學模型

基于虛功原理及局部柔度理論建立裂紋單元的柔度矩陣，然后組集無裂紋單元剛度、質量、阻尼矩陣，以及軸承、外激勵等得到關于裂紋轉子軸系的整體有限元動力學方程［20］。如圖1所示為含單裂紋的轉子系統有限元模型。

圖1 裂紋轉子有限元模型Fig.1 Finite element model of single-crack rotor system

1.1 無裂紋轉軸有限單元模型

圖2 轉子軸段單元有限元模型Fig.2 Finite element model of rotor shaft

如圖2為無裂紋軸單元，單元的廣義坐標為兩端節點的位移，僅考慮彎截面橫向位移和偏轉角，忽略扭轉變形和軸向變形，則兩端點的廣義坐標為:

采用三次多項式插值函數的形函數矩陣，得到相應的移動慣性單元矩陣MeT、轉動慣性單元矩陣MeR、陀螺力矩矩陣Ge、剛度單元矩陣Ke。

1.2 含橫向裂紋軸段的有限單元模型

圖3 裂紋單元有限元模型Fig.3 Finite element model with transverse crack

如圖3所示為含橫向裂紋軸段有限單元模型，單元兩端面分別受到剪力 Pix、Piy、Pjx和 Pjy，彎矩 Piθx、Piθy、Pjθx和 Pjθy，軸向力 Piz和 Pjz，以及扭矩 Piθz和 Pjθz的作用。

根據Castingliano定理和柔度理論得結果為:

令 P1=Pix，P2=Piy，P3=Piz，P4=Piθx，P5=Piθy，P6=Piθz，則裂紋單元總柔度可表示為:

其中:ui為由于廣義力Pi在i方向產生的柔度，u0i為無裂紋單元柔度，可直接根據有限元法得出;uci為裂紋引起的附加柔度。則裂紋單元總柔度為:

需要指出的是，關于附加柔度矩陣的建立，Prabhakar等使用了如下的無裂紋柔度矩陣CUC、裂紋附加柔度陣COP和剛度轉換矩陣KUC，它考慮了裂紋截面兩個方向的彎矩和剪力:

其中:

為由平衡關系得到的轉換矩陣。

基于如上柔度矩陣得到的剛度陣，所對應的系統自由度順序(不考慮軸向位移和扭轉位移)為{xiyiθixθiyxjyjθjxθjy}［4］。本文在裂紋開口方向與質量偏心同側假設下，只考慮與裂紋開口方向ξ一致的截面彎矩P4引起的Ⅰ型裂紋和剪力P2引起的Ⅱ型裂紋混合情況，則無裂紋時應變能W0為:

無裂紋時單元柔度系數為:

圖4 轉子裂紋橫斷面示意圖Fig.4 The cross section of rotor crack

對于轉子軸系發生的表面弓形裂紋，如圖4所示，圖中各變量所代表意義如下，R為轉軸半徑，a為裂紋深度，2b為裂紋寬度，h為裂紋條高度在由裂紋截面六個廣義力引起的附加柔度的計算公式中［14］，關于彎矩引起的裂紋強度因子沒有考慮剪力在裂紋截面處的影響，從而忽略了裂紋在所劃分的單元內部的位置因素，這種影響雖然在實際工程中對裂紋的發生、以及程度的診斷不會引起太大的誤差，但在理論研究中，應當將這種因素考慮在內。

對應彎矩P4和剪力P2的應力強度因子K14和KⅡ2分別如式(12)和式(13)所示:

其中:

根據上式得到深度為z，寬度為dw的矩形裂紋條引起的附加應變能為:

那么，對于深度為a，寬度為2b的圓形截面裂紋，其應變能為:

由(2.18)式，可得由彎矩P4和剪力P2引起的局部附加柔度c44和c22為:

則裂紋附加柔度陣cc為:

若給定轉子半徑R=5 mm，則附加柔度隨裂紋深度的變化如圖5所示。

從圖5(a)中可以看出，隨著裂紋深度的擴展，不考慮剪力在裂紋截面引起彎矩的附加柔度明顯小于考慮了剪力在裂紋截面引起彎矩的情況，這種差別將在裂紋較深時對裂紋單元的剛度矩陣產生較大的誤差。

得到裂紋單元總柔度陣為:

T為平衡關系得到的變換矩陣:

圖5 附加柔度隨裂紋深度擴展的變化Fig.5 Additional flexibility with the propagation of a crack

1.3 呼吸裂紋模型

考慮圖6給出的裂紋截面在固定坐標系中的轉動情況。在幾何分析和實驗研究的基礎上，目前被廣泛采用的的模型有方波模型、余弦模型、及綜合模型等。本文采用圖7給出的裂紋余弦開閉模型。

圖6 裂紋截面轉動示意圖Fig.6 The rotating crack section

圖7 裂紋余弦開閉規律示意圖Fig.7 The cosine open-close law of crack

設全開裂紋柔度矩陣為c0，半開裂紋柔度矩陣為ch。顯然，全開裂紋時有c0=c。

故有:

由于裂紋具有呼吸開閉特性，裂紋轉子在旋轉過程中，剛度隨時間或轉角變化，用四階余弦展開表達:

且有:

于是求得:

1.4 雙裂紋轉子系統整體有限元模型

將圖2.1所示的裂紋轉子軸承系統劃分為具有n個梁單元，n+1個節點的有限元模型。轉盤質量和軸承質量集中在相應的節點上。組集各單元質量、剛度、阻尼、及陀螺力矩構成轉子系統的動力學模型如下:

其中:M為質量矩陣，D包括轉子軸承阻尼和陀螺力矩，K為剛度矩陣，Q為由不平衡量、油膜力等外力引起的激振力。

2 雙呼吸裂紋轉子系統亞臨界共振特性

雙呼吸裂紋，即轉子系統兩裂紋在轉子運轉過程中隨著轉角變化均做規律性的開閉運動，本節重點研究了雙呼吸裂紋不同位置和不同裂紋方向角情況下，轉子系統亞臨界共振特性。按照圖1所示的有限元模型，雙裂紋在轉子系統上的分布情況共有31種，考慮到情況較多，故選取若干具有代表性的位置加以研究。以轉盤為界，按裂紋所處位置將諸多情況劃分為同側與異側裂紋，同側裂紋包括:1－2、1－4、1－6、2－3、2－6、3－4、3－6、4－5、4－6、5－6，計10種。異側裂紋包括:1 －7、1 －9、1 －10，1 －12、2 －7、2 －9、2 －12、3 －7、3 －9、4 －7、4 －9、5 －7、6 －7，計15 種。

2.1 同側裂紋情況

圖8 雙呼吸裂紋轉子系統亞臨界共振特性(同側裂紋情況)Fig.8 Subcritical resonance characteristics of double-breath-crack rotor system(cracks in same side)

圖8給出了轉速為1/3(為雙裂紋轉子系統一階臨界轉速)條件下，同側、同裂紋方向角(與偏心方向夾角為0)雙裂紋轉子系統軸心軌跡和頻譜圖(對應情況詳見表1)。從圖8(a)至圖8(d)可以看出，當兩裂紋中一條裂紋位于近轉子系統端部，即支撐位置時，另一條裂紋隨著向轉子中心位置移動的過程中，其軸心軌跡變化如箭頭方向所示，當第二條裂紋與第一條裂紋較為接近時，其頻譜圖中以工頻和3倍工頻成分為主;當第二條裂紋移動至支撐與轉子中心之間中點單元位置時，頻譜圖中工頻成分迅速減小，2倍、3倍工頻成分變大，其中轉子系統亞臨界穩態運轉所引起的3倍工頻成分最大，即轉子系統出現超諧波共振;第二條裂紋繼續向中心位置移動的過程中，轉子系統頻譜圖中高次諧波成分仍然以工頻、2倍、3倍頻成分為主，且工頻與3倍頻成分占優。因此，可以得出結論，對于同側雙裂紋轉子系統，若其中一條裂紋近支撐端，另一條裂紋在向轉子中心位置移動的過程中，工頻成分先較小后增大，2倍、3倍頻成分單調增大，且當第二條裂紋位于支撐端與轉子系統中心之間中點位置附近時，3倍頻成分占主導，轉子系統出現超諧波共振。考察其它同側雙裂紋情況，當雙裂紋分別位于2－6、3－6、4－6、5－6時，其軸心軌跡與頻譜圖與雙裂紋位于1－6時類似，這種現象說明:對于雙裂紋情況，當其中一條裂紋位于轉子中心附近時，另一條裂紋位置的改變對轉子系統時頻響應的改變影響較小，且這種影響隨著兩裂紋之間的距離縮小而更趨變小。另外，從圖中可以看出，當雙裂紋互相接近且位于轉子系統支撐端與中心之間位置時，如2－3和3－4時，系統也出現超諧波共振現象，因此對于同側雙裂紋情況，轉子中心附近和支撐端與中心之間中點附近的裂紋應引起足夠的重視。

表1 軸心軌跡和頻譜圖說明(同側裂紋情況)Tab.1 Illustration of obit and spectrum(cracks in same side)

2.2 異側裂紋情況

圖9給出了轉速為1/3Ω(Ω為雙裂紋轉子系統一階臨界轉速)條件下，異側、同裂紋方向角(與偏心方向夾角為0)雙裂紋轉子系統軸心軌跡和頻譜圖(對應情況詳見表2)。

表2 軸心軌跡和頻譜圖說明(裂紋不同側情況)Tab.2 Illustration of obit and spectrum(cracks in different side)

從圖中可以看出當兩裂紋中一條裂紋位于轉子中心兩側3、4、9或10單元，即轉子中心至支撐端中間部位時，另一裂紋位于近支撐端時，轉子系統亞臨界轉速下出現超諧波共振現象，說明:由于近支撐端的約束作用，使近支撐的裂紋對轉子系統的影響降低。當兩裂紋均位于接近兩支撐端位置時，如圖9(g)，(h)所示，由于約束的局部剛度加強作用，降低了裂紋對轉子系統的影響，使得系統響應頻率成分中出現以工頻和3倍頻為主的現象，這一點從其軸心軌跡圖中也可看出缺少高次諧波成分，而使軸心軌跡形式相對簡單。

2.3 裂紋角影響

裂紋角作為裂紋模型中的一個重要參數，對裂紋轉子系統的動力學行為有著重要影響。迄今為止，關于裂紋角對單一裂紋轉子系統動力學響應的研究較多，而其對雙裂紋轉子系統的影響卻較少見諸文獻。考慮到雙裂紋在轉子系統上的分布情況復雜，此處僅以異側雙裂紋為例進行討論。

取裂紋位置為3－9，由圖10可見當兩裂紋方向角均與偏心方向成0°夾角時的軸心軌跡和頻譜圖(對應情況詳見表3)。當保持裂紋3(位于單元3處的裂紋)方向角不變，即 0°時，裂紋 9方向角按 0、π/6、π/3、π/2、2π/3、5π/6、π 依次變化，轉子系統亞臨界轉速下穩態軸心軌跡和時頻響應如圖2.49至圖2.55所示。從圖中可以清楚地看出，隨著兩裂紋方向角交錯角度的增大，軸心軌跡表現出明顯的高次諧波成分減小的趨勢，裂紋角相差至π時，軸心軌跡形式達到最簡。另從頻譜圖中可以看出，當兩裂紋差角較小(小于π/6)時，系統亞臨界轉速下激起超諧波共振，隨著裂紋差角的擴大，工頻成分逐漸變大占主導，3倍頻成分逐漸減小，值得注意的是，當兩裂紋角反向，即裂紋角相差π時，系統頻譜成分中高次諧波成分較工頻成分相差很大，工頻占絕對主導地位。綜合以上分析，可以得出這樣的結論，當雙裂紋差角相差較小時，在雙裂紋的共同作用下，相當于加強了裂紋的非線性影響，其軸心軌跡和頻譜圖中，出現了豐富的高次諧波成分，隨著裂紋差角的擴大，工頻成分持續增大，2倍以上高次諧波成分相對減小，至裂紋差角反向時，高次諧波成分達到最小，說明反向裂紋在一定程度上起到了互相抵消影響的作用。

表3 軸心軌跡和頻譜圖說明(不同裂紋方向角情況)Tab.3 Illustration of obit and spectrum(different crack angles)

圖9 雙呼吸裂紋轉子系統亞臨界共振特性(裂紋不同側情況)Fig.9 Subcritical resonance characteristics of double-breath-crack rotor system(cracks in different side)

圖10 裂紋方向角對雙呼吸轉子系統亞臨界共振特性的影響(不同裂紋方向角情況)Fig.10 The influence of crack orientation angle on subcritical resonance characteristics of double-breath-crack rotor system(different crack angles)

3 結論

本文從斷裂力學理論出發，考慮了裂紋強度因子中剪力因素在裂紋截面處的影響，通過建立的裂紋轉子精細有限元動力學模型，分析了不同裂紋位置對雙裂紋轉子系統亞臨界、主共振區，及超臨界轉速下的非線性動力學響應，以及雙裂紋轉子系統不同裂紋方向角對雙裂紋轉子系統動力學響應的影響，得到以下結論:

(1)對于同側雙裂紋情況，轉子中心附近和支撐端與中心之間中點附近的裂紋應引起足夠的重視。

(2)由于近支撐端的約束作用，使近支撐的裂紋對轉子系統的影響降低。當兩裂紋均位于接近兩支撐端位置時，由于約束的局部剛度加強作用，降低了裂紋對轉子系統的影響，使得系統響應頻率成分中出現以工頻和3倍頻為主的現象。

(3)當雙裂紋差角相差較小時，在雙裂紋的共同作用下，相當于加強了裂紋的非線性影響，其軸心軌跡和頻譜圖中，出現了豐富的高次諧波成分，隨著裂紋差角的擴大，工頻成分持續增大，2倍以上高次諧波成分相對減小，至裂紋差角反向時，高次諧波成分達到最小，說明反向裂紋在一定程度上起到了互相抵消影響的作用。

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