近圓低軌道控制量簡易計(jì)算方法

李英良，林西強(qiáng)，譚 煒，李革非

（1中國載人航天工程辦公室，北京100720；2西安衛(wèi)星測控中心，西安710043；3北京航天飛行控制中心，北京100094）

1 引言

軌道控制策略設(shè)計(jì)基本方法一般包括打靶法和逐步逼近法。每次軌控都瞄準(zhǔn)最終目標(biāo)的控制方法稱為打靶法，當(dāng)總控制量較小，通過單次變軌就可實(shí)現(xiàn)時(shí)，常采用此方法。將目標(biāo)控制量分配到多次控制中，逐步逼近目標(biāo)，最后達(dá)到最終目標(biāo)的控制方法稱為逐步逼近法，該方法常適用于當(dāng)總控制量較大，理論上通過單次變軌不能完成時(shí)（比如點(diǎn)火長度限制、變軌弧段過長限制等）。

從易于工程實(shí)施的角度考慮，航天器的變軌控制通常分為軌道平面內(nèi)、平面外變軌控制兩大類。從大量工程應(yīng)用的角度來看，低軌道應(yīng)用衛(wèi)星絕大多數(shù)運(yùn)行在近圓軌道上，為此根據(jù)航天器軌道動(dòng)力學(xué)方程[1-2]，給出一般的近圓軌道衛(wèi)星變軌時(shí)由軌道參數(shù)變化量到速度增量的簡化計(jì)算公式。

文中a，e，i，Ω，ω，M，f，u，v分別表示軌道半長軸、偏心率、傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)、近地點(diǎn)幅角、平近點(diǎn)角、真近點(diǎn)角、相位、速度，軌道根數(shù)均取為平根數(shù)。符號(hào)“Δ”表示參數(shù)變化量。

2 軌道平面內(nèi)變軌控制

一般考慮僅有沿軌道切向的推力，相應(yīng)的軌道參數(shù)變化主要有 Δa，Δe，Δω，但一般不直接建立 Δe，Δω與Δv的關(guān)系，而采用偏心率矢量的變化量Δex和Δey計(jì)算Δv。下面討論相應(yīng)的簡化計(jì)算式。

2.1 單脈沖控制由Δa直接計(jì)算Δv

當(dāng)僅考慮軌道高度的調(diào)整時(shí)，可采用單脈沖軌道控制。根據(jù)軌道動(dòng)力學(xué)基本方程[2]有：

由上式可進(jìn)一步給出Δa與Δv的一般關(guān)系式：

對(duì)于一般的近圓軌道，有e≈0，θ≈0。因此，上式可進(jìn)一步簡化為：

2.2 雙脈沖控制由 Δa、Δe、Δω 計(jì)算 Δv

當(dāng)不僅需要調(diào)整軌道高度，還需進(jìn)行軌道面內(nèi)形狀的調(diào)整（即偏心率矢量控制）時(shí)，應(yīng)采用雙脈沖軌道控制方法，即進(jìn)行平面內(nèi)a，e，ω的聯(lián)合調(diào)整控制。一般通過兩個(gè)橫向脈沖[3]速度增量來實(shí)現(xiàn)，具體可分為以下三種不同情況：

假定第一脈沖變軌位置為u1（可選任何位置），則對(duì)應(yīng)的速度增量Δv1是完全確定的，即

式中：

Δex=e2cosω2-e1cosω1

Δey=e2cosω2-e1sinω1

其中，下標(biāo)“2”表示控后目標(biāo)值（關(guān)機(jī)時(shí)刻），下標(biāo)“1”表示控前參數(shù)值（開機(jī)時(shí)刻），無下標(biāo)符號(hào)取開機(jī)時(shí)刻參數(shù)值。

而第二脈沖速度增量Δv2為：

第二脈沖變軌位置u2滿足

從上述公式可以看出，兩次速度增量同號(hào)，即當(dāng)Δa>0時(shí)同為加速，當(dāng)Δa<0時(shí)同為減速。

要滿足兩次速度增量絕對(duì)值之和最小，兩次速度增量大小和變軌位置是完全可以確定的。其中，第一脈沖速度增量Δv1為：

第一脈沖速變軌的相位u1為：

第二脈沖速度增量Δv2為：

第二脈沖變軌的相位u2為：

由上述公式可知：兩次速度增量異號(hào)，即當(dāng)Δa>0時(shí)第一次軌控為加速，第二次為減速；當(dāng)Δa<0時(shí)，第一次軌控為減速，第二次為加速。兩次速度增量施加位置（變軌位置）用相位表示正好相差180°。

可只進(jìn)行一次變軌，即在調(diào)整a（參見2.1節(jié)）的同時(shí)兼顧e，ω的調(diào)整。此時(shí)調(diào)整施加速度增量的位置亦是已知的，即

這種理想情況在實(shí)際應(yīng)用中極少出現(xiàn)。

（4）小結(jié)

若僅考慮兩次脈沖速度增量大小，則調(diào)整半長軸、偏心率、近地點(diǎn)幅角三個(gè)參數(shù)總的速度增量對(duì)于以上第一、二種情況可表示為：

簡化后的第一種情況與（3）式相同，這也說明調(diào)整半長軸的同時(shí)，偏心率和近地點(diǎn)幅角也會(huì)變化，若控制目標(biāo)需兼顧后兩個(gè)參數(shù)，則可根據(jù)本節(jié)的控制策略進(jìn)行控制計(jì)算。

2.3 由Δu（相位變化量）計(jì)算Δv

在工程計(jì)算中，一般不用隨時(shí)間快速變化的相位參數(shù)作為變軌目標(biāo)參數(shù)，而是通過調(diào)整軌道半長軸來實(shí)現(xiàn)相位的調(diào)整，下面是相位變化量Δu與軌道半長軸調(diào)整量Δa之間的簡易關(guān)系式。

其中，ΔT為相位變化所經(jīng)歷的時(shí)間長度（單位，秒）。將上式代入（3）式可求出速度增量Δv。

3 軌道平面外變軌控制

一般考慮僅有法向推力，同樣根據(jù)軌道動(dòng)力學(xué)基本方程[2]，相應(yīng)的軌道參數(shù)變化主要有傾角變化量和升交點(diǎn)赤經(jīng)變化量ΔΩ，對(duì)應(yīng)的速度增量計(jì)算式如下：

由e≈0，r≈a0，上式可簡化為:

這里，下標(biāo)“0”表示控前參數(shù)值（開機(jī)時(shí)刻），r為地心距。u0=0°或180°時(shí)軌道傾角控制效率最高，u0=90°或270°時(shí)升交點(diǎn)赤經(jīng)控制效率最高。

可直接采用打靶法對(duì)軌道傾角進(jìn)行控制，但對(duì)于升交點(diǎn)赤經(jīng)一般不直接控制（控制量較大時(shí)，直接控制升交點(diǎn)赤經(jīng)不經(jīng)濟(jì)），而是采取隨時(shí)間漂移或通過半長軸、傾角的控制實(shí)現(xiàn)升交點(diǎn)赤經(jīng)調(diào)整的間接控制方法。以、Δ分別表示升交點(diǎn)赤經(jīng)漂移率及其變化量，相關(guān)算式如下：

其中，J2=0.0010826261，表示地球引力場二階帶諧系數(shù)；Re=6378137.0m，表示地球赤道平均半徑；Δt為漂移時(shí)間長度（單位：s）。

由Δa到Δ的算式為：

由Δi到Δ的算式為：

采用調(diào)整半長軸、傾角來間接控制升交點(diǎn)赤經(jīng)的方法時(shí)，當(dāng)升交點(diǎn)赤經(jīng)控制到目標(biāo)值后，均需將半長軸、傾角調(diào)整到控前的數(shù)值或預(yù)定的目標(biāo)值上，否則升交點(diǎn)赤經(jīng)將隨時(shí)間的積累而漂過量。

當(dāng)然，在控制量Δi、ΔΩ較小時(shí)，可使用聯(lián)合修正方法直接進(jìn)行軌道面控制[4]，相應(yīng)的速度增量簡化計(jì)算式為：

其中，v0、i0分別為控制時(shí)刻的速度和軌道傾角，此時(shí)調(diào)整施加速度增量的位置為：

或采用位置：

4 總的速度增量及推進(jìn)劑消耗量計(jì)算

如上所述，近圓低軌航天器的軌道控制分為軌道面內(nèi)和軌道面外控制，以 Δv（a，e，ω）、Δv（i，Ω）分別表示調(diào)整軌道面內(nèi)參數(shù)（半長軸、偏心率、近地點(diǎn)幅角）、軌道面外參數(shù)（傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)）所需速度增量，則對(duì)應(yīng)于第2.2節(jié)中前兩種情況，總的速度增量大小可表示為：

推進(jìn)劑消耗量可由下式計(jì)算[5]：

其中，Δv為速度增量（取正值），單位，m/s；gISP為發(fā)動(dòng)機(jī)比沖，單位，N·s/kg；m0為衛(wèi)星的初始質(zhì)量，單位，kg；mp為推進(jìn)劑消耗量，單位，kg；mf為衛(wèi)星的最終質(zhì)量，mf=m0-mp，單位，kg。

分別聯(lián)合第二、三節(jié)相關(guān)簡化公式與（18）式，可由軌道參數(shù)變化量計(jì)算推進(jìn)劑消耗量。

5 算例分析

以我國天宮一號(hào)/神舟八號(hào)交會(huì)對(duì)接任務(wù)、天宮一號(hào)/神舟九號(hào)載人交會(huì)對(duì)接任務(wù)中飛船遠(yuǎn)距離導(dǎo)引控制為例，使用本文簡易計(jì)算公式，并根據(jù)相關(guān)控制策略，對(duì)飛船入軌正常、入軌過低（近地點(diǎn)高度偏低100km）、入軌過高（遠(yuǎn)地點(diǎn)高度偏高180km）、綜合偏差（平面內(nèi)、平面外參數(shù)均存在一定偏差）四種情況下的飛船遠(yuǎn)距離導(dǎo)引段進(jìn)行了控制計(jì)算，計(jì)算的速度增量及推進(jìn)劑消耗量與實(shí)際任務(wù)計(jì)算結(jié)果的偏差情況見表1。

表1 簡易計(jì)算公式與實(shí)際任務(wù)計(jì)算結(jié)果偏差情況

由表1可知，采用簡化公式的計(jì)算結(jié)果與實(shí)際任務(wù)計(jì)算結(jié)果的相對(duì)偏差均小于±3%，上述偏差主要由計(jì)算公式的簡化過程引起，但這種偏差對(duì)于工程估算可以接受。

6 結(jié)論

對(duì)于近圓低軌道航天器的控制問題，可采用本文給出的簡化公式，根據(jù)控制策略，快速估算航天器變軌控制過程中的速度增量及推進(jìn)劑的消耗量。以我國兩次交會(huì)對(duì)接任務(wù)飛船遠(yuǎn)距離導(dǎo)引控制為算例，驗(yàn)證了簡易方法的有效性、實(shí)用性和精度狀況，可為近圓低軌道航天器的工程估算提供參考?！?/p>

［1］劉林.《航天器軌道理論》.國防工業(yè)出版社，2000.

［2］A E Roy，Orbital motion，UK:IOP Publishing Ltd.2005.

［3］譚煒，楊開忠等.搭載小衛(wèi)星軌道控制策略研究與實(shí)際應(yīng)用.飛行器測控學(xué)報(bào).2006.

［4］章仁為.《衛(wèi)星軌道姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制》.北京航空航天大學(xué)出版社，1998.

［5］徐福祥.《衛(wèi)星工程概論》下冊(cè).宇航出版社，2003.