周期分布缺陷對韌性材料高應變率拉伸碎裂過程的影響＊

鄭宇軒，周風華，胡時勝

（1.中國科學技術大學中國科學院材料力學行為和設計重點實驗室，安徽 合肥 230026；2.寧波大學教育部沖擊與安全工程重點實驗室，浙江 寧波 315211）

材料在沖擊載荷作用下常常會斷裂成多個碎片，對材料動態碎裂機制的研究是應用物理學、力學、航天和兵器工程等領域共同關心的課題。對于給定材料在給定載荷作用下碎裂時產生碎片的尺寸，D.E.Grady和M.E.Kipp［1－5］針對金屬、巖石等多種材料進行了大量實驗，并從物理機制上對碎裂現象進行了理論分析，提出了有關碎片尺寸的計算公式。

針對韌性金屬材料，M.E.Kipp等［3］將一個與斷裂能量相關的內聚斷裂模型引入Mott的卸載波傳播分析，推導出一個預測韌性材料拉伸碎裂過程中產生碎片的平均尺度的公式。為檢驗該公式的適用性，鄭宇軒等［6］利用ABAQUS／Explicit動態有限元軟件模擬了一維應力狀態下的彈塑性金屬（45鋼）桿在高應變率拉伸變形過程中的碎裂現象，并研究了Grady－Kipp公式中的關鍵參數如材料密度、應變率和材料斷裂能對碎裂過程的影響。研究結果表明：Grady－Kipp公式在廣泛的材料參數和應變率范圍內能較好地預測碎裂過程中產生的碎片的平均尺寸。

在數值模擬過程中，一個幾何尺寸和外載荷完全均勻的受拉伸桿，最終斷（碎）裂的發生位置取決于計算模型的非均勻性。文獻［6］中研究的是一個理想的、沒有任何缺陷的物理模型，導致碎裂發生的初始缺陷來自幅度極小的隨機單元網格差異。事實上，金屬材料在制造過程中引入的雜質可能引起材料的制造缺陷，在機械加工過程中也可能導致表面的幾何缺陷，多晶金屬材料中較大的晶粒還會導致材料在微觀／介觀尺度上產生不均勻性等。這些不可避免的偏差或缺陷的幅度較大，且具有一定的空間分布特征。學者們［7－8］對這些自然產生的初始缺陷對材料的長期疲勞壽命和在結構中抗壓及屈曲特性的影響也進行了一些研究，但有關缺陷對在沖擊載荷作用下材料的斷（碎）裂影響的研究卻并不多見。周風華和段忠等［9－10］曾針對于脆性材料，利用特征線數值計算方法研究了具有不同周期特征初始缺陷的一維脆性桿在高應變率變形下的碎裂問題，計算結果表明，對于脆性材料，空間分布完全隨機的初始缺陷對細長桿碎裂中產生的碎片個數影響不大；而對于具有等間距初始缺陷的細長桿，碎片個數在一定的應變率區域內完全由初始缺陷個數控制。韌性金屬材料中初始缺陷對其斷（碎）裂過程的影響是否和脆性材料相似，需進一步研究。

本文中，沿用前期工作［6］的計算模型和材料參數，分析一個直徑具有一定周期分布的一維圓桿在高速拉伸變形時的碎裂過程。圓桿的橫截面半徑沿軸向為周期性正弦曲線，以此代表外表面的正弦幾何缺陷。通過改變正弦幾何缺陷的波長和幅值，分析周期性缺陷對細長桿碎裂過程、碎片個數的影響。進一步簡要分析雙幅值復合幾何缺陷對細長桿碎裂過程的影響。研究結果可以對爆炸與沖擊工程應用，如刻槽式破片戰斗部設計、定向爆破等實際問題提供參考。

1 有限元模型

圖1 處于一維應力狀態，粗細不均勻的彈塑性細長圓桿的剖面圖Fig.1 Cross section of thin bars in states of 1Dstress with the initial sinusoidal geometric defects

選取一維應力狀態的45鋼彈塑性圓柱桿作為有限元模擬對象，桿長L＝100mm，橫截面平均直徑D＝1mm（半徑為r）。采用幾何非均勻性模擬初始缺陷，將圓柱桿的原為直線的母線施加周期性擾動，形成外表面具有等間距的正弦幾何缺陷的粗細不均勻圓柱體，如圖1所示。在計算過程中，沿圓桿軸向方向施加線性分布的初始速度，可以避免突加載荷時產生應力波干擾，使得圓桿在Mott卸載波產生前始終承受均勻的拉伸應變率（速度梯度）。采用Johnson－Cook熱黏塑性本構模型描述材料的動態變形和熱軟化特性，采用包含內聚力失穩斷裂準則的Johnson－Cook型損傷斷裂模型描述材料的破壞，分別處理損傷開動和演化過程。用一個等效塑性應變作為損傷D的開動準則，損傷開動的臨界應變εd與應力三軸度、應變率和溫度相關，一旦損傷開動，就可采用斷裂能量判據來判斷單元是否失效。一旦單元內部損傷達到1，材料完全破壞，可采用單元消去技術將失效單元從整體結構中消去。詳細材料模型和參數見文獻［6］。

2 數值模擬及結果分析

2.1 周期性初始缺陷對一維應力桿碎裂過程的影響

利用ABAQUS／Explicit有限元程序對具有周期性初始幾何缺陷的一維圓桿拉伸碎裂過程進行數值模擬，預設正弦分布的缺陷的波長（即缺陷間距）l＝5mm（在L＝100mm的桿上相當于有L／l＝20個周期）、幅值m＝0.005mm（m／r＝0.01，相當于1%的初始擾動）的初始缺陷。

計算表明，具有初始缺陷的韌性金屬桿在不同應變率下表現出不同的變形和斷裂特性，圖2給出了具有周期性初始幾何缺陷的一維圓桿在3種不同的恒定拉伸速度下的碎裂情況。恒定拉伸速度v0＝800m／s時（初始應變率8×103s－1），細長桿的所有初始缺陷均發展成頸縮，其中的一部分頸縮最終斷裂，碎片尺寸通常為1個或2個被拉長了的頸縮間距。并且初始缺陷會在一定程度上抑制細長桿其他位置頸縮的生成（碎片中所含明顯頸縮區域均為初始缺陷位置）。恒定拉伸速度v0＝2km／s（初始應變率2×104s－1）時，細長桿的初始缺陷均發展成頸縮并最終全部斷裂，細長桿斷裂位置完全由初始缺陷控制，碎片尺寸恰好為1個被拉長了的頸縮間距。恒定拉伸速度v0＝8km／s（初始應變率8×104s－1）時，不僅細長桿的初始缺陷均發展成頸縮并最終全部斷裂，桿的其他位置也有若干頸縮生成，并部分發生斷裂，碎片尺寸小于或等于1個被拉長了的頸縮間距。

圖2 不同恒定拉伸速度下一維應力桿碎裂后的形態Fig.2 Fragmentized 1Dstress bars with initial defects under different pulling velocities

從斷裂時間來看，與不施加初始缺陷的細長桿相比，具有周期性初始缺陷的桿在較低的同等拉伸速度下斷（碎）裂現象一般都提前發生，如圖3（a）所示。其原因在于：在拉伸過程中，人為施加的初始缺陷位置的橫截面積偏小而誘發應力集中，造成桿提前進入非均勻塑性變形階段（頸縮），使得細長桿提前斷（碎）裂。然而隨著應變率的提高，如當初始應變率達到8×104s－1時，由于桿的拉伸速度很快，初始缺陷對引發頸縮和斷裂來說不起主導作用，細長桿其他位置同樣也能發展出頸縮以及斷裂。此時具有初始缺陷的細長桿斷（碎）裂時間和無初始缺陷的細長桿基本一致，如圖3（b）所示。陳磊等［11］曾采用數值模擬方法分析了無氧銅圓環的爆炸膨脹碎裂過程，得到的圓環試件碎裂發生的臨界初始膨脹速度（150m／s）高于實驗結果（110m／s），差異可能來自真實試件中的加工缺陷。

圖3 有無初始缺陷的一維應力桿的平均應力歷史曲線Fig.3 Average stress histories of thin bars in states of 1Dstress

圖4 不同應變率下一維應力桿碎片數Fig.4 Fragment numbers of thin bars in states of 1Dstress at different strain rates

可見，周期性初始缺陷對細長桿在高應變率拉伸碎裂過程的影響表現出明顯的應變率依賴性。為了研究周期性初始缺陷在一個更廣泛的應變率范圍內對細長桿碎裂過程的影響，分別進行了初始應變率為5×103～1.5×105s－1的數值計算（在發生碎裂時刻，由于桿已被拉長，對應的實際應變率為4.1×103～6.6×104s－1）。圖4給出了不同應變率下周期性初始缺陷對細長桿碎裂后碎片個數N的影響，橫坐標為斷裂時刻實際應變率（除特別注明外，下文各圖中的應變率均采用斷裂時刻實際應變率）。可以看出，初始缺陷將應變率大致分為3個區域：

（2）在中間應變率區域（斷裂時刻實際應變率104≤≤3×104s－1），初始缺陷完全控制了細長桿碎裂過程產生的碎片個數，在此區域，細長桿碎片個數等于初始缺陷個數，與應變率無關。我們稱在這個應變率范圍，材料的碎裂過程為缺陷控制碎裂（defect controlled fragmentation）；

2.2 不同波長的周期性缺陷對一維應力桿碎裂過程的影響

圖5 具有不同間距的缺陷的一維應力桿碎片個數與應變率的關系Fig.5 Fragment number of thin bars in states of 1Dstress with different cycles vs.strain rate

在周期性缺陷結構下，缺陷間距由正弦波波長l決定。為了探討周期性初始缺陷的波長對細長桿碎裂過程的影響，選取初始缺陷幅值相同（m／r＝1%的初始擾動）而波長不同（分別為10、20、30個周期；l＝10，5，3.33mm）的3種模型進行數值計算。計算結果如圖5所示，可以看出，不同波長的周期性初始缺陷對一維應力桿碎裂過程均表現出相似的作用，均存在一個由初始缺陷完全控制碎片個數，即發生缺陷控制碎裂的應變率區域（窗口），寬度近似為半個數量級（實際應變率相差約3倍）。隨著初始缺陷個數的增多（等間距缺陷間距變小），初始缺陷完全控制一維應力桿碎裂的應變率區域整體往高應變率方向平移。

圖6給出了不同波長下的初始缺陷對細長桿平均應力歷史的影響。在初始應變率為2×104s－1時（對應實際應變率約1.5×104s－1），20周期和30周期初始缺陷的細長桿較無初始缺陷的細長桿碎裂時間明顯提前，而10周期初始缺陷的細長桿和無初始缺陷的細長桿碎裂時間相近。造成此現象的主要原因是2×104s－1的應變率恰巧落于20周期和30周期初始缺陷的“缺陷控制碎裂”窗口的應變率范圍以內，而大于10周期初始缺陷的“缺陷控制碎裂”窗口的應變率（從圖5可以看出）。從圖3的結果可以知道，如果施加應變率落在初始缺陷不起主導作用的區域時，初始缺陷對細長桿的碎裂發生的時間的影響效果很有限。

圖6 具有不同缺陷間距缺陷的一維應力桿應力歷史Fig.6 Histories of the average stress in thin bars in states of 1Dstress with different defect spacings

圖7 具有不同缺陷間距缺陷的一維應力桿表觀斷裂應變和應變率的關系Fig.7 Strain of thin bars in states of 1Dstress with different cycles vs.strain rate

細長桿中存在初始幾何缺陷的位置由于應力集中使得頸縮優先在此形成并發展，從而細長桿整體經歷的均勻變形階段提早結束，最終圓桿的表觀斷裂應變變小。如圖7所示，所有缺陷間距的周期性初始缺陷細長桿的表觀斷裂應變均比無缺陷的小，但隨著應變率的持續提高，周期性初始缺陷對細長桿的表觀斷裂應變的影響逐漸減小，最終與無初始缺陷的細長桿表觀斷裂應變一致。并且初始幾何缺陷間距越小，細長桿表觀斷裂應變趨同所需的應變率越高。

2.3 不同幅值的周期性缺陷對一維應力桿碎裂過程的影響

固定缺陷個數為20個，分別對初始缺陷幅值為0.002 5、0.005、0.02mm（m／r ＝ 0.5%，1%，4%的初始擾動）的3種模型進行數值計算。計算結果如圖8所示，在發生“缺陷控制碎裂”時，碎片個數均為21。但隨著初始擾動的加大，“缺陷控制碎裂”窗口的應變率區域也相應變寬，這表明缺陷的影響程度越來越大。

圖8 具有不同幅值缺陷的一維應力桿碎片個數和應變率的關系Fig.8 Fragment number of thin bars in states of 1Dstress with different disturbance vs.strain rate

圖9給出了不同幅值下的初始缺陷對細長桿的平均應力歷史的影響。初始擾動越大，桿引發頸縮并快速發展導致斷裂的時間越早，最終斷（碎）裂時間越提前。

圖10給出了不同幅值下的初始缺陷對細長桿表觀斷裂應變的影響。可以看出，在模擬的應變率范圍內，具有較大初始擾動的細長桿的表觀斷裂應變始終比具有較小的初始擾動的細長桿表觀斷裂應變小，并沒有表現出類似于研究不同波長的初始缺陷時出現的趨同現象。

圖9 具有不同幅值缺陷的一維桿平均應力歷史曲線Fig.9 Histories of the average stress in thin bars in states of 1Dstress with different disturbance

圖10 具有不同幅值缺陷的一維桿表觀斷裂應變和應變率的關系Fig.10 Strain of thin bars in states of 1Dstress with different disturbance vs.strain rate

2.4 復合缺陷對一維應力桿碎裂過程的影響

上述研究是對簡單的、單周期等幅值幾何缺陷進行的。事實上，材料的初始缺陷未必是一個簡單的等幅值分布，現簡單討論具有2種不同幅值的復合缺陷對細長桿碎裂過程的影響。初始缺陷仍然是等間距分布（20周期），但是幅值不一致，間隔地分別賦予不同幅值的初始擾動（m／r分別為0.5%和1%），如圖11所示。

圖12給出了具有圖11所示的復合初始缺陷的細長桿產生碎片的個數隨施加應變率的變化曲線。與圖4所示的單個幅值的正弦初始缺陷相比，復合初始缺陷并不單純地將應變率分成“低應變率區域”、“缺陷控制碎裂窗口”和“高應變率區域”等3個區域。在原有的缺陷控制碎裂窗口的應變率區域出現了一個躍階，將原有的缺陷完全控制窗口一分為二。在窗口的前部分區域，幅值較大的初始缺陷（1%的初始擾動）起主導作用，而后部分區域為兩者（1%的初始缺陷和0.5%初始缺陷）共同控制區域。

圖11 復合缺陷的一維應力桿的剖面圖Fig.11 Cross section of thin bars in states of 1Dstress with combined defects

圖12 具有復合缺陷的一維桿碎片個數與應變率的關系Fig.12 Fragment number of thin bars in states of 1Dstress with the combined defects vs.strain rate

3 結 論

（1）具有周期性初始缺陷的細長桿與無初始缺陷的細長桿相比，在同等拉伸速度下斷（碎）裂現象一般提前發生。缺陷對碎裂過程產生的碎片個數和尺寸有明顯影響。在一定應變率窗口內，周期性初始缺陷完全控制了細長桿的碎裂過程和碎片個數，此時稱材料發生“缺陷控制碎裂”。

（2）隨著初始缺陷的個數增多（缺陷間距減小），發生“缺陷控制碎裂”的應變率窗口整體往高應變率方向移動，表觀斷裂應變趨同所需要的應變率幅值也相應提高。隨著初始擾動的增加（缺陷增大），“缺陷控制碎裂”窗口的應變率范圍加寬，細長桿斷（碎）裂時間提前，碎裂時刻桿的表觀應變也變小。

（3）如果存在2類大小不同的初始缺陷，則隨著應變率的提高，高幅值缺陷首先起作用，低幅值缺陷在更高的應變率下才發揮作用。在極高的應變率下，材料的初始缺陷的影響都被削弱。可以預計，更復雜的空間分布缺陷將打亂“缺陷控制碎裂”的窗口，導致碎片個數與施加應變率之間呈單調增加的關系。

在涉及強動載荷作用的實際工程中，有時會主動在結構元件中引入規則缺陷，造成結構的特定破碎模式。本文中辨識“缺陷控制碎裂”現象以及發生這種現象的應變率窗口，對工程設計有指導作用。

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