梯度變化對密度梯度蜂窩材料力學性能的影響＊

吳鶴翔，劉 穎

（北京交通大學土木建筑工程學院力學系，北京 100044）

隨著蜂窩材料在防護結構中的應用，一些關鍵性的問題的解決，如沖擊初始應力峰值的抑制和沖擊應力強化的控制等，對蜂窩材料的性能設計提出了進一步的要求。沖擊過程中材料內的應力分布和能量吸收過程的控制成為蜂窩材料性能設計的關鍵問題之一。

蜂窩材料的動力學性能與其相對密度密切相關，對于質量一定的蜂窩材料，改變密度在空間的排布為實現材料的動力學響應控制提供了可能。如何根據使用要求來設計密度的空間分布成為梯度蜂窩材料設計中的一個關鍵問題［1－2］。劉穎和張新春等［3－6］基于功能梯度的概念，建立了密度梯度蜂窩材料模型，通過改變單胞的幾何尺寸來控制材料的密度梯度排布；在此基礎上，基于一維應力波理論，建立了一定密度梯度下，梯度排布與沖擊速度之間的關系。但是，對于質量一定的蜂窩材料，在相同密度排布的基礎上，密度梯度的大小對材料動力學響應的影響并未深入討論，而這對于材料密度梯度的優化設計是十分重要的。

本文中，通過改變密度梯度的大小，討論密度梯度的變化對材料能量吸收特性的影響，以期進一步完善蜂窩材料的密度梯度設計理論。

1 計算模型

密度梯度圓環蜂窩材料的計算模型如圖1所示。試件由4層具有不同壁厚但是相同外徑的圓環組成，每層包括5排相同的圓環。通過改變不同層圓環的壁厚可控制蜂窩材料的密度梯度。計算模型的層數和每層中圓環的數量、圓環的半徑和厚度均可根據實際工程中的需要設計。

基于圖1所示的計算模型，采用顯式動力學有限元軟件LS－DYNA［7］對面內沖擊動力學響應特性進行研究。如圖1所示，蜂窩試件置于底端固定剛性板上，試件兩側自由。頂端剛性板以某一初始速度沿y方向運動。為保證試件處于平面應變狀態，在計算過程中，約束所有節點沿z方向的位移。通過收斂性分析，每個圓環選用32個shell 163單元（4節點四邊形殼單元）進行離散，沿殼厚度方向取5個積分點以保證計算精度。在壓縮過程中，所有可能接觸的表面均定義為自由接觸表面。剛性板與蜂窩試件的外表面光滑接觸無摩擦。圓環的基體材料為鋁，采用理想彈塑性模型。主要材料參數為：密度ρs＝2.7g／m3，楊氏模量Es＝69GPa，泊松比μ＝0.3，屈服強度σys＝76MPa。試件的尺寸為L1×L2＝2n1R×2n2R，其中R 為圓環的外半徑，n1和n2分別表示沿x和y方向圓環的數量。為了消除尺寸效應［8］，取n1＝10，n2＝20，R＝5mm。此時，蜂窩材料的相對密度為

圖1 密度梯度圓環蜂窩材料計算模型示意圖Fig.1 Calculating model of the density graded circular honeycomb

式中：ρ＊表示蜂窩材料的密度，N 為圓環總數，hi為第i個圓環的壁厚。

基于2種梯度排布方式（其他梯度排布方式的影響參考文獻［5］），即從沖擊端到固定端各層圓環相對密度遞增排布以及各層圓環相對密度遞減排布，討論3種梯度大小的密度梯度蜂窩材料（記為GⅠ、GⅡ和GⅢ，材料相對密度保持不變）的面內沖擊性能。1～4層圓環對應的壁厚分別為：GⅠ：0.39、0.46、0.54、0.61mm；GⅡ：0.31、0.44、0.56、0.69mm；GⅢ：0.24、0.41、0.59、0.76mm。另外，為了進行參考，文中還同時給出了具有相同相對密度的均勻圓環蜂窩材料（記為G0）的響應特性（此時圓環壁厚均為0.5mm）。

2 計算結果和分析

2.1 均勻圓環蜂窩材料的響應特性

如圖1所示，當所有圓環的壁厚相同時，即為均勻圓環蜂窩材料。圖2給出了不同沖擊速度下均勻圓環蜂窩材料的平臺應力值。這里，平臺應力

式中：εcr是與準靜態塑性坍塌應力σcr對應的應變值，εD為致密化應變。

基于一維沖擊波理論，P.J.Tan等［9－10］和S.R.Reid等［11］建立了均勻多孔材料平臺應力與沖擊速度之間的關系，即

式中：v為沖擊端剛性板的沖擊速度。這里將此公式推廣到圓環蜂窩材料。參考文獻［12］，致密化應變εD和σcr分別為

式中：h為圓環壁厚。將方程（4）～（5）代入方程（3）中，不同沖擊速度下，均勻圓環蜂窩材料的平臺應力

根據方程（6），不同沖擊速度下均勻圓環蜂窩材料平臺應力的理論值如圖2中實線所示。比較計算結果和理論結果可以發現，二者吻合較好。

2.2 密度梯度圓環蜂窩材料的動力學響應

文獻［3－6］中已經對不同梯度排布下蜂窩材料的動力響應進行了討論，由于篇幅限制，圖3僅給出不同沖擊速度下，從沖擊端到固定端密度遞增情況下試件沖擊端的名義應力應變關系曲線和從沖擊端到固定端密度遞減情況下試件固定端的名義應力應變關系曲線。這里名義應力定義為剛性板反力與試件初始橫截面面積（L2×1mm）之比，名義應變定義為試件的壓縮量與其初始長度L1之比。

圖2 不同沖擊速度條件下均勻圓環蜂窩材料的平臺應力值Fig.2 Plateau stresses with respect to the impact velocity at the impact end for the uniform circular honeycombs

如圖3所示，在低速沖擊下，與均勻圓環蜂窩材料相同，沖擊端應力隨壓縮量的增加逐漸增加。但是在高速沖擊下，蜂窩材料表現出從沖擊端到固定端逐層壓潰的變形模式。由于質量分布在空間呈梯度變化，雖然總的相對密度相同，密度梯度圓環蜂窩材料的動力響應表現出分段平臺特性。高密度層對應著較高的應力平臺。隨著沖擊速度和密度梯度的增加，分段特性更加明顯。分段應力平臺的相對長度近似等于

式中：Li為密度梯度圓環蜂窩材料中第i層的厚度。如圖3所示，高速沖擊下，密度梯度遞減的蜂窩材料輸出端的應力水平低于均勻排布結構，且密度梯度越大，應力值越低，這體現了通過密度梯度的設計，蜂窩材料能有效地控制傳入被保護結構內的應力水平。

圖3 密度梯度圓環蜂窩材料沖擊端和輸出端的動力學響應Fig.3 Dynamic properties of DGCH at the impact and distal ends

圖4 高速沖擊條件下密度梯度圓環蜂窩材料的平臺應力值Fig.4Step plateau stresses of DGCH under high impact velocity

圖4給出了高速（v＝120m／s）沖擊下，不同密度梯度蜂窩材料的平臺應力值。其中，橫坐標1對應著相對密度最小層的平臺值（平臺應力值最低），而4對應著相對密度最大層的平臺值（平臺應力值最高）。同時，基于方程（6），圖4中還給出了梯度蜂窩材料不同密度層的理論平臺應力值（對于每層而言密度是均勻的）。對比計算和理論結果可以看出，雖然方程（6）給出的平臺應力值稍高于數值模擬結果（小于10%），但是可以近似預測梯度蜂窩材料各層的平臺應力值。

2.3 密度梯度圓環蜂窩材料的能量吸收特性

圖5為不同密度梯度的蜂窩材料及具有相同相對密度的均勻蜂窩材料單位質量吸收的能量，即

圖5 不同沖擊速度下密度梯度圓環蜂窩材料吸收的能量Fig.5 Energy absorption of DGCH under different impact velocities

對于密度梯度蜂窩材料，

如圖5所示，在低速沖擊下，在變形初期，梯度蜂窩材料的能量吸收率低于具有相同相對密度的均勻蜂窩材料，且密度梯度越大，能量吸收效率越低（見圖5（a））。但是隨著壓縮量的增加，梯度蜂窩材料的能量吸收率高于均勻蜂窩材料的能量吸收率。在高速沖擊下，對于相對密度從沖擊端到固定端遞增的情況，材料的能量吸收效率低于具有相同相對密度的均勻蜂窩材料，且梯度越大，效率越低。如圖5（b），在ε＝0.7時，試件GⅢ相對于均勻材料單位質量能量吸收效率低20%（ΔW ＝（WG0－WGⅢ）／WG0）。但是，對于相對密度從沖擊端到固定端遞減的情況，梯度蜂窩材料表現出更高的能量吸收效率，且密度梯度越大，單位質量材料吸收的能量越多。如圖5（b）所示，在ε＝0.7時，試件GⅢ比均勻蜂窩材料單位質量能量吸收效率高10%。另外從圖中可以看出，不同密度梯度蜂窩材料在致密化應變時吸收的能量相同。

3 結 論

基于二維密度梯度圓環蜂窩材料，討論了相對密度一定的情況下，密度梯度大小對蜂窩材料動力學響應特性的影響。計算結果表明，對于從沖擊端到固定端密度遞減的蜂窩材料，密度梯度增加將降低輸出端的應力水平。低速沖擊條件下，梯度系數越大，材料單位質量能量吸收效率越低；但是在高速沖擊下，在致密化以前，梯度系數越大，材料單位質量能量吸收率越高。該結論對于進一步確定密度梯度對材料動力學響應的影響具有積極意義。

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