關于Van Der Corput不等式推廣的進一步改進

何 燈,吳善和

(1.福建港頭中學,福建 福清 350317;2.龍巖學院教學與計算機科學學院,福建 龍巖 364012)

0 引言

著名的Van Der Corput不等式由Van Der Corput J G[1]于1936年所建立.近幾年,眾多學者對該不等式進行了研究,總結所使用方法,大致有兩種.傳統方法,利用加權算術幾何平均不等式將Van Der Corput不等式較小端放大,再對所獲得的不等式的上界進行估計,從而建立強弱不同的不等式[2-8].特別地,文獻[9]利用此法建立了Van Der Corput不等式的單參數推廣,文獻[10][11]則將文獻[9]的結論做了改進.更多關于該不等式的參數推廣,還可參閱文獻[10-13].有別于傳統的方法,文獻[14]中張小明及合作者利用所建立的最值單調定理[15]給出了Van Der Corput不等式的一個形式簡潔且較強的加強式,文獻[16]同樣利用最值單調定理將文獻[9]的結論做了改進.借助于maple數學軟件,采用傳統的方法,本文建立Van Der Corput不等式單參數推廣的更進一步的改進,所得結論優于現有的相關結論.

1 預備知識

Van Der Corput不等式:(n+1)an收斂,則

其中γ=0.57721566…為歐拉常數,系數e1+γ為最佳.

設 α∈(-1,+∞),記

文獻[9]建立Van Der Corput不等式的單參數推廣

文獻[10][11]建立式(2)的改進

注 根據文獻[10][11]的證明過程,該文獻僅證明當α∈[0,+∞),式(3)成立.事實上,當α=-1/2,n=4時

故當 α∈(-1,0)時,式(3)不恒成立. 注意到 r*(α)=r(α)+ln(1+α),當 α∈[1/10,+∞)時,求導易證故式(3)普遍弱于式(2).

文獻[16]利用最值單調定理將式(2)改進為

2 引理及證明

引理1[17]若x>0,則(1+1x)x

引理2 若x∈(0,1),則ln(1-x)≤-x.

求導易證,證略.

引理3[9]設α∈(-1,+∞),則

P1(α)在(1,2)上單調遞減,P2(α)在(1,2)上單調遞增.求導可證,證略.

引理5[18,19]如果多項式F(x)的判別式序列的符號修訂表的變號數是ν,那么F(x)的互異共軛虛根對的數目就是ν,而且,如果該符號修訂表中非零元的個數是η,那么F(x)的互異實根的數目是η-2ν.

引理6 P3(α)=109a6+1262a5+4747a4+6064a3-3946a2-15576a-9688在α∈(-1,∞)上存在唯一實根α*=1.3614….

證明 由文獻[19]中給出的DISCR程序,可求P3(α)的判別式序列的符號表和符號修訂表均為[1,1,1,-1,-1,-1],其變號數為1,據引理5得P3(α)有1對互異的虛根,有4個互異實根.借助于maple數學軟件可求這四個實根為-5.7860…,-1.5980…,-1.3580…,1.3614…,顯然前三個實根并未落在區間(-1,+∞)上,從而P3(α)在(-1,+∞)上存在唯一實根α*=1.3614….

特別地,當α∈(-1,α*),P3(α)符號必恒定,又P3(0)=-9688<0,則α∈(-1,α*),P3(α)<0. 同理當 α∈(α*,+∞),P3(α)符號恒定,又 P3(1)=115200>0,則當 α∈(α*,+∞),P3(α)>0.

3 主要結論及其證明

定理 設 α∈(-1,+∞),an≥0(n∈N),若收斂,則有

證明 只需證Bn由引理1

則只需證

或

由引理2有

則只需證明

(I)當n=1,由引理3有

則

其中借助于maple數學軟件可計算

其中P3(α)同于引理6.由引理6,當α∈(-1,α*),G1′(α)<0,G1(α)在α∈(-1,α*)上單調遞減.當α∈(α*,+∞),G1′(α)>0,G1(α)在α∈(α*,+∞)上單調遞增.則G1(α)≥G1(α*).

由引理4可得

綜上,當n=1時,式(6)成立.

(Ⅱ) 當n≥2時,式(6)等價于

G2(Sn(α))可看成是關于Sn(α)的一元二次函數,由引理3得

顯然G2(Sn(α))圖象是開口向下的拋物線的一部分.注意到該拋物線的對稱軸

2n22(n+α))則僅需證

記 T= γ(α)+ln(n+α),則只需證

借助maple數學軟件,式(7)等價于

其中

由引理3得

則只需證明

經整理,式(9)等價于

其中

下面就B1(n,α)分兩種情況討論:

①當B1(n,α)≤0時,由式(8),欲證式(10),只需證明

做代換n=x+2,α=y-1(x≥0,y>0),則

其中

顯然D(x,y)>0,式(10)成立.

②當B1(n,α)>0時,式(10)等價于

借助maple數學軟件,可求

其中

從而F′(t)>0,F(n)≥F(2).

由引理3

欲證F(2)>0,只需證明

上不等式顯然成立,式(11)成立.

綜上,式(10)成立,式(6)成立,定理得證.

4 強弱比較

且 α∈(-1,α*)時,H(1,α)<0,α∈(α*,+∞)時,H(1,α)>0.

當n≥2,注意到e-t<1-t+12t(2t>0),則

其中

綜上,式(5)僅在n=1,α∈(-1,α*)上弱于式(4),其他范圍較式(4)強,且形式簡潔優美.

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