多項式非負分拆算法的若干改進和補充

劉保乾

(西藏自治區組織編制信息管理中心,西藏 拉薩 850000)

0 引言

由文獻[1-7]知,不等式自動發現與判定程序agl2012,能夠通過輸入簡單且毫無聯系的數據材料,自動發現三角形幾何不等式、代數不等式、條件不等式(變元取值范圍受限制或者給定約束條件)、四邊形不等式等不等式類型,而且能夠實現對多項式進行非負分拆,進而得到半正定多項式的配平方和.本文通過引入文獻[8]中解線性方程組的算法和程序LPSOLVE,對agl2012程序的非負分拆模塊agl2012_lsos進行改進和補充,從而進一步完善了程序的功能,拓寬其應用范圍,同時將改進后的程序模塊升級為新版本,即agl2013_lsos.

1 多項式非負分拆的數據構造及程序

多項式非負分拆,或者配平方和的數據構造有兩方面的含義,其一是構造分拆項集合;其二是構造分拆表達式,不同的構造方案將決定分拆的成敗及分拆結果的形式.在基于文獻[8]程序LPSOLVE的情況下(而不是文獻[7]中的隨機數驗證程序),多項式非負分拆的主要算法便集中在數據的組織和構造上.下面介紹三種數據構造方案:

1.1 數據構造方案A

3元多項式f(x,y,z)的分拆項一般式可表示為g(x,y,z)(h(x,y,z))2的形式,文獻[7]中的注7稱h(x,y,z)為基本對稱項,為了敘述方便,這里稱h(x,y,z)為基本項,稱g(x,y,z)為附加項.由此可知分拆項是由基本項和附加項相乘得到的,基本項決定分拆項的基本形式和特征.顯然多項式f(x,y,z)和基本項h(x,y,z)以及附加項g(x,y,z)的次數應滿足等式

其中?f表示f的次數.式(1)是構造分拆項的基本關系式.對分拆項取和即可得到分拆表達式.

為了省去大量的敘述,這里通過對程序作注釋的辦法來說明數據構造方案A.構造3元4次分拆項集的主要程序段如下:

temp:=lbxcun(zzz(0),cf(d1c(qd,sx),4));

temp:=temp union lbxcun(zzz(2),cf(d1c(qd,sx),2));

temp:=temp union lbxcun(zzz(0),cf(d2c(qd,sx),2));

temp:=temp union zzz(4);

temp:=bc3g(temp);

temp:=glcs(temp);

在上述程序段中,cf(d1c(qd,sx),4)表示一個基本項,其中d1c(qd,sx)表示一個系數在[qd,sx]內取值的一次式,cf(f,n)表示對f進行n次方,故cf(d1c(qd,sx),4)的次數是4,zzz(0)表示一個次數是0的附加項,lbxcun是數據運算命令,表示兩個集合中的元素依次相乘,這樣表達式lbxcun(zzz(0),cf(d1c(qd,sx),4))的運算結果是一個4次分拆項.

類似,表達式lbxcun(zzz(0),cf(d2c(qd,sx),2))也表示一個4次分拆項,只不過此時基本項是一個二次式的平方而已,注意d2c(qd,sx)得到的是一個系數在[qd,sx]內取值的二次式.

bc3g的含義是"變成3個",即根據對稱性,由一個分拆項p(x,y,z),得到另外兩項p(y,z,x)和p(z,x,y).

glcs的作用是過濾掉分拆項前面的常數.

語句temp:=factor(temp)的作用是過濾掉集合中等價的重復項.

例1 試寫出系數在[-1,1]內取值的3元3次分拆項集合.

解 在Maple環境中,在讀入agl2013_lsos程序的情況下,鍵入命令zgc3(-1,1),立即輸出由40個分拆項構成的集合:

{y(x+y-z)2,z3,y(y-z)2,y(z+x)2,y(y+x)2,…,x(x-z)2,xz2}.

1.2 數據構造方案B

在數據構造方案A中,如果將語句cf(d1c(qd,sx),4)改為

則可得到數據構造方案B,具體含義是(這里取t=3):

a.展開(x+y+z)3,并將展開式中的各單項式前的系數變為1,并置入一個集合,得

b.對W集中的元素作給定的運算S(這里取S為W中元素兩兩取差),并平方得

c.改變(2)式中的t值,并重復a-c過程,從而得到集合Jt(t=1,2,3,4,…).

d.取不同的t值,并將得到的Jt進行相乘(目的是為了得到交叉項),再將相乘結果相并,得到分拆項總集合.

根據分拆需要,還可將運算S取為其他特定的運算,從而得到更龐大的分拆項集合.

注1 在數據構造方案B中,得到的分拆項總集合中各元素的次數是不相等的.

1.3 數據構造方案C

在方案C中,n次分拆項集W可由兩部分構造:一是由分拆項通式

直接構造n次分拆項集D,在(3)式中u,v表示基本項hj(x,y,z)的系數取值范圍是[u,v];二是由諸次分拆項集D相乘構造分拆項集Q,Q的構成公式是

D和Q相并即得到n次分拆項集W.

方案C的優點是由公式(4)可以產生豐富的交叉項,且構造方案與系數范圍[u,v]有關,這使得數據覆蓋面大大拓廣了.

在agl2013_lsos程序中,主要的分拆項集構造命令有zgc,zll以及scd等,還有一些預先計算出來的分拆項庫(為了節約時間),幾乎每一個分拆操作都要涉及到這些構造命令.

2 agl2012_lsos程序改進的若干思路和途徑

除過上述數據構造方案外,agl2013_lsos的主要算法還體現在下面的思路和途徑中:

1.沒有零點(1,1,…,1)的多項式非負分拆.要實現沒有零點(1,1,…,1)的多項式非負分拆,只要保證分拆項集合中含有正的分拆項即可.其實,agl2012_lsos程序中的ak_3y系列命令已經能夠對沒有零點(1,1,…,1)的多項式進行非負分拆,其依據是文獻[7]中的算法lsos_zj和lsos_bd,但其分拆效率不高;而對對稱式和輪換對稱式,由于將分拆表達式設為

的形式,故由文獻[7]中的算法lsos_pf(相應命令是dca)不能分拆沒有零點(1,1,…,1)的多項式.其實,對對稱式和輪換對稱式,可將分拆表達式(5)改為一般式

這樣就可以分拆沒有零點(1,1,…,1)的多項式了,而且這樣做就完全兼容了文獻[7]中的算法lsos_pf.而對不對稱式,按文獻[7]中的算法lsos_dxs,把分拆項集中的每v個元素分成一組,但不再做多項式線性無關性檢驗,而直接調用文獻[8]中解線性方程組的程序LPSOLVE進行求解.為了能夠保證盡可能的有分拆解,v的值要取的足夠大,甚至可以用整個分拆項集建立分拆表達式,這樣做的好處是可靠,缺點是效率低下,且結果可能會很復雜.

2.為了提高分拆效率,減少無效分拆項,可用隨機數驗證程序對分拆項集進行過濾.過濾的依據是:如果e是多項式f的分拆項,則存在正數k使不等式f≥ke成立.

3.當分拆項集中的元素較多時,可采用如下算法:先取出分拆項集中兩個元素構成分拆表達式,如果拆不出,則再取出1個元素進行分拆,以后每次增加一個元素,直到拆出,或者將分拆項集中的元素全部用完為止.這是一個較為實用的分拆算法.

4.對一個分拆項集,可嘗試對變元作特定的代換,如作代換x→y+z,y→z+x,z→x+y等,從而得到新的分拆項集.將新的分拆項集與原來的分拆項集相并,這樣可以擴大分拆范圍.

5.文獻[8]中的LPSOLVE是一款方便實用的求方程組正解的程序,但是它還是受變量數目限制的.為了解決這個問題,一個可行的辦法就是對分拆項集進行分塊.不同于文獻[7]的分塊策略,本文采用按分拆項字符長度進行分塊,這不僅提高了分拆效率,而且還由于分拆項字符長度相同,分拆出的結果更簡潔工整.在分拆程序設計中,還可對諸分塊進行組合,從而得到更加豐富多彩的分拆結果.

6.另一個解決LPSOLVE受變量數目限制的辦法是對分拆項集進行隨機過濾,其算法是:先計算出分拆項集W的元素數目n,用n去除一個隨機數得到一個在[0,n-1]內取值的余數i,以i作為下標取出W中的一個元素W[i],這樣就過濾出了分拆項集W中的一個元素W[i].將這樣的過濾共進行n次,就得到W的一個隨機過濾集.由于每次過濾時得到的元素下標可能相同,這樣能夠保證隨機過濾集總是的W的真子集,從而達到簡體計算的目的.主要語句是:for i to gs do if gs>1 then temp:=`union`(temp,{ex[irem(rand(),gs-1)+1]})end if end do.

依據上述算法和思路,可以對agl2012_lsos程序進行一系列改進,從而得到若干agl2013_lsos新命令.限于篇幅,下面僅舉一例.

例2 設x,y,z≥0,t≤2證明不等式(以下用∑表示循環求和)

證明 用dca命令易得

根據這個分拆結構,用待定系數法易得恒等式

顯然當t<0時F(t)≥0成立.當0

3 尋求多項式的SOS表示

把實系數半正定齊次多項式表示為實系數齊次多項式的平方和,通常稱為SOS[9].通過兩種方式可以實現半正定多項式的SOS表示:一是直接構造多項式完全平方型分拆項集,以分拆項集中的元素構造分拆表達式,然后調用文獻[8]的LPSOLVE程序進行求解.這種情形比較簡單,這里不做詳細討論.二是構造SOS型分拆式,然后對分拆式待定求解.下面以3元多項式為例說明第二種方法.

一般情況下,3元多項式f的分拆項表達式可表示為:

的形式,其中(gc_ex(2,t,[x,y,z]))^2是基本項,gc_ex(1,degree(f)-2*t,[x,y,z])是附加項,gc_ex是表達式構造命令[7].由于基本項已經是一個完全平方因式,故要得到SOS表示,必須保證附加項gc_ex(1,degree(f)-2*t,[x,y,z])中各單項式的變元為偶次方,為此,要將gc_ex命令改進為zzr函數,即分拆項通式要寫為:

zzr((n-2*t)/2,i)*(gc_ex(2,t,[x,y,z]))^2

的形式,函數zzr的作用是產生一個不含變元奇次方項的附加式.為了直觀說明構造過程,先看一下zzr函數的運行效果:

命令zzr((6-2*1)/2,1)*(gc_ex(2,1,[x,y,z]))^2的執行效果是:

命令gc_ex(1,6-2*1,[x,y,z])*(gc_ex(2,1,[x,y,z]))^2的執行效果則是

可以看出,zzr函數已經達到了設計要求.限于篇幅,zzr函數的具體設計思路此略.

注2 為了拆出含有負系數的分拆項,可將zzr函數改進為zzr_c函數,zzr_c的功能是可在附加項中增加一些完全平方項,如鍵入zzr_c(1,1)命令可輸出:

在實際編程時可將zzr_c函數與過濾字符長度函數glcd結果起來,也可與隨機數函數rand結合起來,從而做到附加項中完全平方項的靈活選取.

SOS表示程序的設計關鍵是構造完全平方型分拆項集,下面以3元4次為例說明分拆項集的構造過程.有關程序模塊和主要語句如下:

a)bd1:=rgc2(qd,sx);

b)bd0:=lbxcun(bd1,bd1);

c)temp:={};

d)for k11 from qd to sx do…

e)for k16 from qd to sx do

f)temp:=temp union{(k11*x^2+k12*y^2+k13*z^2+k14*x*y+k15*x*z+k16*y*z)^2}od od od od od od;

g)temp:=temp union bd0;

h)temp:=temp union bd1 minus{0}.

語句a)是構造3元2次分拆項集,主要由集合{x2,y2,z2}和集合{(ix+jy+qz)2}相并而成;語句b)將兩個3元2次分拆項集中的元素相乘,其中lbxcun是數據構造命令;語句c)到f)產生由表達式(k11x2+k12y2+k13z2+k14xy+k15xz+k16yz)2決定的分拆項集;語句g)和h)將各次集合相并得到總集合temp.按照這個程序模塊的思想,可以構造更高次的分拆項集合.

很顯然,這里構造的分拆項集合中的元素次數是不相等的.為了用temp集合中的元素表示出多項式expr,需要運行如下程序模塊:

1.n:=degree(expr);

2.temp1:=0;

3.forifrom 1 to nops(temp) do

4.ifdegree(temp[i])<=degree(expr)then

5.temp1:=temp1+temp[i]*zzr((n-degree(temp[i]))/2,i) end ifod;

6.yan:=temp1;

7.ex-yan;

8.collect(%,[x1,x2,x3],distributed,factor);

9.{op(subs(x1=1,x2=1,x3=1,[op(%)]))};

10.ls:=solve(%);

11.iffactor(subs(ls,yan)-ex)=0 then

12.var:=indets(ls);

13.je:=lpsolve(ls,var);

14.ifje<>{}then dtm:=subs(je,yan);jg:=jg union {dtm} end if end if;

其中語句3-5根據分拆項集temp中元素的次數構造多項式expr的分拆表達式,如果分拆項temp[i]的次數大于多項式expr的次數,則為無效分拆項,此時temp[i]不參與構造,否則temp[i]將與zzr函數結合,產生形如(9)式的表達式,最終得到分拆表達式yan;語句6-12完成待定求解;語句13調用LPSOLVE解方程組,最后完成分拆.不同次的分拆項構成分拆項集合,這為分拆各種可能的復雜情形提供了便利.據此思路就可以得到相應的SOS表示命令.

例4(文獻[9])試將f=x4+2x2y2+x3z+z4表示為SOS.

解 鍵入命令bqrj4r(-1,1,f),很快輸出100多個結果,其中較簡潔的是

例5 設x,y,z∈R,證明不等式(http://www.aoshoo.com/bbs1/dispbbs.asp?boardid=48&id=23707&page=1&star=1)

證 不等式(10)是文獻[10]中的例4.文獻[10]兩次用ak_3y命令得到分拆結果,現用agl2013_lsos命令進行新證:鍵入realh(f,16)命令,直接輸出分拆結果

對稱多項式SOS表示的另一個算法是用dca命令,即用dca命令得到普通平方分拆,然后用實數反例庫lsos_3y_tfx_cs_r對分拆項中的附加項進行測試,如果附加項當變元為實數時非負,則對附加項進一步調用相關程序做SOS分拆,由于與原多項式相比已經降低了次數,故這種算法效率還是比較高的.具體例子此略.

4 銳角三角形不等式的分拆證明

設ΔABC三邊為a,b,c,構造銳角三角形不等式分拆項集,要注意其數據特征是

用此特征不論是構造分拆項集還是構造分拆表達式,均容易實現分拆,此不詳述.

例6 在銳角ΔABC中,證明不等式f=a3+b3-c3+ac2>0

證 鍵入命令bqrj3(-1,1,f),很快輸出一批分拆結果,現選出其中的一個:

5 智能模擬的2個案例

文獻[11]提出了智能模擬的概念.智能模擬就是盡可能多地把人的探索行為及推理過程用機器全部或部分代替,以提高效率,減少低級重復勞動,在一個較高的起點上使用數據和材料,發現研究線索和規律.下面以自動發現多項式不等式并配平方和為背景,設計2個智能模擬案例.

例7 試設計一個不等式發現器及處理程序,它能夠自動輸出3元4次多項式不等式,對輸出的不等式能夠配出平方和,并將不能配出的多項式置入一個集合.

解 通過以下3步可以完成題目所給的任務:1.發現器的設計.由gc_ex命令建立表達式然后取系數變化范圍為[-1,1]建立循環程序,對每一個具體的多項式,調用文獻[2]中的隨機數驗證程序進行非負性測試,從而得到一個自動發現器.

2.對發現結果進行處理.由于最初的發現結果往往比較粗糙,其中有不少是平凡的,這樣就需要設計若干個過濾器,以得到高品質的研究材料.另外,大量的發現結果中隱藏著一些特殊性質的多項式(如零點特性,差分代換特性等),對這類多項式也需要用過濾器進行挑選.對于多項式不等式,常見的過濾器有:

(1)完全平方過濾器.這類多項式顯然是沒有意義的,需要過濾掉.主要通過Maple的op命令和type命令實現.

(2)結果表達式字符長度過濾.在眾多的發現結果中,如何把最簡潔的結果挑選出來?此時就要用到此過濾器.主要實現命令是maple的length函數.

(3)過濾常數.自動發現結果中往往混有一些常數,此時需要過濾掉,主要用Maple的indets函數,語句是if indets(expr[i])<>{} then temp:=temp union{expr[i]}end if.

(4)過濾字母.簡單,略.

(5)過濾有零點(1,1,1)的多項式.此設計簡單,略.

(6)按對稱性進行過濾,用symmfunc命令實現.

(7)過濾只含有一個負系數項的多項式.

(8)過濾有特殊零點多項式,如x=y=kz時取值為零的半正定3元多項式.

(9)過濾等價式,此略.

(10)過濾二次函數.自動發現結果中,有些以某變元整理可得到一個二次函數,有時需要把這類多項式挑出來(如編寫競賽題目),此時就需要此過濾器.

(11)過濾系數全部為正的多項式.如果多項式系數全部是正數,則顯然是平凡的,此時就需要過濾掉,用has(-1,map(signum,[coeffs(expand(ex[i]))]))等命令即可實現.

(12)過濾差分代換不終止者.一些多項式用逐次差分代換[12]方法證明時不終止,這類多項式往往有比較特殊的性質.對變元較少的多項式,可用文獻[13]中的差分代換及公式設計過濾器.

(13)過濾Si類多項式[14].

(14)隨機過濾命令.以隨機方式減少分拆項集,以解決LPSOLVE程序對方程組變元個數的瓶頸,實現分拆結果的隨機輸出.在分拆高次多項式時,由于分拆集十分龐大,此時可采用隨機過濾命令疊套的方式進行過濾.

經過以上過濾器過濾后,就可實現自動發現結果的分類輸出.

3.配平方和.對自動發現的多項式,用本文中的配平方和命令逐個檢驗,能夠配出來的就直接顯示,不能夠配出的置入一個集合變量之中.對于不能配出的多項式有兩種情況:要么是由于程序功能局限不能配出,要么是多項式本身就不能表示為SOS.不論何種情況,都為進一步研究提出了努力方向.

例8 如果3元多項式f(x,y,z)取值為零的條件是x=y=z和x=uy=vz(u,v不全為1),或者這些條件式的輪換,則稱f(x,y,z)是3元擴展S類多項式;如果滿足u≠v≠1,則稱f(x,y,z)是3元非平凡擴展S類多項式.試尋找若干3元4次非平凡擴展S類多項式.

解 鍵入以下命令:

>d:=map(sgm,qxs({op(expand(sgm(x)^4))}));

>temp:=0;for i to nops(d) do temp:=temp+k||i*d[i]end do;

>solve(subs(x=1,y=1,z=1,temp),k5);

>dd:=subs(k5=-k1-k2-k3-k4,temp);

>ls:=solve(factor(subs(x=u*y,y=v*z,dd)),k4);

>bd:=subs(k4=ls,dd);

>jg:=subs(u=2,v=4,bd);#給u,v賦具體的值;

>jjg:=fxb(-100,100,jg);#fxb是agl2012程序的自動發現命令;

則程序運行2個多小時后輸出(如果取參數為200,則運行時間是53 742.189秒)

故不等式(12)成立,此不等式取等號的條件是

此條件可化為{x=3y,z=6y},{y=y=z}及其輪換,故f1是一個半正定擴展S類多項式.另外,由上述發現不等式(12)的命令序列可知,不等式(12)的另一個取等號條件是{x=2y,y=3z}.

在上述命令中,不斷改變u,v的值,可找到其他的擴展S類多項式,如

就是一個半正定擴展S類多項式.

6 自助命令

接觸過agl2012或者agl2012_lsos程序的用戶可能會有一個很深的印象:就是程序有太多的命令.為什么會出現這種情況?主要原因是:我們的程序是一個驗證程序,只能通過一些特殊情形來對付一般,這樣每一個具體的命令就只能解決某種特定范圍內的問題,對另一些問題可能就無解.為了解決這個問題,可以設計若干自助命令,同時給出自助命令具有的一般性規則或使用方法即可,這樣就可以根據具體的問題設定解決的條件和范圍.下面介紹一組自助命令,這些自助命令的使用格式是:命令保留字(分拆項集,欲分拆多項式).

例9 (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=52&t=516785&p=2910105#p2910105)證明不等式.

解 由于f是4次式,故可采用諸次分拆項集相乘的辦法構造數據:

>dat2:=ezgc2(-2,2);#構造2次分拆項,系數范圍取為[-2,2]#

>dat4:=ezgc4(-1,1);#構造4次分拆項,系數范圍取為[-1,1]#

>qd:=lbxcun(dat2,dat2);#2次分拆項集中元素自乘,以產生與f對應的4次數據#

>jg4:=qd union dat4;#兩個4次分拆項集相并#

>lpsolve_e(jg4,f);#調用自助命令求解#

則很快輸出分拆結果f=4x(2x-1)2+(x2-1+x)2+4x2(2x-1)2.

自助命令的好處是明顯的:當我們得不到解時,可以對設定的數據范圍進行調整,直到解決問題為止(如上述數據準備過程中完全可以考慮ezgc1(-2,2)和ezgc3(-2,2)相乘產生的4次分拆項集),這種對用戶開放的使用形式,無疑可以彌補程序算法的不足或缺陷.

在agl2013_lsos程序中,自助命令還有elpsolve,lp_c等,這里不再舉例了.

7 結語和問題

本文對agl2012_lsos程序模塊進行了若干改進,擴大了程序的功能和應用范圍.尤其是引入了文獻[8]中的解線性方程組命令LPSOLVE,使程序運行效率大大提高.反觀文獻[7]、文獻[8]和本文,我們有如下體會和認識:

1.由文獻[7]知,隨機數驗證程序是多項式非負分拆的一個支撐;由文獻[8]及本文知,解線性方程組的高效算法LPSOLVE是另一個支撐.事實上,本文新增的許多命令調用了LPSOLVE程序.文獻[15]中的例11表明,得到一個多項式的平方和表達式是容易的,但要得到它的一個具體分拆解卻有一定困難,原因就是因為當時沒有象LPSOLVE那樣的解線性方程組的算法和程序,也沒有隨機數驗證算法和程序.

2.LPSOLVE程序得到的是系數全部為正數的分拆式,而用隨機數驗證程序可以得到含有負系數項的非負分拆式.對于高次的對稱式或輪換對稱式,可先用dca等命令降次,然后再調用本文的有關分拆命令,這樣做可以提高分拆效率.有些問題用隨機數驗

而用本文中與LPSOLVE有關的命令卻未能夠做出.所以說LPSOLVE算法和隨機數驗證算法的結合和互補是很有必要的.

3.筆者在測試過程中發現一些情況下LPSOLVE會出現死循環不出結果,建議在LPSOLVE中設置時間開關,這樣可以保證在批量驗證中保持自動性和連續性.

4.由網站http://www.aoshoo.com/bbs1/index.asp?boardid=48上的系列貼可以看出,不等式自動發現與判定程序agl2012發現的各次多項式不等式,不論對完善本文中的算法還是對完善LPSOLVE程序均起到了有益的促進作用.

5.本文例8提出的擴展S類多項式,可以看作是S類多項式的推廣,是一個十分重要的多項式類型,它和Si類多項式一樣,都有特殊的零點.由于半正定非平凡擴展S類多項式的分布似乎更加稀少,這使人們對它的性質了解更少,尤其是3元以上的非平凡擴展S類多項式目前還未找到實例.希望有更多的人關注擴展S類多項式尤其是4元以上的擴展S類多項式的研究.

最后提1個待解決的問題:如何對涉及兩組變元的多項式進行平方和分解?這對解決涉及兩個三角形不等式的一類問題是很有意義的.

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