基于最小條件的平面擬合高精算法及編程

林 翔,江速勇,陳柏良,陳玉霞

(福建商業(yè)高等專(zhuān)科學(xué)校,福建 福州 350012)

1 基準(zhǔn)平面

目前在幾何量精密檢測(cè)領(lǐng)域中,高精三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x得到廣泛的應(yīng)用,如對(duì)圓度、平面度、直線(xiàn)度等各種形位誤差的檢測(cè).在三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x的支持下,不少種類(lèi)的測(cè)量與誤差評(píng)定技術(shù)水平,已經(jīng)達(dá)到三維空間的高精度計(jì)算,只有少數(shù)如圓度誤差評(píng)定的研究,一直停留在二維平面程度,只能處理二維坐標(biāo)測(cè)量數(shù)據(jù),與三坐標(biāo)測(cè)量的實(shí)際脫節(jié),不能真正滿(mǎn)足實(shí)際工程中誤差評(píng)定的需要,因此有必要對(duì)三維空間圓度測(cè)量數(shù)據(jù)的誤差評(píng)定作深入的實(shí)質(zhì)性研究.

三維空間圓度誤差評(píng)定可以分為基準(zhǔn)平面擬合與平面圓度計(jì)算兩大環(huán)節(jié),基準(zhǔn)平面的擬合的精度,直接影響圓度評(píng)定結(jié)果的精度.國(guó)標(biāo)《GB/T1182-2004》[1]規(guī)定,只有在以"最小區(qū)域法"求取平面度誤差過(guò)程獲得的擬合平面,才符合"最小條件"原則.

平面度屬形狀誤差范疇,按國(guó)標(biāo)[1]《GB/T 1182-2004》的表述,它是指被測(cè)物體表面相對(duì)于理想平面的變動(dòng)量,此理想平面即所求的擬合基準(zhǔn)平面.僅就平面度而言,通過(guò)"最小二乘法"求得的平面即可作為基準(zhǔn),以此基準(zhǔn)即可計(jì)算出平面度誤差,但它不符合"最小條件".

圍繞這一判定準(zhǔn)則,許多專(zhuān)家提出了不同算法,諸如"最小包容區(qū)域法"[3]、"有序判別法"[4]、"生物遺傳算法"[5]等等,這些算法各有特色,也收到不錯(cuò)的計(jì)算結(jié)果,但由于這些近似算法的先天不足,雖能計(jì)算精度終歸偏低.分析評(píng)定準(zhǔn)則,其要點(diǎn)是求取兩個(gè)平行的平面,把被測(cè)表面夾在其間,使兩平面之距達(dá)到最小,因此可以在"最小二乘

圖1 基準(zhǔn)平面與被測(cè)平面示意圖

2 平面擬合

設(shè)平面上測(cè)量點(diǎn)集P={pk(xk,yk,zk),(k=1~n)},按照上述的解題大方向,可以選用"最小二乘平面"法,求取初始的基準(zhǔn)擬合平面.設(shè)方程為π:ax+by+cz+d=0,如圖1,點(diǎn)集P對(duì)于平面π的平面度誤差值記若δ.此δ為統(tǒng)計(jì)意義下的平面度誤差值,是國(guó)標(biāo)《GB/T 1182-2004》[1]認(rèn)可的,在評(píng)定精度要求不高的情況下已具有實(shí)用意義,如汽車(chē)零部件的檢測(cè).要達(dá)到高精度評(píng)定,還需研發(fā)更高精的算法.

經(jīng)過(guò)對(duì)P與π之間距離最遠(yuǎn)點(diǎn)所表現(xiàn)出來(lái)的特性分析發(fā)現(xiàn),提高平面度誤差計(jì)算精度關(guān)鍵,是設(shè)法對(duì)π作細(xì)微轉(zhuǎn)動(dòng),即有意識(shí)地改變平面法矢T(a,b,c),就有可能降低δ值.方法如下:

由"最小二乘"法得到的初始擬合平面為π,點(diǎn)集P={Pk,(k=1~n)}中到π距離之最大者、最小者分別為Pi、Pj,距離分別為δi、δj;記Ai為Pi在π的投影點(diǎn),Aj為Pj的投影點(diǎn),δ=δi+δj,此即初始平面度誤差值.

再設(shè)ε是一個(gè)甚小值,沿AiPi方向距Ai點(diǎn)ε處取Ai'點(diǎn),沿AjPj方向距Aj點(diǎn)ε處取Aj'點(diǎn);記Q為Ai'Aj'中點(diǎn)(Q在π上),在π上再取一點(diǎn)Q',使Q'Q⊥Ai'Aj'.以Ai'、Aj'、Q'三點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)新的平面π',顯見(jiàn)π與π'之夾角很小,可將π'看作π繞Q'Q作細(xì)微轉(zhuǎn)動(dòng)而獲得;從方程來(lái)看,就是π的法矢T(a,b,c)發(fā)生細(xì)微改變.

以 Pi、Ai'、Pj、Aj'4點(diǎn)構(gòu)造平面 π1,再以π1對(duì)平面π垂直剖切,剖面如圖2所示,PiAi=δi,PiAi'=δi',易見(jiàn),在ΔPiAi'Ai中,PiAi'

δ能否降下來(lái),須通過(guò)點(diǎn)集P對(duì)新平面π'求平面度誤差值δ'與δ作比較并加以判斷:

1、如果降下來(lái)了,π'取代π,再重復(fù)上述操作對(duì)π作細(xì)微轉(zhuǎn)動(dòng);

2、如果沒(méi)有降,則將ε值減半,重新構(gòu)造π',計(jì)算δ'并與δ比較,觀其下降與否;

3、如果ε經(jīng)多次減半縮小成為非常小的值,轉(zhuǎn)動(dòng)后得到的π'再也不能令δ'下降,且δ'與δ之差極小,達(dá)到了計(jì)算精度要求,則停止計(jì)算,π即所求的符合"最小條件"的擬合平面.

圖2 Pi、Pj等各點(diǎn)與平面π、π'關(guān)系圖

3 算法收斂于"最小區(qū)域"

圖2中,P距π的兩個(gè)最遠(yuǎn)點(diǎn)為Pi、Pj,Pi在平面π的投影點(diǎn)為Ai,在平面π'的投影點(diǎn)為Ai',在△PiAiAi'中∠PiAi'Ai是鈍角,由于鈍角的任一鄰邊長(zhǎng)度必然小于對(duì)角邊,即PiAi'

δ'=δi'+δj'=PiAi'+PjAj'

算法設(shè)定的終止條件為:當(dāng)ε經(jīng)多次縮半而變得甚小,π即使進(jìn)行甚小的轉(zhuǎn)動(dòng),δ也不能下降,且δ與δ'之間相差達(dá)到計(jì)算精度要求,則停止計(jì)算.因?yàn)榇藭r(shí)δ已非常接近谷底,非常接近平面度誤差真值了,且符合國(guó)標(biāo)《BB/T 1182-2004》[1]中"最小區(qū)域法"平面度誤差的判定條件,所擬合的π即為符合"最小條件"的基準(zhǔn)平面.

4 算法的實(shí)現(xiàn)

以"最小二乘法"平面為初始基準(zhǔn)平面,既保證算法在收斂區(qū)間內(nèi)進(jìn)行,又有利于算法的快速收斂.

(1)"最小二乘法"求平面過(guò)程簡(jiǎn)述:

平面點(diǎn)集P={Pk,(k=1~n)},初始擬合平面π:ax+by+cz+d=0,為討論方便,令T(a,b,c)為單位矢量,則任一點(diǎn)Pk到π的距離為:

"最小二乘"擬合平面的目標(biāo)方程為:

要使 D 達(dá)到最小,只要令:?D/?a=0,?D/?b=0,?D/?c=0,?D/?d=0,及 a2+b2+c2=1即可;

聯(lián)解以上5等式,就能求得初始平面π的法矢T(a,b,c)和d各值,平面π的方程也就確定;求出δi、δj值,δ=δi+δj即為P在"最小二乘法"意義下的平面度誤差值.

(2)在初始擬合平面π的基礎(chǔ)上實(shí)施本算法:

由上已經(jīng)獲取Pi、Pj二點(diǎn),以及對(duì)應(yīng)的δi、δj二值,設(shè)Pi、Pj在平面π的的投影點(diǎn)分別為Ai、Aj;連線(xiàn)Ai、Pi及Aj、Pj,沿AiPi方向距Ai點(diǎn)ε處取點(diǎn)Ai',沿AjPj方向距Aj點(diǎn)ε處取點(diǎn)Aj';求出Ai'、Aj'的中點(diǎn)Q,在π上求得點(diǎn)Q',使直線(xiàn)Q'Q⊥Ai'Aj';

以Ai'、Aj'、Q'三點(diǎn)構(gòu)造平面π',求出P到π'的距離之兩個(gè)極值,記作δl'、δm',δ'=δl'+δm',比較δ'、δ并作如下判斷:

1)如果δ'<δ,平面π'便取代平面π,重新如法炮制求取新的平面π',并進(jìn)行同樣的計(jì)算、判斷;

2)如果δ'≥δ,分兩種情況處理:

a、將ε值減半,重構(gòu)平面π',算出δ',返回到步驟1)重新作判斷;

b、如果ε已經(jīng)縮小為非常小的值,δ與δ'相差達(dá)到精度要求,滿(mǎn)足計(jì)算的終止條件,停止計(jì)算,π即為滿(mǎn)足"最小條件"擬合基準(zhǔn)平面.

(3)特殊情況的處理

在上述計(jì)算過(guò)程中,如果Pk(k=1~n)到平面π的正最遠(yuǎn)點(diǎn)、負(fù)最遠(yuǎn)點(diǎn)不是唯一的,即"Pi"、"Pj"點(diǎn)不止一個(gè),作如下處理:設(shè)有U個(gè)"Pi"、V個(gè)"Pj"(U、V≥1),將U個(gè)"Pi"與V個(gè)"Pj"進(jìn)行兩兩配對(duì),產(chǎn)生U*V個(gè)組合,每一個(gè)"Pi"、"Pj"組合,都可以通過(guò)上述(2)計(jì)算過(guò)程求得相應(yīng)的擬合平面π'和δ'值.取U*V個(gè)δ'中最小者,記作δ'min,如果δ'min小于δ,則該δ'min及所對(duì)應(yīng)的平面π',取代δ與π,然后周而復(fù)始繼續(xù)計(jì)算、判斷,直至滿(mǎn)足終止條件.

(4)程序流程框圖見(jiàn)圖3.

圖3 程序流程圖

(5)編程

選擇既長(zhǎng)于計(jì)算又具有繪圖功能的C語(yǔ)言作為編程語(yǔ)言.程序(略).

5 程序驗(yàn)證

上述從理論上證明了算法收斂于"最小區(qū)域",還須在實(shí)際中應(yīng)用以檢驗(yàn)程序的功能.課題組對(duì)程序進(jìn)行了數(shù)十個(gè)算例進(jìn)行驗(yàn)算,算例均取自已發(fā)表的其他專(zhuān)家論文、專(zhuān)著或各種標(biāo)準(zhǔn),將計(jì)算結(jié)果與原文比較表明本算法計(jì)算得到的平面度誤差值之精度都達(dá)到或超過(guò)原作,是知所擬合之平面亦優(yōu)于原文.以下取出其中10個(gè)算例予以說(shuō)明,計(jì)算結(jié)果中略去d值,因其實(shí)際上與平面度計(jì)算評(píng)定無(wú)關(guān).

文獻(xiàn)[2]提供的一個(gè)算例,被測(cè)平面上有25個(gè)測(cè)量點(diǎn).原文給出的平面度誤差最佳者為6.55 μm;用本程序計(jì)算得出的平面度為6.550 0 μm,擬合基準(zhǔn)法矢為T(mén)(-0.000002,0.000005,1.00);

文獻(xiàn)[6]之p90給出了一個(gè)算例,被測(cè)平面上3*3=9個(gè)點(diǎn).原文給出的平面度誤差為0.004 1;用本程序計(jì)算,得到的平面度誤差為0.003 9,擬合平面法矢為T(mén)(1.997 292,0.997 622,1.000 0);

國(guó)標(biāo)《GBT/1337-1989》[7]給出了兩個(gè)算例,分別是被測(cè)平面上3*3=9、5*5=25個(gè)點(diǎn).原文計(jì)算得出的平面度誤差分別為100、7.7;用本程序進(jìn)行計(jì)算,得出的平面度誤差分別為:

100.000 664,擬合基準(zhǔn)法矢T(-0.000 050,0.000 100,1.00);

7.136,擬合基準(zhǔn)法矢T(-0.000 002,-0.000 002,1.000);

文獻(xiàn)[8]給出了一個(gè)算例,被測(cè)平面上10*7=70個(gè)點(diǎn).原文提供的平面度誤差為7.81μm;本程序計(jì)算得出的平面度誤差為 7.737 5 μm,擬合平面法矢 T(0.205 000,0.488 125,1.00);

專(zhuān)著[9]及文獻(xiàn)[10]都給出了同一個(gè)算例,被測(cè)平面上5*5=25個(gè)測(cè)量點(diǎn),原文給出的平面度誤差為25 μm;本程序計(jì)算得出的平面度誤差為10.1μm,擬合基準(zhǔn)平面法矢T(0.000 118,-0.000 014,1.00);

同樣對(duì)文獻(xiàn)[3][4][5][11]所提供的算例進(jìn)行驗(yàn)算,原文給出的平面度誤差值分別為30.25 μm、6.55 μm、8.755 6 μm、8.5 μm;本程序計(jì)算的結(jié)果為 30.246 6 μm、6.550 0 μm、6.550 0 μm、8.500 0 μm.

比較彼此的計(jì)算結(jié)果,顯然本程序計(jì)算得出的平面度誤差值精度均優(yōu)于原文,更符合"最小條件"原則,因此所擬合的基準(zhǔn)平面也優(yōu)于原文.

6 結(jié)語(yǔ)

以"最小二乘法"求取的平面為初始擬合基準(zhǔn),繼續(xù)以"最小區(qū)域"為目標(biāo)尋找新算法,逐步令誤差計(jì)算向"最小區(qū)域"逼近,不僅在理論上證明了算法的收斂性,并經(jīng)過(guò)編程及許多實(shí)例加以驗(yàn)證,從運(yùn)行過(guò)程與驗(yàn)證結(jié)果來(lái)看,本程序?qū)崿F(xiàn)了項(xiàng)目開(kāi)發(fā)的第一個(gè)目的,運(yùn)算穩(wěn)定、結(jié)論可靠.本程序在"奔4"微機(jī)上運(yùn)行,一般性算例運(yùn)行不到一秒鐘,說(shuō)明收斂速度很快,具備實(shí)用意義,為進(jìn)一步開(kāi)發(fā)高精度三維空間圓度評(píng)定程序,打下了決定性的基礎(chǔ).

本程序的另外一個(gè)特點(diǎn)是不要求檢測(cè)點(diǎn)按網(wǎng)格均勻分布.為計(jì)算上的方便,測(cè)量時(shí)宜將被測(cè)平面置于與三維坐標(biāo)系的xoy平面上,盡量與z軸垂直(不強(qiáng)求完全垂直).

[1]GB/T 1958-2004,產(chǎn)品幾何量技術(shù)規(guī)范(GPS)形狀和位置公差檢測(cè)規(guī)定[S].

[2]JJG 117-2005,平板檢定規(guī)程[S].

[3]呂震宇.一種使用最小包容區(qū)域法基于旋轉(zhuǎn)變換求解平面度誤差的方法[J].河北理工學(xué)院學(xué)報(bào),2000,2(1);47-56.

[4]張之江,于瀛潔,張善鐘.平面度誤差最小區(qū)域新算法-有序判別法[J].計(jì)量學(xué)報(bào),1998,19(1):15-21.

[5]溫秀蘭,宋愛(ài)國(guó).基于實(shí)數(shù)編碼的改進(jìn)遺傳算法及在平面度誤差評(píng)定中的應(yīng)用[J].計(jì)量學(xué)報(bào),2003,24(2):88-91.

[6]陳基偉.工業(yè)測(cè)量數(shù)據(jù)擬合研究[D].同濟(jì)大學(xué)工學(xué)博士學(xué)位論文,2005,11.

[7]GB/T 11337-1989,直線(xiàn)度、平面度誤差檢測(cè)[S].

[8]崔長(zhǎng)彩,車(chē)仁生,羅小川,等.基于實(shí)數(shù)編碼遺傳算法的平面度評(píng)定[J].光學(xué)精密工程,2002,10(1):36-40.

[9]羅南星.幾何量測(cè)量技術(shù)簡(jiǎn)明教程[M].機(jī)械工業(yè)出版社,1993,5.

[10]倪愛(ài)晶,鄭聯(lián)語(yǔ).基于形狀誤差不確定度的大尺寸測(cè)量系統(tǒng)優(yōu)化配置方法[J].計(jì)量學(xué)報(bào),2011,,32(4):289-295.

[11]彭祖行.形狀誤差的優(yōu)化算法[J].計(jì)量學(xué)報(bào),1992,13(4):245-250.