有限反饋的MIMO系統容量分析

周 雯,王 軍

(汕頭大學電子工程系,廣東 汕頭 515063)

0 引言

多天線(Multiple-Input-Multiple-Output,MIMO)系統在接收機和發射機都采用了多根天線,可以有效地提高系統的數據傳輸速率,已經成為下一代無線通信系統的物理層調制規范[1-2].不同環境下的MIMO系統的容量問題是研究的熱點問題之一[5-6].Telatar[3]和Foschini[4]在作出了收發天線間是獨立不相關的衰落的假設下,首先推導出了多天線系統在高斯信道下的開環和閉環容量表達式.在文獻[5]中,Li等人推導了多天線正交頻分復用多址接入系統容量最大化的充分和必要條件,并且給出了在低信噪比區域、高信噪比區域等多種情況下的容量近似表達式.在文獻[6]中,Qin等人研究了極化分集方式對于MIMO系統容量的影響.該研究發現在接收端和發送端采用不同的天線極化方式比采用單一的極化方式(即都采用圓極化或者都采用線極化方式),會顯著提高系統的容量.

信道狀態信息反饋對于發送端進行預編碼設計、閉環功率控制等具有非常重要的意義.早期的文獻一般假設發送端具有理想的信道信息,但是實際中反饋信道通常是有噪或者限速率的.在限速率的反饋信道下,有限反饋技術和多天線技術或者正交頻分復用技術相結合,近來得到了廣泛的關注[7-15].基于有限反饋的MIMO系統一般有兩個研究方向:一是研究如何利用有限反饋提高系統的容量,如協方差量化反饋方法[7-8]和線性預編碼方法[9-10,14],另一方向是側重于如何利用有限反饋技術提高空時編碼的誤碼率性能[11].文獻[7]提出了在限速率反饋信道下一種功率控制和波束賦型混合的系統結構,并且發現所提出的混合結構逼近閉環的系統容量.天線選擇是線性預編碼方法的一種,基于天線選擇和有限反饋方法,文獻[10]提出了一種自適應的閉環功率控制方案,并且發現提出的方法比多模天線選擇策略[12]有更高的吞吐率.

本文研究了單用戶有限反饋下的閉環MIMO系統的容量問題.假設發送端和接收端均儲存相同的碼本集合,接收機具有理想的信道估計.接收機搜索碼本集合的碼本求出與之最匹配的信道矩陣,并且將索引值通過限速率的信道反饋給發送端.而發送端根據收到的索引查找相應的碼本集合從而找出相應的矩陣,進行矩陣的奇異值分解和數據子流功率分配等操作,然后將處理后的數據發送出去.當反饋比特數較低時,反饋信道信息不準確可能不會產生相對于開環MIMO系統的容量增益,所以就存在反饋比特數的下限以確保閉環容量增益大于或者等于零.本文采用數值計算方法研究了反饋比特數對MIMO系統容量的影響,分別給出了在不同的系統配置下,采用RVQ[18]和LBG[13]碼本生成方法對應的最小反饋比特數.

1 系統模型

圖1描述了閉環MIMO系統模型,發送端和接收端的天線數目分別為NT和NR.發送端通過VBLAST編碼(Vertical-Bell Laboratories Layered Space-Time,垂直分層空時編碼)和數據子流功率分配操作,將用戶數據x發

送出去.假設接收機具有理想的信道信息,它通過MMSE-SIC(Minimum Mean Square Error-Successive Interference Cancellation,最小均方誤差-串行干擾抵消)數據檢測算法得到檢測的比特流.這種發射機和接收機的結構可以達到多天線高斯信道的容量.假設信道是平坦衰落的,則接收信號可以寫為:

圖1 閉環MIMO系統模型

其中:H是維度為NRXNT的的信道響應矩陣,y=[y1y2…yNR]T,(.)T代表轉置操作;發送信號x=[x1x2…xNT]T,噪聲w=[w1w2…wNT]T,并且其相關矩陣滿足

上式中E(.)代表數學期望,INR是NRXNR的單位矩陣.發送端和接收端均保存相同的量化碼本集合Ψ={φ1,φ2…φ2B},其中碼本φi是NRXNT的矩陣,2B是碼本總數目,而碼本集合Ψ可以通過LBG算法[13]或者RVQ方法[18]構造.接收機得到理想的信道信息后將選擇與之最匹配的碼本矩陣,并且將索引通過有限反饋信道反饋給發送端,反饋的比特數是B.選擇準則如下式所示:

其中||.||代表矩陣的Frobenius范數,這樣得到的i*是所選最優集合φj的下標.最后,MIMO閉環系統的信噪比定義為

其中P是發送總功率,σ2w是高斯加性白噪聲的方差,由式(2)給出.

2 閉環MIMO系統容量和反饋比特數下限

2.1 MIMO系統的開環容量

假設發送端不知道信道信息(Channel State Information,CSI),即不存在反饋信道反饋信道信息,則最優的功率分配是等功率分配方法.此時MIMO系統的開環容量為:

其中:SNR是MIMO系統的信噪比.當發送信號分布為復高斯分布并且發送端每個數據子流為等功率時系統可以達到上式(5)所示的開環容量.用矩陣的奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD),可以把開環容量進一步寫成:

其中:Nmin=min(NT,NR),{λi}Nmini=1是矩陣HHH的奇異值.

2.2 有限反饋下的MIMO系統的閉環容量

在圖1所示的閉環MIMO系統中,由于有限反饋的精度是有限的,量化誤差導致反饋的信道信息存在失真,因此系統的容量相比理想的信道信息反饋存在差距.當發送端收到接收機反饋的索引i*后,將從碼本集合Ψ選擇相應的碼本φi*,記H'=φi*

以表示失真的信道信息,然后用奇異值分解方法把H'分解為:

注意為表達方便該文把上式中矩陣∧寫成對角陣的形式,即使它不是方陣(NR≠NT).接下來發送端采用特征模式傳輸方式,即對原始發送信號x采用如下線性變換:

其中V由表達式(7)獲得,D是一個對角陣,其對角線元素為:

其中u滿足

其中:λi是矩陣∧的第i個對角線元素,矩陣∧由式(7)給出并且可以進一步寫成∧=diag因此相應的接收信號y由下式給出:

為求出閉環MIMO系統的容量,下面引入一個定理.

定理1[17]考慮如下MXN的多天線系統:

其中:h是NXM的復信道矩陣,S是MX1發送信號向量,V是NX1的加性噪聲向量.假設發送信號和加性噪聲的功率分別為M和N,并且噪聲和發送信號不相關.令發送信號S的自相關矩陣為RS,接收信號Y的自相關矩陣為RY,則下式成立:

其中:I(Y;S)表示發送信號S和接收信號Y之間的互信息量,x~CN(0,RX)表示隨機向量x服從均值為零、協方差矩陣為Rx的復高斯分布,而RV,opt和RS,opt是指滿足下式的最優接收信號自相關矩陣和發送信號自相關矩陣:

式(13)表明:當發送信號分布確定,噪聲為高斯分布的系統的互信息量最小;而當噪聲信號分布確定時,發送信號為高斯分布時系統的互信息量最大.接下來繼續推導系統的閉環容量,令Y=HVD1/2,則采用特征傳輸模式下的MIMO系統閉環容量C∧滿足:

等號僅當噪聲為高斯分布時成立.考慮到整個系統的等效噪聲是w,與有限反饋信道無關;并且w是是高斯白噪聲,所以式(15)的等號成立,于是我們就可以得到有限反饋下的閉環MIMO系統容量的表達式.系統的整個操作流程可以歸納為:

第一步:接收機通過信道估計得到理想的信道信息H,通過式(3)選擇與之最匹配的碼本矩陣,求出相應的索引,通過有限反饋信道傳輸給發送端.

第二步:發射機得到索引值,從碼本集合Ψ選擇對應的碼本,然后采用式(7)表述的奇異值分解得到矩陣的特征向量V,然后通過式(9)和(10)描述的注水法得到矩陣D.

第三步:發射機采用式(8)描述的線性變換,把轉換后的信號發送出去.

2.3 最小反饋比特數

當發送端具有理想的信道信息時,閉環MIMO系統容量大于開環系統的容量.但是當發送端獲得的信道信息有失真時,非理想的信道信息可能會導致發送端采用不匹配的特征模式傳輸信號,如式(8)所示.當量化誤差過大時,閉環系統的容量可能會小于對應的開環系統容量,所以存在反饋比特數的下限以確保閉環系統容量不小于開環系統的容量.將有限反饋的閉環系統容量寫成C∧=C∧(NT,NR,SNR,B),其中SNR是系統的信噪比,B是反饋比特數.同樣,將開環系統容量寫成Copen=Copen(NT,NR,SNR).則系統所需的最小反饋比特數由下式給出:

3 數值結果

此節采用數值仿真的方法研究了有限反饋下的MIMO系統容量.信道采用平坦瑞利衰落信道模型,因為工程中LBG[13]方法和RVQ方法[18]較為經典和常用,所以碼本集合分別采用這兩種算法構造,MIMO系統的開環容量采用式(5)計算,有限反饋的閉環容量采用式(15)計算.

3.1有限反饋下的閉環容量

圖2繪制了采用不同精度碼本的系統閉環容量與信噪比的關系.分別考慮了發送和接收天線對為(2,2)和(4,2)的兩種情況,而碼本采用LBG方法構造.可以看到,在某個固定的信噪比下系統容量隨著碼本比特數的增加而增加.采用較低精度碼本的閉環容量可能小于開環容量.例如:對于2X2系統,當MIMO系統信噪比為8 dB并且碼本比特數B=3或者5時,系統閉環容量小于開環容量.為保證有限反饋的閉環容量大于等于開環容量,在8 dB時,2X2的MIMO系統應該采用不小于7位的碼本.

圖2 采用不同精度碼本的MIMO系統閉環容量與信噪比的關系

3.2 不同碼本生成方式的性能對比

圖3 對比了分別采用LBG碼本和RVQ碼本的系統閉環容量,分別考慮了發送和接收天線對為(2,2)和(3,3)的兩種情況.可以看到,對于(2,2)系統,在信噪比為0 dB、4 dB、8 dB的時候,采用兩種方法的系統性能無顯著差別,而且對于碼本比特數B∈[3,8]時,系統容量隨著碼本比特的增加幾乎沒有顯著變化.但是對于(3,3)系統,情況發生了明顯變化,采用RVQ碼本要優于LBG碼本.例如:在信噪比為4 dB并且均采用3比特碼本時,采用RVQ碼本會產生相對于LBG碼本約0.33 bit/s/Hz的增益.另外,在碼本比特數B∈[2,7]時,可以發現采用RVQ碼本時系統容量無顯著變化.而采用LBG碼本時,當B從2增加到3時系統容量增加較顯著,但是隨著B的進一步增加系統容量逐漸達到某個漸進水平.總之,RVQ碼本要優于LBG碼本.

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圖3 LBG碼本和RVQ碼本性能對比

3.3 最小反饋比特數

為了保證系統的閉環容量不小于對應的開環容量,表1列出了在不同天線對下,采用RVQ方法和LBG方法分別所需的最小反饋比特數.表中的數據按公式(16)計算得到.可以看到,對于LBG方法,在固定的天線配置下最小反饋比特數隨著信噪比的增加而增加;當發送天線小于接收天線數時,與收發天線數相同的情況相比,所需最小反饋比特數較大;采用RVQ方法比LBG方法所需的最小反饋比特要少,特別是對于(2,4)系統更為明顯.

表1 采用RVQ方法和LBG方法分別所需的最小反饋比特數Bfeed

4 結 論

本文提供了不同系統參數配置下的閉環容量隨著反饋比特數的變化曲線,并且給出了所需的最小反饋比特數與信噪比、天線對的關系.數值仿真結果表明:較低的反饋比特數將會產生相對開環系統的負容量增益,當反饋比特數大于等于某個門限值,系統將會產生正容量增益;對于LBG方法,所需最小反饋比特數隨著系統信噪比的增加而增加,而RVQ方法所需的最小反饋比特數總體上差異不大;采用RVQ方法比LBG方法所需的最小反饋比特數總體上要小.

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