帶兩個形狀參數的四次Bézier曲線的擴展

劉小瓊， 楊國英

（河南理工大學數學與信息科學學院，河南 焦作 454000）

帶兩個形狀參數的四次Bézier曲線的擴展

劉小瓊， 楊國英

（河南理工大學數學與信息科學學院，河南 焦作 454000）

給出了兩組帶兩個形狀參數λ, μ 的六次多項式基函數，它們是四次Bernstein基函數的擴展。分析了這兩組基函數的性質，基于這兩組基分別定義了帶形狀參數的兩類多項式曲線，兩類曲線具有與四次 Bézier曲線類似的性質，且在控制頂點不變的情況下，可通過改變形狀參數的值實現對曲線形狀的調整。參數λ, μ具有明顯的幾何意義。當λ=μ=0時，均退化為四次Bézier曲線。實例表明，論文所采用的方法控制靈活，方便有效。

曲線設計；四次Bézier曲線；形狀參數

用 Bernstein基函數表示相應用控制頂點定義的Bézier曲線是一種獨特的參數多項式曲線。它不僅具有優良的控制性質，而且幾何直觀，結構簡單，是計算機輔助幾何設計(CAGD)中表示曲線和曲面的重要工具之一[1]。然而Bézier方法也有一定的缺陷，它不具備局部修改性質，即給定了控制頂點及相應的 Bernstein基函數以后，Bézier曲線也就惟一確定了。若要修改曲線的形狀，必須要調整控制頂點。為了彌補這一缺陷，人們開始想辦法推廣Bézier曲線。

在文獻[2]中，討論了一類可調控的Bézier曲線，針對n+1個控制頂點，用m=l(n- 1 )+1次Bernstein基構造了一類 Bézier曲線。文獻[3-5]分別給出了二次、三次、四次Bézier曲線的擴展。文獻[6]在文獻[2]的基礎上給出n次Bernstein基函數的擴展，由此定義了一個帶形狀參數λ的n+1次Bézier曲線。

這里給出了四次 Bézier基函數的另 2類擴展，通過引入2個形狀參數，將四次Bézier基函數的次數提高了2次，得到2組帶有形狀參數λ,μ的基函數，由2組基函數分別構造了2類曲線，相應稱為第1類六次λμ-Bézier曲線和第2類六次λμ-Bézier曲線。它們具有與四次 Bézier曲線類似的性質。在控制頂點不變的情況下，隨著參數λ,μ的改變可產生兩類逼近控制多邊形的不同曲線，且形狀參數具有明確的幾何意義。運用張量積方法，可生成與曲線性質類似的形狀可調的曲面。用這種方法可以設計出豐富的曲線形狀，滿足實際應用中不同的需求。

1 第1類曲線的定義及性質

定義1 對于t∈ [ 0 ,1]，稱關于t的多項式

為帶形狀參數,λ μ的第1類基函數，簡稱為第1類λμ-B基。其中，當λ=μ時，-4≤λ,μ≤1；當λ≠μ時，-2≤λ≤2，-2≤μ≤1。下面的圖1給出了λ=-1，μ=0時的第1類基函數圖形。

圖1 λ =-1， μ=0時的第1類基函數

第1類基函數具有以下性質：

性質5 退化性 當==0λ μ時，式(1)退化為四次Bernstein基，當=0λ μ≠時，式(1)退化為文獻[5]中的第2類λ-B基。此性質說明，式(1)是四次Bernstein基的擴展。稱式(2)所定義的曲線為帶有形狀參數,λ μ的第1類六次 Bézier曲線，簡稱為第 1類六次λμ-Bézier曲線。顯然當==0λ μ時，第1類六次λμ-Bézier曲線退化為四次Bézier曲線。

由第 1類基函數的性質可得曲線(2)具有以下性質：

性質 2 凸包性 由基函數的非負性和規范性知曲線是落在其控制頂點生成的凸包之內。

性質 4 幾何不變性和仿射不變性 曲線僅依賴于控制頂點而與坐標系的選擇無關。曲線作仿射變換，只需將其控制多邊形作仿射變換。

性質 5 變差減少性質(V.D.)。

2 第2類曲線的定義及性質

定義3 對于t∈ [ 0 ,1]，稱關于t的多項式

為帶形狀參數,λ μ的第2類基函數，簡稱為第2類λμ-B基。其中，當λ=μ時，-4≤λ,μ≤1；當λ≠μ時，-2≤λ≤2，-2≤μ≤1。圖2給出了λ=-1，μ=0時的第2類基函數圖形。

圖2 λ =-1, μ =0時的基函數

性質5 退化性 當==0λ μ時，式(3)退化為四次Bernstein基，當=0λ μ≠時，式(3)退化為文獻[5]中的第1類λ-B基。此性質說明，式(3)是四次Bernstein基的擴展。

稱式(4)所定義的曲線為帶有形狀參數,λ μ的第2類六次 Bézier曲線，簡稱為第 2類六次λμ-Bézier曲線。顯然當==0λ μ時，第2類六次λμ-Bézier曲線退化為四次Bézier曲線。

由第 2類基函數的性質可得曲線(4)具有以下性質：

性質2 凸包性。

性質3 對稱性。

性質4 幾何不變性和仿射不變性。

性質5 變差減少性質(V.D.)。

3 曲線的連接

此處以第1類曲線為例加以說明，第2類曲線的連接類似。

給出2條不同的第1類六次λμ-Bézier曲線

其中P4=Q0，B1（t）中的參數為λ1,μ1，B2（t）中的參數為λ2,μ2，則有：

4 形狀參數的幾何意義

此處仍以第1類六次λμ-Bézier曲線為例加以討論，第2類可類似討論。

將第1類基函數改寫為

上式改寫為矩陣形式為

則可用六次 Bézier曲線表示第 1類六次λμ-Bézier曲線，其中iV為此六次Bézier曲線的控制頂點。由式(5)、(6)可得此六次 Bézier曲線與第1類六次λμ-Bézier曲線的控制頂點之間的關系式為

5 曲線的應用實例

圖 3是第 1類當λ=-2,-1,0,1,2時開曲線的花瓣圖形；圖 4是第 2類當λ=-2, -1, 0, 1, 2時開曲線的花瓣圖形；圖5是第1類當μ=-2, -1, 0, 1時開曲線的花瓣圖形；圖6是第2類當μ=-2, -1, 0, 1時開曲線的花瓣圖形。從圖形可知，對于相同的控制多邊形，兩類曲線有不同的特性。

圖3 第1類曲線固定μ=1的花瓣圖形

圖4 第2類曲線固定μ=1的花瓣圖形

圖5 第1類曲線固定λ=1的花瓣圖形

圖6 第2類曲線固定λ=1的花瓣圖形

6 曲面的定義

運用張量積的方法，可將兩類曲線推廣到曲面上?，F僅以第1類曲線為例。

其中u,v∈[0,1]。稱為[0,1]×[0,1]上的第1類雙六次λμ-Bézier曲面，可證明第 1類雙六次λμ-Bézier曲面具有與四次Bézier曲面類似的性質。

7 結 束 語

給出的曲線生成方法，以四次Bézier曲線為特例，保留了Bézier曲線的幾何性質。在形狀參數的取值范圍內，選擇不同的參數值，可生成逼近于同一控制多邊形的不同的曲線，且超出了一般的四次 Bézier曲線和五次λ-Bézier曲線對控制多邊形的逼近。而且這里形狀參數具有明確的幾何意義，設計者可以根據自己的需要來調整參數值以達到設計需要。運用張量積方法，將曲線推廣到曲面，曲面的形狀是可調的且具有和曲線類似的性質。

[1]施法中. 計算機輔助幾何設計與非均勻有理B樣條[M]. 北京：高等教育出版社, 2001：306-454.

[2]齊從謙, 鄔弘毅. 一類可調控 Bézier曲線及其逼近性[J]. 湖南大學學報, 1996, 19(1)：15-19.

[3]韓旭里, 劉圣軍. 二次 Bézier曲線的擴展[J]. 中南工業大學學報(自然科學版), 2003, 34(2)：214-217.

[4]吳曉勤, 韓旭里. 三次 Bézier曲線的擴展[J]. 工程圖學學報, 2005, (6)：98-102.

[5]吳曉勤, 韓旭里, 羅善明. 四次Bézier曲線的擴展[J].工程圖學學報, 2006, 27(5)：98-102.

[6]吳曉勤. 帶形狀參數的 Bézier曲線[J]. 中國圖象圖形學報, 2006, 11(2)：269-274.

[7]朱秀梅, 郭清偉, 朱功勤. 含多參數的Bézier曲線的擴展[J]. 合肥工業大學學報(自然科學版), 2008,31(4)：671-674.

Extension of quartic Bézier curve with two shape parameters

Liu Xiaoqiong，Yang Guoying
( College of Mathematics and Information Science, Henan Polytechnic University, Jiaozuo Henan 454000, China )

Two classes of six degree polynomial basis functions with two shape control parameters λ and μ are presented. They are extensions of quartic Bernstein basis functions.Properties of these two bases are analyzed and the corresponding polynomial curves with two parameters λ and μ are defined accordingly. These curves not only inherit the outstanding properties of quartic Bézier curve, but also can be adjusted in shape by changing the value of λ and μ without the changing of control points. The parameters have obvious geometric meaning.When λ=μ=0, the curve degenerates to four degree Bézier curve. Experiments show that the method given in this paper is intuitive, effective and easy to control.

curve design; quartic Bézier curve; shape parameters

TP 391.72

A

2095-302X (2013)01-0041-05

2011-07-04；定稿日期：2011-09-14

河南省教育廳自然科學基金資助項目（2009B110009）；河南理工大學青年基金資助項目（Q2012-14）

劉小瓊（1980-），女，河南焦作人，講師，主要研究方向為計算機輔助幾何設計。E-mail：liuxiaoqiong@hpu.edu.cn