二維Frenkel-Kontorova模型中六角對稱結(jié)構(gòu)的摩擦現(xiàn)象*

賈汝娟 王蒼龍 楊陽 茍學強 陳建敏 段文山3)?

2)(中國科學院蘭州化學物理研究所,固體潤滑國家重點實驗室,蘭州 730000)

3)(甘肅省原子分子物理與功能材料重點實驗室,蘭州 730070)

(2012年10月7日收到;2012年11月5日收到修改稿)

1 引言

凝聚態(tài)物理中有許多非線性現(xiàn)象都可以用一個處于周期外勢的原子鏈來描述,這就是著名的Frenkel-Kontorova(FK)模型[1].FK模型在研究非平衡性質(zhì)及其他物理領域,特別是在凝聚態(tài)物理中被廣泛應用,如在超導體中的旋渦晶格[2,3]、電荷密度波(CDW)[4]、膠體[5]、熱傳導[6,7]、公度-不公度(CI)相變[8-10]等等,尤其是對固體摩擦現(xiàn)象[11-13].FK模型越來越多地受到研究者們的關注,因為它作為深入研究納米摩擦學領域復雜問題的一種理論工具[14],可以使人們更容易理解納米摩擦學的機理[15,16].雖然目前有許多一維FK模型的理論研究[17-21],但真實的物理系統(tǒng)并沒有這么簡單,所以將一維FK模型推廣到二維FK模型很有必要.

近幾年,在納米摩擦學的研究中,從相互接觸的兩層原子間摩擦力的觀測中可知,錯合角對摩擦力有著明顯的影響,對于一定大小的錯合角,可以產(chǎn)生超潤滑[9,22,23].這些結(jié)果和超導電性[24-27]中發(fā)現(xiàn)的結(jié)果相似,這就促使了進一步的理論研究,對摩擦力產(chǎn)生的微觀機理的認識,對生物醫(yī)學和工程材料的巧妙設計具有理論指導作用[21,28,29].

基于以上提到的理論[30]和實驗[31,32]研究,我們討論了二維FK模型,基底勢采用周期性六角對稱結(jié)構(gòu),系統(tǒng)從locked到sliding態(tài)的相變.運用分子動力學模擬方法[33,34],可以得到,隨著外驅(qū)動力的增加,在某一臨界力處,系統(tǒng)開始運動,原子的運動方向和外驅(qū)動力的方向不同.隨著外驅(qū)動力的進一步增加,在另一臨界力處,原子開始在外驅(qū)動力的方向上運動.我們將這兩個臨界力分別定義為最大靜摩擦力和動摩擦力,為了更清楚地研究這兩個力的特征,我們討論了系統(tǒng)中外驅(qū)動力的大小和方向、勢壘高度的大小、上層原子間的耦合系數(shù),尤其是錯合角θ對這兩個臨界力的影響.

2 模型

二維FK模型由上下兩層原子層組成,上層原子采用六角對稱結(jié)構(gòu),在外驅(qū)動力作用下,任意一個原子不僅受到最近鄰6個粒子的作用,而且還受到下層二維周期性墊底勢的作用.模擬中,基底勢函數(shù)采用近似的六角對稱結(jié)構(gòu)：

其中,f為勢函數(shù)的勢壘高度,b為基底勢x方向的周期.上下兩層間的錯合角為θ,因此墊底勢可改寫為

上層原子中的任意一個原子(n,m),它受到最近鄰6個原子的作用,原子之間的相互作用勢采用簡單的簡諧形式：(yi,j-yn,m-a)2],其中,K為耦合系數(shù),a為上層原子間的平衡距離,任意原子(n,m)的位置可表示為(xn,m,yn,m),它的位移矢量rn,m(xn,m,yn,m)滿足運動學方程：

式中,Fext=(Fextcosα,Fextsinα)是外驅(qū)動力,α為外驅(qū)動力Fext與x軸之間的夾角,γ為黏性阻尼系數(shù).模擬中,為了計算方便,對運動方程(3)進行無量綱化處理,并設每個原子的質(zhì)量Mn,m=1,b=1,f=0.01,K=1,γ=0.1.

在數(shù)值模擬中,我們采用四階龍格-庫塔法求解運動方程(3),初始時刻所有原子處在能量的最低點,外力Fext在絕熱條件下逐漸增大,且對于每個Fext值都要給一個足夠長的弛豫時間使系統(tǒng)達到一個穩(wěn)定的狀態(tài).

3 數(shù)值結(jié)果及其分析

3.1 摩擦力(Fs和Fc)與外驅(qū)動力Fext的關系

圖1描述了上層原子的平均速度ˉυ隨外驅(qū)動力Fext的變化曲線,初始時刻上層的每個原子均勻地分布在下層周期勢阱底,在外驅(qū)動力的作用下,上層原子的平均速度逐漸地增大,系統(tǒng)從locked態(tài)到sliding態(tài)的過程中會產(chǎn)生一個臨界力,當外驅(qū)動力小于這個臨界力時,上層原子的平均速度為零,此時系統(tǒng)處于靜止狀態(tài).反之,當外驅(qū)動力大于該臨界力時,系統(tǒng)會產(chǎn)生相對運動.我們稱該臨界力為系統(tǒng)的最大靜摩擦力Fs(簡稱靜摩擦力),由于外驅(qū)動力沿著不同的方向α作用到原子上時,系統(tǒng)受到的靜摩擦力Fs的大小也不同,所以系統(tǒng)的靜摩擦力Fs會受到外驅(qū)動力方向的影響.β為原子的平均速度與x軸之間的夾角,把上層原子的平均速度方向與外驅(qū)動力的方向相同時對應的外驅(qū)動力的值定義為動摩擦力Fc,即α的變化從α/=β到α=β時的外驅(qū)動力的值.其中,Fc也受到外驅(qū)動力的方向α的影響.

圖1 上層原子的平均速度隨外驅(qū)動力的變化曲線 模型參數(shù)：f=0.01,K=1,θ=0°

圖2 所示為Fs和Fc受外驅(qū)動力方向α的影響,當θ=0°時,曲線Fs和Fc關于α=60°對稱,這與我們選擇的基底勢函數(shù)的形狀有關.根據(jù)圖2所示,我們把參數(shù)空間分為三個不同的區(qū)域：

1)區(qū)域AA(arbitrary angle)Fext＜Fs,系統(tǒng)的平均速度ˉυ=0;

2)區(qū)域 CA(constant angle)Fs＜Fext＜Fc,β/=α;

3)區(qū)域SA(same angle)Fext＞Fc,β=α.

在區(qū)域AA(ˉυ=0)中,上層系統(tǒng)處于靜止狀態(tài).在區(qū)域CA中,ˉυ的值不為零,系統(tǒng)開始運動,但運動方向和外驅(qū)動力的方向不相同.同時,靜摩擦力 Fs關于α=60°對稱,并且在α=0°,α=60°,α=120°處達到了最大值,然而在α=30°和α=90°處Fs有最小值.

當θ=0°時,Fc隨α的變化分別在α=25°,α=35°,α=85°和α=95°處有四個相同的峰值,在α=30°和α=90°處,Fc有最小值,Fc也關于α=60°對稱.所以在區(qū)域CA中,Fs和Fc受α的影響呈現(xiàn)出周期性的變化,數(shù)值模擬結(jié)果表明,靜摩擦力周期性的變化與模型中采用的基底勢函數(shù)的結(jié)構(gòu)有關,即六角對稱結(jié)構(gòu).在區(qū)域SA,β=α,原子的運動方向和外驅(qū)動力的方向相同.

圖2 Fs和Fc依賴于外驅(qū)動力的大小和方向 在 f=0.01,K=1,θ=0°;在區(qū)域AA,系統(tǒng)的平均速度為零;在區(qū)域CA,β/=α;在區(qū)域SA,β=α

圖3 Fs和Fc依賴于外驅(qū)動力的大小和方向 在 f=0.01,K=1,θ=30°;在區(qū)域AA,系統(tǒng)的平均速度為零;在區(qū)域CA,β/=α;在區(qū)域SA,β=α

對于θ=30°的特殊情況,如圖3所示.與圖2相比,也有三個區(qū)域：AA,CA和SA,分別與Fext＜Fs,Fs＜Fext＜Fc和Fext＞Fc相對應.隨著α的變化,在 α=55°,α=65°和 α=115°處,Fc有三個相同的峰值;在 α=0°,α=60°,α=120°處,Fc有最小值,但不再關于α=60°對稱.而Fs在θ/=0°比θ=0°時的值小,幾乎為零,不隨α的變化而變化.因此,這兩種臨界力也依賴于錯合角θ.

3.2 摩擦力(Fs和Fc)與錯合角θ的關系

臨界力Fs和Fc隨著外驅(qū)動力的大小和錯合角θ的變化見圖4.根據(jù)圖2我們可以劃分為三個區(qū)域AA,CA和SA,分別對應于Fext＜Fs,Fs＜Fext＜Fc和Fext＞Fc.

圖4 Fs和Fc依賴于錯合角θ,f=0.01,K=1,α=0°

在區(qū)域AA,原子的平均速度為零.在區(qū)域CA中,原子的平均速度為有限的值,但是原子的運動方向和外驅(qū)動力的方向不同.在θ=0°,60°,120°時處,Fs有最大值,且關于θ=60°對稱.而在θ=30°,90°時,Fc有最小值,也關于θ=60°對稱,同時,在θ=25°,35°,85°,95°時,Fc有四個幾乎相等的峰值.在區(qū)域SA中,原子在外驅(qū)動力的方向上運動.從圖4中可以看到,這兩種臨界力Fs和Fc明顯地依賴于錯合角θ.

圖5 Fs和Fc依賴于錯合角θ,f=0.01,K=1,α=30°

圖5 中,對于α=30°的情況,與圖4相比較,Fs和Fc隨著θ的變化曲線不再關于θ=60°對稱.隨著θ值的變化,Fs和Fc的曲線呈現(xiàn)出周期性變化.顯然α也對Fs和Fc有影響.

從以上的比較分析中,可以得到,Fs和Fc依賴于錯合角θ的同時,α對Fc的影響也很大,進而Fs和Fc隨著θ和α的變化而變化的情況比較復雜,這里我們只分析了α=0°,θ/=0°或α/=0°,θ=0°的情況.

3.3 摩擦力(Fs和Fc)與原子間的耦合系數(shù)K的關系

對于給定不同的θ和α的值,Fs和Fc依賴于原子的耦合系數(shù)K,見圖6.

圖 6(a)中,α=0°,θ=0°,Fs不受 K 的影響,但Fc明顯地受到參數(shù)K的影響.此時有三個區(qū)域：AA,CA和SA.在區(qū)域AA內(nèi),原子幾乎不動.在區(qū)域CA內(nèi),原子的運動方向和外驅(qū)動力的方向不同.在區(qū)域SA中,原子在外驅(qū)動力的方向上移動.圖 6(b)中,α=10°,θ=0°時,Fs和 Fc的值也不相同,只有Fc依賴于耦合系數(shù)K,也有三個區(qū)域AA,CA和SA,分別與Fext＜Fs,Fs＜Fext＜Fc和Fext＞Fc相對應.在θ=0°時對于不同的α值,Fs的值幾乎沒有變化且不為零.對于θ/=0°,在圖6(c)和圖 6(d)中,分別為 α=0°,θ=10°和 α=10°,θ=10°.隨著耦合系數(shù)K的增加,Fc的值的變化也很大.但是Fs的值變化很小,幾乎為零,所以Fs與耦合系數(shù)K是相互獨立的,即Fs不依賴于耦合系數(shù)K,在這種情況下,超潤滑可能會產(chǎn)生.

圖 6 Fs和 Fc隨著耦合系數(shù) K 的變化曲線 f=0.01;α,θ值：(a)α=0°,θ=0°;(b)α=10°,θ=0°;(c)α=0°,θ=10°;(d)α=10°,θ =10°

3.4 摩擦力(Fs和Fc)與勢壘高度 f的關系

Fs和Fc隨著勢壘高度的變化曲線,如圖7所示：(a)α=0°,θ=0°;(b)α=10°,θ=0°;(c)α=0°,θ=10°;(d)α=10°,θ=10°.在圖 7(a)中,當外驅(qū)動力足夠大時,可以看成有兩個區(qū)域：AA和SA,此時,Fs=Fc.當 f繼續(xù)增加時,Fs和Fc也隨著增加.對于圖7(b),(c),(d),我們可以看到有三個區(qū)域：AA,CA和SA且分別與Fext＜Fs,Fs＜Fext＜Fc,Fext＞Fc相對應.Fs和Fc也隨著 f增加而增加.其中在圖7(c)和圖7(d)中,當θ/=0°時,靜摩擦力很小,當 f接近于零時,靜摩擦力也接近于零.

圖 7 Fs和 Fc隨著勢壘高度 f的變化曲線 K=1;α,θ 值：(a)α=0°,θ=0°;(b)α=10°,θ=0°;(c)α=0°,θ=10°;(d)α=10°,θ =10°

根據(jù)以上的分析,我們要獲得超潤滑,必須采用勢壘高度 f小的材料.同時,為了得到很小的摩擦力,必須選擇合適的錯合角θ.

4 結(jié)論

在具有六角晶格對稱結(jié)構(gòu)的二維FK模型中,我們研究了系統(tǒng)從locked態(tài)到sliding態(tài)的相變,數(shù)值模擬了具有六角晶格對稱結(jié)構(gòu)的摩擦行為.隨著外驅(qū)動力的增加,在某一個臨界值處,原子開始運動.隨著外力的進一步增大,在另一臨界力處,原子在外驅(qū)動力的方向上運動.把這兩個臨界力定義為兩種不同的摩擦力,靜摩擦力和動摩擦力,它們依賴于外驅(qū)動力的大小和方向,勢壘高度,耦合系數(shù)和錯合角.對于一定大小的錯合角,摩擦力的值很小.特別是當錯合角θ/=0°的情況,系統(tǒng)容易出現(xiàn)超潤滑現(xiàn)象,我們將選擇上層原子耦合系數(shù)較大和勢壘高度較小的材料.同時,為了得到較小的摩擦力必須選擇合適的錯合角θ.

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