大地－電離層諧振腔中極低頻電磁波傳播的數值模擬

譚仕文

（92330部隊 山東 青島 266102）

極低頻電磁波在地球物理勘探、地震預報等領域具有重要的用途。由于頻率很低，波長很長，極低頻電磁波的激勵與傳播可以看作是大地-電離層諧振腔中電磁場的空間分布問題[1]。這是一個典型的球面分層介質中的邊值問題[2]，分析方法有近似解析方法和數值方法。目前國外學者主要采用解析方法來求解該問題，而解析方法在具體的處理技巧上又有所不同。其中一種方法是利用波長遠大于電離層高度的特殊條件，得到大地-電離層腔體中齊次波動方程的近似解，然后基于這種近似的本征模獲得天線激勵的完備解，這種方法主要被美國學者所采用。而俄羅斯學者則是從經典的球諧級數解和散射迭加原理出發，運用Watson變換，將天線輻射場的球諧級數解變換到復平面上的圍線積分，然后從中分離出橫向的特征模式解。這兩種處理方法本質上是等效的，可以通稱為模式理論。由球面波導模式理論得到的計算公式中，含有待定本征值的特殊函數，只有在一定條件下，才能導出本征值及特殊函數的近似表達式。

除了解析方法之外，作為一種典型的電磁場數值算法，時域有限差分法（FDTD）[3-5]也開始應用極低頻電磁場的模擬中。FDTD以差分原理為基礎，直接從Maxwell方程出發，將其轉換為差分方程組，在一定體積內和一段時間上對連續電磁場的數據取樣。因此，它是對電磁場問題的最原始、最本質、最完備的數值模擬，具有最廣泛的適用性。FDTD算法簡單直觀、容易掌握。從Maxwell出發，不需任何導出方程，避免了使用更多的數學工具，使得它成為所有電磁場計算方法中最簡單的一種。其次，它可以在計算機所能提供的離散數值時空中仿真再現電磁現象的物理過程，非常直觀，易于可視化顯示。

本文基于積分形式的Maxwell方程，推導了大地—電離層諧振腔中的FDTD迭代方程，計算了極低頻電磁波的輻射和傳播過程，得到了可視化的結果。

1 FDTD的剖分和時間步進迭代公式

對于ELF頻段，電離層高度遠小于波長，因此可近似認為場沿高度方向沒有變化，這樣可以簡化為二維問題來處理[6-8]。對于地球表面。用經緯線進行剖分是比較方便的，如圖1所示。可見這種剖分得到的離散網格是非均勻，越靠近南北兩極，沿緯線方向的網格長度越小。

設沿經線方向的剖分單元數為M，沿緯線方向的剖分單元數為2×M，沿緯線方向的網格編號為i，沿經線方向的網格編號為j，網格編號的參考點位于網格中心。沿緯線方向的網格長度為Δw-e，沿經線方向的網格長度為Δs-n，網格面積為S。

圖1 地球表面剖分網格Fig.1 Earth’s surface mesh

在各向同性無源空間中，Maxwell旋度方程為：

安培定律式（2）中的面積分和環路積分可近似為：

從而可以得到Ez的差分方程為

電磁感應定律式（1）中的面積分和環路積分可以近似寫作：

其中h為電離層高度，于是可以得到Hx的差分方程為：

同樣可以得到Hy的差分方程為

在南北兩極上，四邊形網格退化為三角形，此時差分方程變為：

當存在電流源時，安培定律變為：

其差分近似形式為：

在靠近南北兩極時，沿經度方向與沿緯度方向的網格長度差距將越來越大，將會影響到數值計算的穩定性和計算效率，因此實際編程中需仔細處理，合理選擇時間步進。

2 計算示例

2.1 簡諧振蕩電流源在地－電離層波導中激勵的場

假設在武漢地區（約北緯30度，東經110度）設置一個簡諧振蕩的垂直電流源，頻率為100 Hz。計算了不同時刻球面上電磁場的分布狀況，如圖3～5所示。在二維平面示意圖中，下邊緣對應北極，上邊緣對應南極，左邊緣對應經度的0度。時間步進為 5 μs。

圖2 一個周期時的球面電磁場分布示意圖Fig.2 A cycle of spherical electromagnetic field distribution diagram

圖3 3個周期時的球面電磁場分布示意圖Fig.3 Spherical electromagnetic field distribution diagram of three cycles

圖4 8個周期時的球面電磁場分布示意圖Fig.4 Spherical electromagnetic field distribution diagram of eight cycles

圖2為1個周期時的場分布，可見電磁場以源點為中心，均勻地向四周擴散開來。

圖3為3個周期時的電磁場分布圖，此時電磁波已越過北極地區，可見時間步進迭代過程是穩定的。

圖4為8個周期時的電磁場分布圖，此時，電磁波已到達對極點，可以看出經球面傳播后，電磁波匯聚到對極點，從而在對極點附近形成一個強信號區域。

2.2 高斯脈沖電流源在地－電離層波導中激勵的場

雷電等自然極低頻信號源可用高斯脈沖來模擬，將上例中的簡諧源換成高斯脈沖，重新計算了電磁場的分布。圖5為迭代了50 000步后電磁場的分布圖。此時激勵源信號早已消失，但地-電離層腔體中仍有穩定的電磁波存在，這表明地-電離層波導中存在諧振現象。圖6為對極點電場強度隨時間的變化曲線，可以看出兩次正的峰值之間的時間間隔約為0.13 s，由此可以估算出地-電離層腔體的諧振頻率約為7.7 Hz。這個數值與有關文獻給出的地球舒曼（Schumem）諧振的基波諧振頻率十分接近。

圖5 高斯脈沖信號激勵的球面電磁場分布示意圖Fig.5 Spherical electromagnetic field distribution diagram with Gauss pulse signal excitation

圖6 對極點電場的時域波形Fig.6 Electric field waveform in time domain on pole

3 結束語

文中采用FDTD方法計算了ELF電磁場在地-電離層波導中的分布，并給出了可視化的結果。從計算結果來看，大地-電離層腔體中的ELF電磁場衰減很小，而且球面波導結構可以將電磁波匯聚到天線的對極點，使得對極點附近成為強電磁場區域。從高斯脈沖源的FDTD計算結果來看，大地-電離層腔體在極低頻段存在諧振點，可以觀察到明顯的舒曼（Schumem）諧振效應。

由于缺乏全球的大地及電離層參數，在本文的計算中，暫時沒有計入大地和電離層電導率的有限性和非均勻性。但FDTD是一種基于差分方程的算法，適合于處理媒質的非均勻性問題。只要建立了各個地區的大地電導率及電離層電子濃度數據庫，應用該方法就可以模擬出極低頻電磁場在全球的傳播與分布。

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