地鐵車輛輪軌法向接觸問題研究＊

孫樹磊 丁軍君 李 芾 黃運華 周張義

（西南交通大學機械工程學院，610031，成都∥第一作者，博士研究生）

輪軌接觸由于對車輛運動狀態、輪軌磨耗及滾動接觸疲勞有較大影響，一直是國內外研究的熱點和重點。自1882年接觸理論的創始人Hertz發表了《論彈性固體的接觸》論文以來，世界上眾多學者在赫茲接觸理論的基礎上發展了各種輪軌接觸模型，取得了較多進展。文獻1等假定接觸斑每個條帶上的法向應力呈半橢圓分布并利用兩個接觸體之間的穿透量通過迭代獲得接觸區域［1］。文獻2發展了三維彈性體非赫茲滾動接觸理論［2］，通過對任意形狀的平面接觸區離散，并借助于Bossinesq－Cerruti力／位移公式進行數值迭代求得解，又被稱為精確理論。文獻3等利用有限元方法分析輪軌接觸應力分布和接觸區域，同時文獻4等利用有限元方法研究了輪軌法向接觸問題［4］，并利用分析結果對軌頭部分進行優化以適應列車高速運行。文獻5等發展了一種非迭代的輪軌法向接觸快速求解方法，其接觸區域為非橢圓［5］。

本文分別基于有限元方法、赫茲接觸理論和Kalker精確理論對地鐵車輛輪軌法向接觸問題進行分析，并比較各種接觸模型下的法向接觸應力和接觸斑形狀，為車輛動力學、輪軌磨耗及滾動接觸疲勞的進一步研究提供參考。

1 輪軌法向接觸模型

1.1 赫茲接觸理論

赫茲接觸理論在應用時基于彈性半空間假設，且認為接觸斑內兩物體曲率是常數，物體之間的法向間隙可表達為：

式中：

A、B——相對曲率；

x、y——坐標。

在法向作用力N下，Hertz認為接觸斑的形狀為橢圓，如圖1所示。接觸斑半軸長、相對位移量和法向接觸應力見式（2）～（5）。

式中：

a、b——分別為橢圓長、短半軸；

m、n、r——赫茲接觸參數；

v——泊松比；

E——彈性模量；

δ0——兩個固體間相對位移量；

Pz——法向接觸應力。

圖1 赫茲接觸示意圖

1.2 Kalker三維彈性體非赫茲滾動接觸理論

Kalker從經典彈性力學虛應力功的概念，得到滾動接觸問題的余虛功原理，將可能接觸區離散成若干個小單元，如圖2所示。借助于Bossinesq－Cerruti力／位移公式，使接觸問題求解轉換為數學規劃問題的解［2－6］，見式（6），并編制了精確理論程序CONTACT。

式中：

i，j＝1，2，3——分別為圖2中坐標軸x1，x2和x3方向；

τ＝1，2——分別為圖2中坐標軸x1和x2方向；

x1，x2和x3——分別表示局部接觸坐標系的縱向、橫向和法向；

I，J——矩形單元的編號；

C——余能；

AIiJj——力和位移的影響系數，其意義是作用于A處沿j方向單位力引起接觸面上另一點B處沿i方向的位移；

PIi和PJj——分別為接觸單元I和J處的作用力密度分量；

g0J——初始法向間隙；

q——輪軌在x3方向的接近量；

WJτ——J單元處輪軌界面相對剛性滑動量；

u——滑動量；

A0——矩形單元的面積；

bJ——單元中心處庫倫極限摩擦力；

Ac——表示處于接觸區內；

M——單元總數；

P——總法向力。

圖2 矩形網格離散接觸區

2 有限元計算模型

車輪和鋼軌在相互作用區域中均要產生明顯變形，可以將其看做是柔體－柔體的接觸［7］。由于輪軌接觸表面尺寸遠小于接觸表面的曲率半徑，接觸區域會出現非常大的應力集中，即接觸區內以及接觸區過渡到非接觸區的部位將出現很大的應力梯度變化，因此，網格的精細程度將直接決定計算結果的精度。為得到較為精確的接觸應力，接觸區及其附近區域需要細化到一定的程度。而計算規模隨著網格數量的增加，將成指數形式增長，致使計算成本太大。為避免出現這種情況，在離接觸區較遠的部分用較粗的網格進行劃分，而接觸區內部以及周邊區域采用較細的網格［7－8］。

ANSYS在接觸計算中，其面－面接觸算法可以支持有大滑動和有摩擦的柔－柔大變形接觸等問題的計算，能夠為工程計算提供很好的計算結果［9］，因此，本文利用ANSYS軟件模擬地鐵輪軌的接觸。采用一階八節點六面體單元solid45模擬車輪及鋼軌，采用接觸單元CONTA174和TARGE170組成接觸對，模擬車輪與鋼軌的接觸［10］。接觸對之間的摩擦和運動形式采用庫倫摩擦模型，摩擦系數取為0.3，接觸算法采用擴展的拉格朗日算法。其有限元計算模型如圖3所示，在ANSYS中建立了車輪的二分之一模型以及鋼軌的局部模型，在鋼軌的底面施加垂向和橫向約束，在鋼軌的斷面施加縱向約束；在車輪輪轂的側面施加橫向約束，在輪轂孔的內側面上施加垂向力。其接觸區域的局部放大如圖4所示。通過有限元計算，得到在不同輪對橫移量條件下的輪軌接觸應力。當輪對橫移量為0mm時，其輪軌接觸附近區域的von＿mises應力云圖如圖5所示，其接觸區域及法向接觸應力如圖6所示。

圖3 有限元計算模型

圖4 接觸區域局部細節放大圖

圖5 軌頭接觸附近von＿mises應力云圖

圖6 接觸區域及法向接觸應力

3 輪軌法向接觸模型對比分析

利用MATLAB軟件編制了輪軌赫茲接觸計算程序，同時利用Kalker精確理論的數值程序CONTACT計算地鐵車輛在不同輪對橫移量下法向接觸應力和接觸斑面積，并與有限元分析結果進行比較。其中輪軌關系采用LM型車輪踏面和60kg／m級鋼軌型面匹配，軸重為14t。輪軌接觸面積及最大法向接觸應力如表1所示，輪軌接觸斑形狀如圖7所示，輪軌接觸應力分布如圖8～圖10所示。

當輪對橫移量為0時，由于接觸斑內輪軌型面的曲率為常數，滿足赫茲接觸條件，因此赫茲接觸、CONTACT以及有限元模型計算的接觸斑形狀比較接近，CONTACT結果較赫茲接觸更接近于有限元計算結果；赫茲接觸的最大接觸應力達到1 438 MPa，分別較CONTACT和有限元接觸大34.6%和12.6%；CONTACT與有限元模型的接觸面積相差很小，而赫茲接觸的接觸面積最大。

當輪對橫移量為5mm時，由于接觸斑內輪軌型面的曲率不是常數，因此赫茲接觸得到的接觸斑形狀與CONTACT和有限元模型相比有較大差異；CONTACT由于接觸面積較大，因此最大接觸應力最小；雖然赫茲接觸與限元模型的接觸面積和最大接觸應力比較接近，但其分布范圍不同。

表1 不同輪對模移量時輪軌間接觸面積和最大法向接觸應力

圖7 輪軌接觸斑形狀

圖8 yw＝0mm時輪軌法向接觸應力分布

圖9 yw＝5mm時輪軌法向接觸應力分布

當輪對橫移量為11mm時，發生輪緣接觸，接觸幾何尺寸與接觸斑尺寸相差不大，彈性半空間假設條件不再滿足，因此赫茲接觸和CONTACT的接觸斑形狀與有限元相比有較大差異；有限元模型的面積最大，幾乎是赫茲接觸和CONTACT的一倍，同時其最大接觸應力最小，而赫茲接觸的最大接觸應力則遠大于CONTACT和有限元接觸模型。

圖10 yw＝11mm時輪軌法向接觸應力分布

綜上，除了輪緣接觸工況外，CONTACT的計算結果都比較接近有限元接觸模型的計算結果，而赫茲接觸的計算結果則有較大出入。雖然有限元方法能較為準確模擬輪軌法向接觸問題，但缺點是計算速度較慢，在工程運用中受到限制，CONTACT也存在類似的問題。由于在輪軌磨耗及滾動接觸疲勞的研究中需要對輪軌接觸進行大量計算，因此輪軌法向接觸模型的計算精度和計算速度應進行綜合考慮。

4 結語

隨著越來越多的城市開通地鐵，地鐵車輛的輪軌磨耗及滾動接觸疲勞等問題一直困擾著運營管理者。本文基于赫茲接觸理論、Kalker精確理論和有限元方法研究了地鐵車輛輪軌法向接觸問題，包括接觸斑形狀、接觸面積和接觸應力。在輪緣接觸工況下，赫茲接觸和CONTACT受彈性半空間假設限制導致計算結果與有限元接觸相差較大，而在其余工況下，CONTACT的計算結果都比較接近有限元接觸模型的計算結果。赫茲接觸由于受接觸斑內輪軌曲率為常數的限制導致其計算結果與CONTACT和有限元接觸相比有較大出入。由于工程運用中需對輪軌接觸進行大量計算，因此輪軌法向接觸模型的計算精度和計算速度應進行綜合考慮。

［1］Knothe K，Le T H.A contribution to calculation of contact stress distribution between elastic bodies of revolution with non－elliptical contact area［J］.Computers and structures，1984，18（6）：1025.

［2］Kalker J J.Three dimensional elastic bodies in rolling contact［M］.Dordrecht：Kluwer Academic Publisher，1990.

［3］Telliskivi T，Olofsson U.Contact mechanics analysis of measured wheel－rail profiles using the finite element method［J］.IMechE，2001：65.

［4］Sladkowski A，Sitarz M.Analysis of wheel－rail interaction using FE software［J］.Wear，2005，（258）：1217.

［5］Piotrowski J，kik W.A simplified model of wheel／rail contact mechanics for non－Hertzian problems and its applications in rail vehicle dynamic simulations ［J］.Vehicle System Dynamics，2008，（46）：27.

［6］金學松，劉啟躍.輪軌摩擦學［M］.北京：中國鐵道出版社，2004.

［7］張澎湃，井秀梅.輪軌接觸應力的有限元計算［J］.鐵道車輛，2007，45（6）：4.

［8］Yan W，Fischer F D.Applicability of the Hertz contact theory to rail－wheel contact problems［J］.Archive of applied mechanics，2000，70（4）：255.

［9］齊斐斐.30t軸重貨車轉向架關鍵技術研究［D］.成都：西南交通大學，2009.

［10］侯傳倫.重載鐵路曲線段磨耗狀態下輪軌相互作用分析［D］.成都：西南交通大學，2009.