局部高斯尺度混合模型的傅里葉－小波圖像降噪

唐 銳，張敬東，張 祺

(1．攀枝花學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，四川 攀枝花617000，2．攀枝花學(xué)院交通與汽車工程學(xué)院，四川 攀枝花617000)

1 引言

數(shù)字圖像的噪聲主要來源于圖像的獲取(圖像的數(shù)字化)和傳輸過程。圖像傳感器的工作情況受各種因素的影響，如圖像獲取中的環(huán)境條件和傳感元器件本身的質(zhì)量。圖像在傳輸過程中主要由于受傳輸信道的干擾而受到噪聲污染。

噪聲的污染使圖像偏離了真實景況，極大影響了人們從圖像中提取信息，因此，非常有必要在利用圖像之前消除噪聲。常規(guī)的圖像消噪方法主要有兩類［1－7］:一類是基于頻域，針對整幅圖像的全局處理;另一類是基于空間域，針對圖像中某一像素中鄰域的局部處理。這兩類消噪處理要么完全在頻率域，要么完全在空間域展開。這兩類消噪處理方法造成了顧此失彼的局面，雖然抑制了噪聲，卻損失了圖像邊沿細(xì)節(jié)信息，造成圖像模糊。

傅里葉變換從整個時域(空域)上分析信號的頻譜信息，卻不能反應(yīng)信號在局部時間范圍內(nèi)的特性，缺乏信號的局部化分析能力有效地表示圖像中的突變部分。

小波分析在時間域和頻率域都具有良好的局部特性可以聚焦到信號的任意細(xì)節(jié)，小波分析恰好改變了這種局限性。

為了獲取較好的降噪效果，文獻(xiàn)［2］提出了一種傅里葉－小波降混合噪方法并獲得了良好的效果。文章在文獻(xiàn)［2］的基礎(chǔ)上，采用局部高斯尺度混合模型描述降噪圖像的小波變換系數(shù)的統(tǒng)計特性［7－14］，進(jìn)行不含噪圖像的小波系數(shù)估計，修改小波系數(shù)，該方法考慮了圖像中含有噪聲的相關(guān)性，使得降噪效果比傳統(tǒng)方法進(jìn)一步提高。

2 傅里葉變換

一般性考慮給定非周期實函數(shù)信號f(t)，f(t)∈L2(R)的連續(xù)傅里葉變換及逆變換的定義為:

F(ω)取決于f(t)在整個積分區(qū)間的整體性質(zhì)，其從整個時域(空域)上分析信號的頻譜信息，卻不能反應(yīng)信號在局部時間范圍內(nèi)的特性，缺乏信號的局部化分析能力。傅里葉變換可以分別時域和頻域分析問題，但不能同時在時域和頻域考察。這些正是傅里葉變換存在的弱點(diǎn)。

3 小波變換

傅里葉變換對時間域上的信號進(jìn)行頻譜分析時，當(dāng)從時域變換到頻域時所有的時域特征就會失去，對于非平穩(wěn)信號的分析有一定的局限性，而對信號進(jìn)行小波變換并不會改變它的時間特性，而且小波分析在時間域和頻率域都具有良好的局部特性可以聚焦到信號的任意細(xì)節(jié)，小波分析恰好改變了這種局限性。

小波ψ(t)∈L2(R)，其傅里葉變換為Ψ(ω)，當(dāng)Ψ(ω)滿足容許性條件:

時，稱ψ(t)為一個小波基函數(shù)或母小波。將母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后，就可以得到一個小波序列，由其可生成的小波序列可表示為:

其中，a為縮放因子(對應(yīng)于頻域信息);b為平移因子(對應(yīng)于時空信息)。

任意能量有限函數(shù)f(t)，f(t)∈L2(R)的連續(xù)小波變換定義為:

其逆變換為:

式中，ψ*(t)表示ψ(t)的復(fù)數(shù)共軛。

4 局部高斯尺度混合模型

局部高斯尺度混合模型如圖1所示，圖中y為一個局部鄰域內(nèi)含噪聲圖像的小波變換系數(shù)的隨機(jī)向量，w和u均為零均值的小波變換系數(shù)的高斯隨機(jī)向量，其協(xié)方差矩陣可分別記為Cu和Cw，z為標(biāo)量乘數(shù)因子，其概率密度分布函數(shù)為:

高斯尺度模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

由此可得，在確定的z的概率密度分布函數(shù)的條件下，y是一個零均值的高斯隨機(jī)向量，其協(xié)方差陣為:

若 E(z)=1，則:

圖1 局部高斯尺度混合模型Fig．1 local Gaussian scale mixtures model

圖像的降噪是在每一個局部鄰域內(nèi)，從噪聲圖像的小波變換系數(shù)的隨機(jī)向量y中估計出局部鄰域中心的原始圖像的小波系數(shù)xc，xc的最小平均平方誤差估計在y的條件下的數(shù)學(xué)期望為:

其中:

基于上述分析，本文采用一種融合傅里葉變換和小波變換的方法對圖像進(jìn)行降噪，即基于局部高斯尺度混合模型的混合傅里葉－小波降噪法，其算法步驟如下:

(1)傅里葉變換圖像降噪:估計原始圖像的功率譜密度，分析原始圖像的能量分布情況;

(2)小波變換圖像降噪:

Ⅰ將傅里葉變換降噪后的圖像作小波變換，獲得圖像的小波變換系數(shù)，將圖像分解為多個子頻帶信號;

Ⅱ按照GSM法修改小波系數(shù)協(xié)方差陣，對每一個鄰域進(jìn)行估計，估計出局部鄰域中心的原始圖像的小波系數(shù)，進(jìn)而獲得不含噪聲的圖像的小波變換系數(shù)的估計;

Ⅲ將修改后的小波變換系數(shù)作小波逆變換，獲得降噪后的圖像。

5 實驗方法與結(jié)果

為了更好地驗證和比較本文所用方法的性能，我們將此方法用于兩個8位灰度圖像Barbara，Boat上，其中，Barbara圖像具有較多的紋理和緩慢變化的部分，Boat圖像是一個有鮮明背景、包含較多的尖銳變化的戶外圖片。實驗分兩部分進(jìn)行，第一部分為分別對圖像Barbara，Boat添加不同標(biāo)準(zhǔn)偏差(σ)的隨機(jī)噪聲，采用局部GSM模型混合傅里葉－小波法降噪時選用不同的小波，即Db3，Db4，Db5，Db6，Db8，Db10對加噪圖像進(jìn)行降噪。第二部分為在第一部分所得結(jié)果的基礎(chǔ)上和局部自適應(yīng)維納濾波(LAWMAP)、貝葉斯最小平方－高斯尺度混合模型(BLS-GSM)、混合傅里葉－小波等方法作比較。

此處使用的衡量降噪效果的指標(biāo)是PSNR(peak signal to noise ratio)，其定義如下:

式中，Xi為原始圖像的第i個像素值;X為降噪后圖像的第i個像素值，該指標(biāo)為客觀標(biāo)準(zhǔn)，沒有反映人類對圖像質(zhì)量的視覺感受，主要用于8位灰度圖像的降噪評估中。采用本文所用的方法對圖像Barbara，Boat進(jìn)行降噪后的PSNR分別如圖2、圖3所示。

圖2 LGSMM混合傅里葉－小波降噪Barbara圖像的PSNR值Fig．2 PSNR of Barbara using themethod proposed

圖3 GSM混合傅里葉－小波降噪boat圖像的PSNR值Fig．3 PSNR of Boat using themethod proposed

圖4和圖5分別顯示的是噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差σ=30時的圖像Barbara，Boat進(jìn)行降噪后的效果。不同方法對加不同噪聲偏差的圖像Barbara降噪處理后的對比圖如圖6所示。

圖4 圖像降噪效果(Barbara，σ=30)Fig．4 effect of imagede-noising(Barbara，σ =30)

圖5 圖像降噪效果(Boat，σ=30)Fig．5 effect of imagede-noising(Boat，σ =30)

圖6 采用不同方法降噪效果對比圖(Barbara)Fig．6 contrast diagram of noise reduction effects using different methods( Barbara)

(1)從圖2和圖3中可以看出，采用本文提出的基于局部高斯尺度混合模型的混合傅里葉－小波對圖像Barbara，Boat進(jìn)行降噪時，原始加噪圖像的PSNR和使用不同小波降噪后圖像的PSNR均隨著噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的增大而減小，但使用不同小波降噪后圖像的PSNR減少速率要緩慢，這表明原始加噪圖像的噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差σ越大，降噪效果越明顯。同時可看到采用基于局部高斯尺度混合模型的混合傅里葉－小波對圖像Barbara，Boat進(jìn)行降噪時，選擇不同的小波函數(shù)，圖像Barbara，Boat降噪后的PSNR線幾乎重合。

(2)當(dāng)噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差σ=30時，從圖4和圖5中左右兩幅圖片顯示效果的比較中可看到采用本文方法對圖像Barbara，Boat進(jìn)行降噪后，原圖像中的噪聲幾乎全部消去。

(3)圖6為局部高斯尺度混合模型的混合傅里葉－小波降噪法、混合傅里葉－小波降噪法、BLSGSM，LAWMAP等方法對圖像Barbara進(jìn)行降噪后的PSNR，與混合傅里葉－小波降噪法、BLS-GSM，LAWMAP等方法相比，本文提出的降噪方法降噪效果顯著。

6 結(jié)論

本文提出了基于局部高斯尺度混合模型的混合傅里葉－小波降噪法圖像進(jìn)行降噪處理方法，利用局部高斯尺度混合模型充分考慮圖像小波變換系數(shù)間的相關(guān)性，使用協(xié)方差替代方差進(jìn)行小波系數(shù)的估計，更加符合現(xiàn)實生活中的數(shù)字圖像處理。仿真結(jié)果表明:

(1)本方法小波函數(shù)的選擇不影響降噪效果，克服了常規(guī)小波變換處理信號時要根據(jù)待處理信號的特征選擇最合適小波函數(shù)的局限性。

(2)采用局部高斯尺度混合模型的混合傅里葉－小波對圖像Barbara，Boat進(jìn)行降噪后，原圖像中的噪聲幾乎全部消去，降噪效果明顯。

(3)采用局部高斯尺度混合模型的混合傅里葉－小波降噪法、混合傅里葉－小波降噪法、BLSGSM，LAWMAP等方法對圖像Barbara進(jìn)行降噪后的PSNR結(jié)果表明本文采用的方法比上方法的降噪效果有顯著提高。

［1］Wu G F，Y He．Application of wavelet thresholddenoisingmodel to infrared spectral signal processing［J］．Spectroscopy and Spectral Analysis，2009，29(12):3246 －3249．

［2］ Jiang S，Hao X．Hybrid fourier-wavelet imagedenoising［J］．Electronics Letters，2007，43(20):1081 －1082．

［3］ Jiang X M，S Mahadevan，H Adeli． Bayesian wavelet packet denoising for structural system identification［J］． Structural Control ＆ Health Monitoring，2007，14 ( 2 ) :333 － 356．

［4］ Rakvongthai Y，A P N Vo，S Oraintara． Complex gaussian scale mixtures of complex wavelet coefficients ［J］． IEEE Transactions on Signal Processing，2010，58 ( 7 ) :3545 － 3556．

［5］ You X G，et al． Image denoising by using nonseparable wavelet filters and two-dimensional principal component analysis［J］． Optical Engineering， 2008， 47( 10) : 107002．

［6］ Fatemi M，H Amindavar，J A Ritcey． Noise reduction via harmonic estimation in gaussian and non-gaussian environments ［J］． Signal Processing，2010，90 ( 5 ) :1554 － 1561．

［7］ Bua desA，B Coll，J M Morel． A review of image denoising algorithms，with a new one［J］． Mu ltiscale Modeling ＆ Simulation， 2005，4( 2) : 490 － 530．

［8］WainwrightM J，E P Simoncelli． Scale mixtures of gaussians and the statistics of natural images， in advances in meural Information processing systems［M］． Cambridge:MIT Press， 2000．

［9］Wang X Y，et al． Image denoising using gaussian scale mixtures with gaussian-hermite PDF in steerable pyramid domain［J］． Journal of Mathematical Imaging and Vision，2011， 39( 3) : 245 － 258．

［10］ GoossensB，A Pizurica，W Philips． Image denoising using mixtures of projected gaussian scale mixtures［J］． IEEE Transactions on Image Processing，2009，18 ( 8 ) :1689 － 1702．

［11］ Guerrero-Colon，J A， et al． Image denoising using mixturesof gaussian scale mixtures［C］． / /15thIEEE InternationalConference on Image Processing，New York． IEEE，2008，( 1 － 5) : 565 － 568．

［12］ Scheunders P，S De Backer． Wavelet denoising of multicomponent images using gaussian scale mixture models and a noise-free image as priors［J］． IEEE Transactions on Image Processing， 2007， 16( 7) : 1865 － 1872．

［13］ Portilla J，et al．Image denoising using scalemixtures of gaussians in the wavelet domain［J］．IEEE Transactions on Image Processing，2003，12(11):1338 －1351．

［14］ Portilla J， et al． Adaptive wiener denoising using a gaussian scale mixture model in the wavelet domain［C］/ /IEEE International Conference on Image Processing． Thessaloniki IEEE， 2001: 37 － 40．