利用Radon－Wigner變換的LFM信號(hào)檢測(cè)性能分析

許建忠，孫紅偉，孫業(yè)岐，段平光，陳剛

（1.河北大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河北保定 071002；2.河北大學(xué)工商學(xué)院，河北保定 071002；3.北華航天工業(yè)學(xué)院，河北廊坊 065000）

線性調(diào)頻（linear frequency modulation，LFM）信號(hào)是一種重要的信號(hào)形式，在雷達(dá)、通信和地震勘測(cè)等系統(tǒng)中都有著廣泛的應(yīng)用，對(duì)LFM信號(hào)的檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)一直是研究的重點(diǎn)和難點(diǎn).國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)LFM信號(hào)的檢測(cè)已經(jīng)提出了很多有效的方法，如基于最大似然的方法［1］，基于STFT 及其他時(shí)頻分析的檢測(cè)方法等［2］.Wigner－Ville分布（Wigner－Ville distribution，WVD）是最早用于對(duì)LFM信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析的方法之一，Simon［3］在強(qiáng)雜波背景下應(yīng)用WVD檢測(cè)雷達(dá)目標(biāo)，優(yōu)于普通的恒虛警檢測(cè)方法，F(xiàn)razer［4］將WVD應(yīng)用于HF超視距雷達(dá)，提高了HF超視距雷達(dá)的檢測(cè)性能.但是當(dāng)用WVD分析多分量LFM信號(hào)時(shí)，由于WVD存在固有的交叉項(xiàng)，對(duì)檢測(cè)結(jié)果造成影響［5］.LFM信號(hào)在分?jǐn)?shù)階Fourier變換（Fractional Fourier transform，F(xiàn)RFT）域有良好的能量聚集性，因此在FRFT域處理LFM信號(hào)的檢測(cè)與估計(jì)問(wèn)題有很大的優(yōu)勢(shì).但在低信噪比時(shí)，F(xiàn)RFT對(duì)噪聲的抑制作用有限，檢測(cè)性能降低，并且多分量LFM信號(hào)的FRFT譜存在相互遮蔽問(wèn)題［6］，影響了對(duì)弱信號(hào)的檢測(cè).

LFM信號(hào)經(jīng)過(guò)Wigner－Ville變換后在時(shí)頻平面內(nèi)表現(xiàn)為沖激線譜，因此在Wigner－Ville變換的基礎(chǔ)上應(yīng)用Radon變換，形成Radon－Wigner變換（Radon－Wigner transform，RWT），可以利用信號(hào)項(xiàng)的能量聚集，有效實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的檢測(cè).本文分析了采用RWT進(jìn)行LFM信號(hào)檢測(cè)的方法和性能，給出了檢測(cè)的信噪比和檢測(cè)概率.仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性.

1 Radon－Wigner變換

連續(xù)解析信號(hào)x（t）的WVD為［7］

WVD對(duì)線性調(diào)頻信號(hào)具有很好的時(shí)頻聚集性，但在分析多個(gè)信號(hào)時(shí)，在信號(hào)之間、噪聲之間、信號(hào)和噪聲之間存在著嚴(yán)重的交叉項(xiàng)，影響了對(duì)有用信號(hào)的檢測(cè).RWT是對(duì)信號(hào)的WVD進(jìn)行直線積分投影的Radon變換，通過(guò)Radon變換對(duì)WVD平面進(jìn)行積分可以實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)項(xiàng)的聚集和對(duì)交叉項(xiàng)的平滑，在一定程度上能夠抑制交叉項(xiàng)的影響.

將時(shí)頻平面坐標(biāo)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到新的坐標(biāo)（u，v），以不同的u值平行于v軸積分，即得到Radon變換，如圖1所示為RWT的幾何示意圖，坐標(biāo)間的變換關(guān)系為

若將時(shí)頻平面代之以信號(hào)x（t）的WVD，即得到x（t）的RWT

式中R［·］表示Radon變換.

圖1 Radon變換幾何示意Fig.1 Geometric forms of Radon transformation

在WVD時(shí)頻平面中，若用f軸的f0和斜率β為參數(shù)來(lái)表示直線，則當(dāng)沿f＝f0＋βt作直線積分時(shí)，可將圖1中的積分路徑參數(shù)（u，α）替換為（f0，β），根據(jù)圖中2對(duì)參數(shù)之間的關(guān)系，可以得到用（f0，β）表示的RWT

上式表明，若x（t）是起始頻率為f0和調(diào)頻斜率為β的LFM信號(hào)，則積分值最大；而當(dāng)參數(shù)偏離f0，β時(shí)積分值迅速減小；因而對(duì)一定的LFM信號(hào)其RWT會(huì)在對(duì)應(yīng)的參數(shù)（f0，β）處呈現(xiàn)尖峰.由此，在RWT域中可容易地將信號(hào)與交叉項(xiàng)區(qū)分開(kāi).

2 基于Radon－Wigner變換的檢測(cè)分析

由RWT的定義可知，RWT是通過(guò)對(duì)信號(hào)WVD平面（t，f）應(yīng)用Radon變換進(jìn)行投影積分，利用LFM信號(hào)在時(shí)頻平面上的能量聚集特征，以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的檢測(cè).

2.1 檢測(cè)信噪比

對(duì)于回波信號(hào)

其中s（t）為真實(shí)的目標(biāo)回波信號(hào)成分，w（t）為噪聲或雜波干擾.假設(shè)LFM信號(hào)的離散化表達(dá)式為

其中Ts為采樣周期，N為采樣個(gè)數(shù)，φ0為初始相位.

若只有信號(hào)s（n）而不存在噪聲時(shí)，則R（u，α）在（u，α）參數(shù)空間內(nèi)呈現(xiàn)為一尖峰，其峰值位于參數(shù)（f0，β）對(duì)應(yīng)的（u0，α0）處，峰值為N2A2／2，而對(duì)于有噪聲的觀測(cè)信號(hào)x（n）則在（u0，α0）處會(huì)發(fā)生隨機(jī)起伏，并有一定的起伏方差var｛R（u，α）｝，Barbarossa［8］提出把二維變換域上的信號(hào)峰值平方作為信號(hào)功率，該處的噪聲方差作為噪聲功率，因此可以得到基于RWT的信噪比

分母項(xiàng)var｛R（u，α）｝的計(jì)算可分2步進(jìn)行［7］，首先計(jì)算其數(shù)學(xué)期望

這里假設(shè)了雜噪信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)Rw（k）＝，然后計(jì)算含雜噪信號(hào)RWT的二階矩

因此，由式（8），（9）可以得到含雜噪信號(hào)的方差

綜合式（7），（10），最終可得含雜噪信號(hào)的RWT輸出信噪比為

其中SNRin＝為輸入信噪比，并由式可見(jiàn)增大數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N是改善信噪比的一個(gè)有效手段.

2.2 檢測(cè)概率分析

對(duì)目標(biāo)檢測(cè)，構(gòu)造二元假設(shè)檢驗(yàn)［9］

式中x（t），s（t，ρ），w（t）分別代表接收信號(hào)、目標(biāo)回波信號(hào)、噪聲和雜波干擾等.ρ為目標(biāo)中的未知參數(shù)，對(duì)于LFM信號(hào)來(lái)說(shuō)，ρ＝［f0β］.

在u，α參數(shù)空間內(nèi)，設(shè)Xu，α為接收信號(hào)經(jīng)RWT后在（u，α）點(diǎn)的值，若檢測(cè)門(mén)限為λ，則其虛警概率為

同樣有其檢測(cè)概率

式中?（u，α）表示存在（u，α）點(diǎn)，?（u，α）表示對(duì)任意存在的（u，α）點(diǎn).

假設(shè)經(jīng)RWT后信號(hào)中的噪聲為高斯白噪聲，則由式（8），（10）可知在無(wú)目標(biāo)信號(hào)時(shí)的噪聲概率密度函數(shù)為

同理，可以得到有目標(biāo)信號(hào)時(shí)的噪聲概率密度函數(shù)

因此，由式（15）可以得到虛警概率為

式中φ（x）稱(chēng)為概率積分函數(shù)，其定義為

由式（16）可以得到目標(biāo)的檢測(cè)概率

這樣，通過(guò)式（17）可以得到給定虛警概率Pf情況下的門(mén)限值λ，由式（19）就可以得到在一定門(mén)限下的檢測(cè)概率Pd.

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 噪聲干擾下的檢測(cè)

假設(shè)LFM信號(hào)的起始頻率為f0＝10MHz，調(diào)頻率為β＝10×106MHz／s，采樣率為80MHz，采樣快拍數(shù)為200，噪聲為零均值的高斯白噪聲.從圖2中可以看出，對(duì)于較大的信噪比如圖2a所示，基于RWT的信號(hào)檢測(cè)效果非常好.隨著信噪比的減小，依然保留了較多的有關(guān)信號(hào)信息，保持了很好的檢測(cè)能力，如圖2b所示.當(dāng)信噪比進(jìn)一步下降，基于RWT的信號(hào)檢測(cè)效果雖然有所下降，但如果提高檢測(cè)門(mén)限，仍能將信號(hào)從噪聲中正確檢測(cè)出來(lái)，如圖2c所示.

圖2 基于RWT的信號(hào)檢測(cè)Fig.2 Signal detection basing on RWT

圖3給出了在虛警概率為Pf＝5×?xí)r，不同信噪比情況下基于RWT和基于FRFT最大值檢測(cè)方法［10］的檢測(cè)概率，由圖3可見(jiàn)該方法比基于FRFT最大值檢測(cè)方法在檢測(cè)概率同為1時(shí)小6dB左右，說(shuō)明該方法具有較好的抗噪聲能力，這是因?yàn)樵摲椒ǔ浞掷昧诵盘?hào)的時(shí)頻匯聚特性.

圖3 不同信噪比下的檢測(cè)概率Fig.3 Detection probability in different SNR

3.2 多信號(hào)的檢測(cè)

當(dāng)接收信號(hào)為多個(gè)LFM信號(hào)時(shí)，假設(shè)接收信號(hào)中有4個(gè)LFM信號(hào)，起始頻率分別為f10＝10MHz，f20＝5MHz，f30＝f40＝20MHz，調(diào)頻率分別為：β1＝β2＝10×106MHz／s，β3＝5×106MHz／s，β4＝40×106MHz／s，并混有高斯白噪聲，信噪比為－5dB.從圖4中可以看到在利用WVD分析多個(gè)信號(hào)時(shí)存在著嚴(yán)重的交叉項(xiàng)，因此影響了對(duì)有用信號(hào)的檢測(cè).由于信號(hào)項(xiàng)在WVD平面表現(xiàn)為直線，變換到Radon平面則為一尖峰，而交叉項(xiàng)則會(huì)散布開(kāi)，如圖5所示.從圖中可以看到有非常突出的4個(gè)尖峰，分別對(duì)應(yīng)了4個(gè)信號(hào)項(xiàng)，而交叉項(xiàng)和噪聲引起的干擾很小，因此4個(gè)LFM信號(hào)可以容易地檢測(cè)出來(lái).

4 結(jié)束語(yǔ)

研究了對(duì)LFM信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)的方法，針對(duì)LFM信號(hào)的非平穩(wěn)性特點(diǎn)，利用RWT的時(shí)頻聚集特性，實(shí)現(xiàn)了LFM信號(hào)的檢測(cè)，并對(duì)其檢測(cè)性能進(jìn)行了分析，得到了噪聲背景下RWT輸出信噪比，其中增大數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N是改善信噪比的一個(gè)有效手段.并推導(dǎo)了高斯白噪聲下的檢測(cè)概率，可以得到在給定虛警概率情況下的檢測(cè)概率.仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這種方法的有效性.

［1] LIN Yan，PENG Yingning，WANG Xiutan.Maximum likelihood parameter estimation of multiple chirp signals by a new Markov chain Monte Carlo approach［Z］.IEEE proc Radar Conference，Philadelphia，2004.

［2] 董暉，姜秋喜.低信噪比下寬帶LFM信號(hào)檢測(cè)技術(shù)［J］.電子信息對(duì)抗技術(shù)，2008，23（1）：5－8，21.DONG Hui，JIANG Qiuxi.Broadband LFM signal detecting technologies under low SNR conditions［J］.Electronic information warfare technology，2008，23（1）：5－8，21.

［3] HAYKIN S，BHATTACHARYR T.Wigner－Ville distribution：an important functional block for radar target detection in clutter［Z］.Conference on Signals，Systems and Computers，Los Alamitos，1994.

［4] FRAZER G J，ANDERSON S J.Wigner－Ville analysis of HF radar measurements of an accelerating target［Z］.Proceeding of the Fifth International Symposium on Signal Processing and Its Applications，Brisbane，1999.

［5] ZOU Hongxing，LU Xuguang，DAI Qionghai，et al.Nonexistence of cross－term free time－frequency distribution with concentration of Wigner－Ville distribution［J］.Science in China，2002，45（3）：174－180.

［6] 鄧兵，陶然，曲長(zhǎng)文.分?jǐn)?shù)階Fourier域中多分量chirp信號(hào)的遮蔽分析［J］.電子學(xué)報(bào)，2007，36（6）：1094－1097.DENG Bing，TAO Ran，QU Changwen.Analysis of the shading between multicomponent chirp signals in the fractional Fourier domain［J］.Acta Electronica Sinica，2007，36（6）：1094－1097.

［7] 張賢達(dá)，保錚.非平穩(wěn)信號(hào)分析與處理［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1998：21－254.ZHANG Xianda，BAO Zheng.Nonstationary signal analysis and processing［M］.Beijing：Defense Industry Press，1998：21－254.

［8] BARBAROSSA S.Analysis of multi component LFM signals by a combined Wigner－Hough transform［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1995，43（6）：1511－1515.

［9] 陳小龍，關(guān)鍵，于仕財(cái)，等.海雜波背景下基于FRFT的多運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)快速算法［J］.信號(hào)處理，2010，26（8）：1174－1180.CHEN Xiaolong，GUAN Jian，YU Shicai，et al.A fast detection algorithm of multiple moving targets in sea clutter based on FRFT［J］.Signal Processing，2010，26（8）：1174－1180.

［10] 尉宇.線性調(diào)頻和非線性調(diào)頻信號(hào)的檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)［D］.武漢：華中科技大學(xué)，2005.WEI Yu.The detection and parameter estimation of the linear frequency modulated signals and no linear frequency modulated signal in low SNR［D］.Wuhan：Huazhong University of Science ＆Technology，2005.