垂直分層土壤中引外接地網的格林函數

王文亮，王瑛瑋，趙剛剛，孫景濤

(1.東北電力大學 研究生院，吉林 吉林132012;2.大唐長山熱電廠，吉林松原131109;3.洛陽市供電公司，河南洛陽471023;4.元寶山發電責任有限公司，內蒙古赤峰024000)

現代大電網向超高壓、大容量和遠距離方向的發展，對電力系統安全、穩定及經濟運行的要求越來越高［1］。已建設的許多變電所及輸電桿塔的接地裝置因長期銹蝕及系統短路容量增大的原因，已不能滿足要求，急需改造。目前，通常采用接地網引外接地來改善接地網老化。而在利用引外接地網對變電站接地網進行改進的時候，往往遇到土壤分布不均勻問題。格林函數(單位點電流源在空間任意位置上的電位函數)理論推導是求解接地電場/電位分布的基礎［2-4］。點電流源在土壤中產生的電流場的計算方法已有很多文獻論述。但這些方法都需要大量繁瑣的推導，公式形式復雜，不利于開發適用于更多分層土壤結構的接地網性能數值分析軟件。因此，本文提出了一種計算點電流源電流場的簡單實用的遞推算法，適用于具有任意垂直分層的土壤結構。利用圓柱坐標系建立拉普拉斯方程，結合相鄰土壤分界面的電位邊界條件，建立了各層土壤電位表達式中待定系數之間的遞推關系和各層土壤電位表達式中的待定系數。無需將每層土壤中的電位表達式具體寫出，減輕了任意分層土壤結構的接地網接地性能數值分析軟件開發方面的工作。

1 垂直多層土壤的格林函數

垂直n層土壤模型如圖1所示，坐標原點在地表面，z軸沿地表面，向右為正。h軸垂直于地表，且向下為正。點電源坐標為(x0，y0，z0)。各層土壤電阻率分別為 ρ1、ρ2、ρ3、ρ4…ρn，土壤分層在 z方向的坐標是 z0、z1、z2、z3、z4…zn。在分層土壤中，格林函數的公式推導是計算接地網電位分布的關鍵［5-6］。

圖1 土壤分層結構圖

圖1所示多層土壤中點電流源產生的電位計算問題實際上是一個典型的格林函數問題。點電流源產生的電位在無限遠處有界，在各層土壤分界面上滿足電位邊界條件。恒定電場中的格林函數拉普拉斯方程為

式中φ為電位。為便于本文討論，使用如圖1所示的圓柱坐標系下的拉普拉斯方程形式，并考慮到場的對稱性，可以得到:

利用分離變量法解式(2)可得:

式中:Ii為第i段總流散電流;Vi為第i段在距離r處產生的電位;ρl為土壤電阻率;J0(λr)為第一類零階貝塞爾函數。

當場點在有源層時，

由式(4)可見，通過對接地網中各段的流散電流在某一點產生的電位求和，可得接地網中此點的電位表達式。

2 格林函數表達式的推導

要想計算垂直分層土壤中的格林函數，需要對公式(4)進行積分，但是直接對第一類零階貝塞爾函數進行廣義積分非常麻煩。這里采用傅氏變化有:

由此可見，只需要確定系數 αi(λ)和 βi(λ)，就可以求出格林函數。傳統的解決方法是經典鏡像法，即將以上兩個系數通過泰勒級數近似展開成有限項指數求和的形式。但是指數求和的項數問題會對函數的精度產生很大的影響。這里，采用加拿大學者Y.L.Chow教授首先提出的復鏡像技術用于分層土壤接地參數計算方法，即通過prony法，將系數展開成有限項復指數求和的形式［7］:

取抽樣點 λ =0，1，2，…，2n-1(或其它等距數值)，相應可得函數αi(λ)的具體值，組建的方程為

土壤分界面的邊界條件如下:

至此，導出了垂直分層土壤中格林函數的具體表達式:

3 格林函數系數的推導

式(8)是2n個未知數組成的2n個方程，理論上是可以計算的，然而上式是非線性方程組，求解困難。Prony 指出:b1、b2、b3、…、bn-1、bn是滿足下面高次方程的根。

求解上面的方程，關鍵是獲得系數k。對上面方程組進行如下行變換:

整理得:

對方程組(8)進行類似處理，得到如下方程:

由于 α0、α1、α2、α3、…、αn已知，因此，可以利用式(13)求解系數k，然后將其代入式(10)求出b1、b2、…、bn，進而求出 a1、a2、…、an。

準確計算多層土壤中點電流源的格林函數是使用矩量法分析接地網接地性能的基礎，利用點電流源在多層土壤中滿足的的邊界條件，并結合復鏡像法可以快速準確地計算垂直分層土壤中點電流源的格林函數的數值。此方法可以用到大型接地網的設計和計算中。

4 算例

100 m×100 m的方形接地網置于垂直分層土壤中，通過900 m引外連接導體與60 m×60 m引外接地網相連，如圖2所示。

原接地網埋深0.8 m，土壤電阻率1 000 Ω·m;網孔尺寸為10 m×10 m，材料為鋼材，電阻率為1.7×10-7Ω·m，相對磁導率為636;1 kA電流從地網的左下邊角處注入。引外接地網土壤電阻率100 Ω·m，網孔與原接地網相同。

計算不同層數情況下的接地阻抗與加拿大SES公司開發的接地標準軟件CDEGS的計算結果如表1所示。從表1可以看出，在不同引外導體長度的情況下，遞推算法與CDEGS的計算結果吻合，相比兩種算法的結果最大偏差不超過1.21%。由此驗證了遞推算法的正確性。

圖2 接地網引外接地示意圖

表1 本文計算結果與CDEGS軟件計算結果對比

5 結論

1)利用圓柱坐標系，將雙側遞推法用于對任意分層土壤中點電源格林函數的分析計算切實可行。

2)實現程序化計算過程簡單，不受層數限制。利用復鏡像法，大大提高了函數的計算精度。

3)遞推算法可以應用于垂直多層土壤格林函數的求解，且求出的結果正確性較高。

4)基于遞推算法基礎上開發的變電站接地網性能分析軟件，可以在接地網設計階段模擬分析接地網的各種性能。

［1］譚春力.大型變電站接地網優化及改造［D］.長春:東北電力大學，2008.

［2］何金良，曾嶸.電力系統接地技術［M］.北京:科學出版社，2007:217-222.

［3］JINXI M，DAWALIBI F P，DAILY W K.Analysis of grounding systems in soils with hemispherical layering［J］.IEEE Trans on Power Delivery，1993，8(4):1773-1781.

［4］JINXI M，DAWALIBI F P.Analysis of grounding systems in soils with cylindrical soil volumes［J］.IEEE Trans on Power Delivery，2000，15(3):913-918.

［5］孫結中，劉力.運用等值復數鏡像法求解復合分層土壤結構的格林函數［J］.中國電機工程學報，2003，23(9):146-151.

［6］郭劍，鄒軍，何金良，等.水平分層土壤中點電流源格林函數的遞推算法［J］.中國電機工程學報，2004，24(7):101-105.

［7］CHOW Y L，YANG J-j，SRIVASTAVA K D.Complex image of a grounding electrode in layered soils［J］.Journal of Applied Physics，1992，71(2):569-574.