基于差分自回歸移動(dòng)平均模型的城市火災(zāi)趨勢預(yù)測

●張曉珺

(杭州市消防支隊(duì)，浙江杭州 310016)

隨著我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展、城市化進(jìn)程加快，城市火災(zāi)的危害程度日益加劇。近年來，城市火災(zāi)的發(fā)生呈現(xiàn)明顯的上升趨勢。城市火災(zāi)的多發(fā)，不僅造成了嚴(yán)重的財(cái)產(chǎn)損失和人員傷亡，而且也影響了城市的經(jīng)濟(jì)建設(shè)和社會政治穩(wěn)定。因此，對城市火災(zāi)的發(fā)展變化規(guī)律進(jìn)行研究顯得尤為重要。而城市火災(zāi)是隨時(shí)間而變化的事件，它是一個(gè)時(shí)間序列，有其自身的特點(diǎn)和規(guī)律。本文以火災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中的火災(zāi)發(fā)生起數(shù)為研究對象，通過研究城市火災(zāi)時(shí)間序列中數(shù)值上的統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系，揭示城市火災(zāi)的發(fā)展變化規(guī)律。

目前，時(shí)間序列預(yù)測方法有經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和機(jī)器學(xué)習(xí)等［1］。一般情況下，預(yù)測的基本數(shù)據(jù)是時(shí)間序列數(shù)據(jù)，也就是按照時(shí)間順序先后存放在數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)，已經(jīng)有不少使用時(shí)間序列模式進(jìn)行預(yù)測的研究成果［2－3］。時(shí)間序列建模的目的之一就是對動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測或預(yù)報(bào)，以便對系統(tǒng)的特性進(jìn)行處理或控制［4］。1968年Box和Jenkins提出了一套比較完整的時(shí)間序列建模理論和分析方法，即著名的“Box－Jenkins法”，它通過經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法建立隨機(jī)模型，如自回歸(AR)模型、移動(dòng)平均(MA)模型、自回歸移動(dòng)平均(ARMA)模型和差分自回歸移動(dòng)平均(ARIMA)模型等，進(jìn)行時(shí)間序列的預(yù)測。

1 ARIMA模型的定義與基本思想

Box－Jenkins法的模型符號一般寫作 ARIMA(p，d，q)(P，D，Q)S。其中，AR代表自回歸模型，MA代表移動(dòng)平均模型，I表示兩種方法的結(jié)合，p代表自回歸階數(shù)，q代表移動(dòng)平均階數(shù)，d代表對含有長期趨勢、季節(jié)變動(dòng)和循環(huán)變動(dòng)的非平穩(wěn)序列進(jìn)行差分處理的次數(shù)，使其平穩(wěn)且符合自回歸模型的需要，P、D和Q分別表示季節(jié)自回歸階數(shù)、季節(jié)差分次數(shù)和季節(jié)滑動(dòng)平均階數(shù)。這樣，可以把該模型的通式寫成以下的形式［1］:

模型由兩部分組成，前半部分是p階的自回歸方程;后半部分是q階的誤差移動(dòng)平均(多項(xiàng)和形式)方程。模型體現(xiàn)了對p階自回歸模型的誤差進(jìn)行q階修正的預(yù)測思想。由于模型以多項(xiàng)和形式出現(xiàn)，因此，p、q可以根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行伸縮，使模型能適應(yīng)于多種類型的時(shí)間序列。

ARIMA模型的基本思想是:將預(yù)測對象隨時(shí)間推移而形成的數(shù)據(jù)序列視為一個(gè)隨機(jī)序列，用一定的數(shù)學(xué)模型來近似描述這個(gè)序列。這個(gè)模型一旦被識別后就可以從時(shí)間序列的過去值及現(xiàn)在值來預(yù)測未來值。

2 城市火災(zāi)的ARIMA模型預(yù)測步驟

2.1 數(shù)據(jù)的預(yù)處理

平穩(wěn)時(shí)間序列可以看作是一種線性轉(zhuǎn)換裝置，它將白噪聲信號轉(zhuǎn)換為所描述的時(shí)間序列。根據(jù)時(shí)間序列的散點(diǎn)圖、自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)圖以ADF單位根檢驗(yàn)其方差、趨勢及其季節(jié)性變化規(guī)律，對序列的平穩(wěn)性進(jìn)行識別。如果一個(gè)序列的平均值和方差始終為常數(shù)，則稱它為平穩(wěn)的。如果數(shù)據(jù)圖呈現(xiàn)線性或非線性趨勢，則時(shí)間序列是不平穩(wěn)的。如果自相關(guān)函數(shù)在前面少數(shù)幾個(gè)值后下降為0，則序列是平穩(wěn)的;如果在前幾個(gè)值后沒有下降為0，而是逐次減少，則序列不平穩(wěn)。

2.2 模型的識別、定階與參數(shù)估計(jì)

對乘積季節(jié)模型的階數(shù)識別及參數(shù)估計(jì)，基本上立足于考察數(shù)據(jù)的樣本自相關(guān)、偏自相關(guān)函數(shù)［5］。如果樣本自相關(guān)、偏自相關(guān)函數(shù)既不截尾也不拖尾，而且不是呈線性衰減趨勢，相反的，在相應(yīng)于周期S的整倍數(shù)點(diǎn)上，自相關(guān)(或偏自相關(guān))函數(shù)出現(xiàn)絕對值相當(dāng)大的峰值并呈現(xiàn)振蕩變化，就可以判斷數(shù)據(jù)序列適合于乘積季節(jié)模型。

關(guān)于差分和季節(jié)差分階數(shù)d、D的選取，可采用試探法，也可利用信息準(zhǔn)則。差分階數(shù)d、D宜取較低階(通常取1、2或3)。若對于某一組d、D得到的自相關(guān)(或偏自相關(guān))函數(shù)呈現(xiàn)較好的截尾或拖尾特性，則認(rèn)為相應(yīng)的d，D是適宜的。利用信息準(zhǔn)則，即定義一個(gè)與模型階數(shù)信息有關(guān)的特征參數(shù)，從而選取使它達(dá)到最小值的階數(shù)作為模型的階數(shù)，其中，Akaike的信息準(zhǔn)則(AIC)是適應(yīng)性非常廣泛的準(zhǔn)則，可用于確定模型的最佳階數(shù)。定義AIC準(zhǔn)則函數(shù)為［1］:

可見，AIC準(zhǔn)則函數(shù)由兩項(xiàng)構(gòu)成，第一項(xiàng)體現(xiàn)模型擬合的好壞，它隨著階數(shù)的增大而變小;第二項(xiàng)標(biāo)志了模型參數(shù)的多少，即模型的復(fù)雜程度，隨著模型參數(shù)的增加而變大。AIC同時(shí)體現(xiàn)了殘差不相關(guān)原則和模型簡潔原則的結(jié)合，并且排除了建模者的主觀因素。

作為對這一方法的改進(jìn)，Akaike和E.J.Haman等人提出了 BIC 準(zhǔn)則［1］:

同樣，使得BIC最小的p值就是最佳階數(shù)。當(dāng)階數(shù)d、D確定后，模型參數(shù)p、q、P、Q的估計(jì)一般采用最大似然估計(jì)和無約束最小二乘。

2.3 模型的診斷檢驗(yàn)

ARIMA乘積季節(jié)模型的診斷檢驗(yàn)，即模型的殘差序列的獨(dú)立性檢驗(yàn)，若殘差序列不是白噪聲序列，說明殘差序列中還存在有用的信息未被提取，需對原模型進(jìn)一步改進(jìn)，從而得到更適合的模型。

2.4 利用已通過檢驗(yàn)的模型進(jìn)行預(yù)測分析

經(jīng)過以上的建模和檢驗(yàn)、判別后，就可以使用人們能夠認(rèn)可的ARIMA模型進(jìn)行逐期遞推預(yù)測，并給出置信區(qū)間。

3 基于ARIMA模型的城市火災(zāi)趨勢預(yù)測

本文以北京市2000～2006年月火災(zāi)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為例(如圖1所示)，建立ARIMA乘積季節(jié)模型并對2007年月火災(zāi)發(fā)生起數(shù)進(jìn)行預(yù)測。

3.1 序列的平穩(wěn)性處理

對北京市2000～2006年火災(zāi)起數(shù)時(shí)間序列觀察其自相關(guān)和偏自相關(guān)圖，并對其進(jìn)行平穩(wěn)性(ADF)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)原時(shí)間序列不平穩(wěn)。為了消除原始數(shù)據(jù)序列的不平穩(wěn)性，本文采用對月火災(zāi)起數(shù)取對數(shù)形式。由于原序列存在趨勢性和季節(jié)性，對原始序列在對數(shù)基礎(chǔ)上進(jìn)行一階差分和一階季節(jié)差分，差分后的序列圖如圖2所示，可見趨勢性和季節(jié)性基本消除，可認(rèn)為是平穩(wěn)序列，但序列圖只能粗略的判斷序列具有平穩(wěn)性，理論上應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn)。應(yīng)用單位根檢驗(yàn)方法，得到ADF Test Statistics結(jié)果為 － 7.234647，1% 臨界值為 － 3.7304，5% 臨界值為 －2.985，10% 臨界值為 －2.6328，可知其平穩(wěn)性，ARIMA模型中d和D應(yīng)取1。

圖1 北京市火災(zāi)發(fā)生起數(shù)時(shí)間序列

圖2 差分后的時(shí)間序列圖

3.2 模型的識別與建立

經(jīng)差分平穩(wěn)后，確定p、q和P、Q:當(dāng)不包含時(shí)滯k=12(或4)、24(或8)等時(shí)，p取落入隨機(jī)區(qū)間之外的偏自相關(guān)系數(shù)PAC的個(gè)數(shù)或與0有顯著差異的PAC的個(gè)數(shù)，q取落入隨機(jī)區(qū)間之外的自相關(guān)系數(shù)ACF的個(gè)數(shù)或與0有顯著差異的ACF的個(gè)數(shù)。當(dāng)僅觀察時(shí)滯k=12(或4)、24(或8)等時(shí)，P取顯著不為0的偏自相關(guān)數(shù)目，Q取顯著不為0的季節(jié)自相關(guān)數(shù)目。由圖3和圖4可以判斷出，p、q分別取1，P和Q分別取0和1，此時(shí)信息量準(zhǔn)則統(tǒng)計(jì)量AIC為804.189，BIC為813.16063，本文所選取的乘積季節(jié)模型為 ARIMA(1，1，1)(0，1，1)12。

3.3 模型診斷檢驗(yàn)

白噪聲殘差檢驗(yàn)見表1，P＞0.05，x2檢驗(yàn)表明不能拒絕殘差不相關(guān)的零假設(shè)，即所建立的模型是合適的。

3.4 模型的預(yù)測

利用 ARIMA(1，1，1)(0，1，1)12模型對2007 年1 至12 月的月火災(zāi)起數(shù)進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果見表2。

圖3 差分后的自相關(guān)圖

圖4 差分后的偏自相關(guān)圖

表1 殘差序列的自相關(guān)檢驗(yàn)

4 結(jié)論

本文以火災(zāi)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中的火災(zāi)發(fā)生起數(shù)為研究對象，利用時(shí)間序列分析中的季節(jié)乘積模型ARIMA對城市火災(zāi)進(jìn)行預(yù)測。以北京市2000～2006年火災(zāi)數(shù)據(jù)為例，建立了預(yù)測模型 ARIMA(1，1，1)(0，1，1)12，進(jìn)而預(yù)測了北京市 2007 年月火災(zāi)發(fā)生起數(shù)，并與實(shí)際值相比較，發(fā)現(xiàn)其絕對誤差與相對誤差都在合理范圍區(qū)間，說明該模型預(yù)測結(jié)果較好，可用于對火災(zāi)作短期預(yù)測，預(yù)測結(jié)果可為消防部門的決策提供科學(xué)依據(jù)。

表2 月火災(zāi)起數(shù)預(yù)測結(jié)果

［1］陳安，陳寧，周龍?bào)J.數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)及應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2006:253－256.

［2］Rakesh Agrawal，Ramakrishnan Srikant.Mining sequential patterns［C］//Proceedings of 11th Conference of Data Engineering，1995:3 －14.

［3］Ramakrishnan Srikant，Rakesh Agrawa.Mining sequential patterns:Generalization and performance improvement［C］//Proceedings of 5th Int.Conf.Extending Database Technology，1996，1057:3 －17.

［4］吳今培，孫德山.現(xiàn)代數(shù)據(jù)分析［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2006:224－230.

［5］涂雄苓，黃月玲.旅游需求預(yù)測的ARIMA乘積季節(jié)模型構(gòu)建及實(shí)證分析——以桂林市為例［J］.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，(1).