裂縫性油氣藏壓裂水平井試井分析

姚 軍，劉丕養，吳明錄

(中國石油大學石油工程學院，山東青島 266580)

非常規油氣藏，如低滲油藏及頁巖氣藏，都普遍有微裂縫發育，屬于裂縫性油氣藏［1-2］。對于這些油氣藏，水平井分段壓裂開發是經濟有效的方法之一［3-6］。Giger［7］首先提出水平井壓裂問題并研究了低滲透油藏中壓裂水平井的滲流場及壓降分布規律［8］。Guo 和 Evans［9-12］利用實空間的點源函數和Newmann乘積原理得到了有多條裂縫的水平井壓力動態解析解。Rbeawi［13］運用 Green函數法求出了均質油藏中具有多條傾斜裂縫壓裂水平井的壓力分布。1991年Ozkan［14］給出了拉氏空間內廣泛的試井模型，考慮了不同的井類型、邊界類型、均質或雙重孔隙介質油藏類型。Raghavan等［15］利用盒狀油藏拉氏空間點源解，采用疊加原理得到了多條橫向裂縫壓裂水平井拉氏空間解。Brown等［16］于2009年提出利用三線性流模型研究非常規油氣藏的壓裂水平井動態，該模型簡單，計算方便，但無法準確表征壓裂水平井各個流動階段。在引用國外先進的試井技術的基礎上，中國工作者提出了一些適用于中國油田的壓裂水平井試井技術。李笑萍［17］討論了具有多條裂縫的壓裂水平井試井分析問題。劉振宇［18］研究了水平井穿越多條裂縫條件下的滲流規律以及裂縫的優化問題，并對壓裂水平井與壓裂直井的產能進行了比較分析。李軍詩［19］對三維壓裂水平井流動進行了簡化，建立了有限導流壓裂水平井非穩定滲流系統模型。筆者將有裂縫發育的介質看作雙重介質，在Ozkan基本點源解的基礎上，推導出不同邊界條件下裂縫性油氣藏分段壓裂水平井單條及多條裂縫生產時的井底無因次壓降求解公式，劃分地下流體的流動形態，分析油藏邊界及裂縫參數對壓力動態的影響。

1 試井解釋模型的建立及求解

1.1 物理模型

在實際的裂縫－孔隙性雙重介質油氣藏中，裂縫和基質巖塊的分布是雜亂無章的，用常規的數學方法很難描述流體在其中的運動規律。為了研究的需要，本文采用Warren-Root模型描述實際的裂縫性油藏。Warren-Root模型認為，流體只能通過裂縫流向井筒，忽略基巖系統的向井流，但在基巖與裂縫系統之間存在竄流，這種模型稱為雙孔單滲模型。

水平井穿過多條裂縫的模型示意圖如圖1所示。假設油藏為雙重介質油藏，地層各向異性，水平等厚，頂底封閉，考慮三種不同的外邊界情況:無限大、封閉及定壓;水平井僅在裂縫交界處射孔;水平井井底總流量固定，各條壓裂裂縫的流量可以不相等;流體在水平井井筒及壓裂裂縫內的流動均為無限導流;地層和流體微可壓縮，且壓縮系數為常數;流體為單相，且在地層中基巖和裂縫系統中的流動均符合達西定律;不考慮重力和毛管力的影響，并假設地層中的壓力梯度較小。

圖1 水平井穿過多條裂縫示意圖Fig.1 Sketch map of horizontal well intersected by multiple fractures

1.2 壓裂水平井井底壓力解

為了統一和簡便，將各變量變換成無因次變量進行相關的計算和研究，各無因次參數定義如下:

式中，l表示 x、y、z方向;kf為裂縫系統滲透率，μm2;h為油藏厚度，m;hw為壓裂裂縫寬度，m;df為壓裂裂縫間距，m;t為時間，s;P 為壓力，10－1MPa;Lxf為壓裂裂縫半長，m;L為參考長度，m;μ為滲流流體黏度，mPa·s;φ 為孔隙度;ct為綜合壓縮系數，MPa－1;下標D表示無因次量，下標f表示裂縫系統，下標m表示基巖系統，下標w表示壓裂裂縫，下標e表示油藏邊界。

1.2.1 單條裂縫時井底壓力解

Ozkan［14］給出的雙重介質頂底封閉四周無限大油藏的點源解為

式(3)即為頂底封閉四周無限大油藏中長為2Lxf、寬為hw的單條壓裂裂縫生產時，地層中任意一點在拉氏空間中的壓降解。同理，可以得到盒狀封閉油藏中一條不完全穿透地層壓裂裂縫的壓降解為

頂底封閉，四周定壓的矩形油藏中一條不完全穿透地層壓裂裂縫壓降解為

1.2.2 多條裂縫時井底壓力解

在數學模型中，假設壓裂的裂縫條數為n，每一條壓裂裂縫都假定擁有不同的特性，并且可以在井筒的任意位置。認為壓裂裂縫都在相同的井筒壓力下生產，即為水平井無限導流能力模型。壓裂裂縫可以是橫向的或者與井筒垂直。水平井總的流量是每一條壓裂裂縫中流出流量的總和，用公式表示為

因此，無因次壓力差可以通過褶積積分來求得，即

式中，PwDi表示微元i處的無因次壓力差，PwDij表示由第j(j=1，2，…，n)條裂縫生產時在第i條裂縫處產生的壓力差。

對式(6)和(7)進行Laplace變換，得

在無限導流能力的假設條件下，水平井井筒中各處保持相等的壓力，可以表示為

寫出每條壓裂裂縫上相應的公式(8)、(9)、(10)的形式，可以得到如下的矩陣方程組:

通過求解該矩陣方程組，可以求得井底壓力解及每條裂縫的產量變化［20］。

1.3 考慮井筒存儲和表皮效應時水平井井底壓力的計算方法

上述計算的水平井井底壓力并沒有考慮井筒存儲和污染的影響。在Laplace空間利用Duhamel原理，引入無因次井筒存儲系數CD和總表皮系數S，得到Laplace空間壓力解的關系［21］如下:

在Laplace空間計算得到水平井井底壓力之后，再利用Stehfest數值反演方法［22］，便可得到真實空間內考慮井筒存儲效應和表皮系數的壓力pD。

2 壓力動態分析

假設水平井存在3條垂直壓裂裂縫，水平井交于裂縫中心。各無因次參數取值為:壓裂裂縫半長LfD=0.2，壓裂裂縫寬度hwD=0.1，水平井長度Lh=1，油藏長度xeD=12，油藏寬度yeD=12，油藏厚度hD=0.1，裂縫系統彈性儲能比ω=0.1，竄流因子λ=0.1，井儲系數 CD=10－5，表皮系數 S=0.01。

將裂縫性油藏看作雙重介質油藏，與單重介質油藏相比存在基巖系統向裂縫系統的竄流，這在壓力導數曲線上表現為一個“凹子”，如圖2所示，“凹子”的深度與位置跟裂縫系統的彈性儲能比及介質內部竄流系數有關。

圖2 不同介質類型壓裂水平井壓力動態對比Fig.2 Comparison of pressure behavior of fracturing horizontal well in different media

圖3 不考慮井儲和表皮的壓裂水平井井底壓力動態曲線Fig.3 Pressure behavior of fracturing horizontal well neglecting storage and skin factor

圖4 裂縫線性流示意圖Fig.4 Sketch map of fracturing lineal flow

如圖3所示，不考慮水平井的井筒儲存及表皮系數時，裂縫性油氣藏壓裂水平井的流動形態分為5種:①壓裂裂縫線性流(圖4)，是指在流動初期地層中流體線性的流向各條壓裂裂縫。在雙對數圖上表現為無因次壓力導數曲線為1/2斜率的直線段。②壓裂裂縫徑向流(圖5)，是指若壓裂裂縫較短，且縫距較大，則在各壓裂裂縫周圍產生水平徑向流動，反之，該流動階段不會出現。該流動段在雙對數診斷圖上表現為無因次壓力導數曲線為一水平直線段。③地層線性流(圖6)，是指在流動中后期，若邊界較遠，產生的流線相互平行，且垂直于水平井軸線的線性流動。該流動段的無因次壓力導數曲線在雙對數圖上為1/2斜率的直線段。④系統徑向流(圖7)，是指對于整個油藏，如果生產時間很長，且壓力波未傳播到邊界，則流體以擬徑向流的形式向水平井及壓裂裂縫區域流動。該流動段在雙對數診斷圖上表現為無因次壓力導數曲線為0.5值水平直線段。⑤邊界影響，是指壓力波傳播到邊界以后，邊界的性質對流體流動狀態的影響。如果油藏具有封閉外邊界，地層中出現擬穩態流動，雙對數診斷圖上表現為無因次壓力導數曲線上翹并與無因次壓力曲線重合;如果油藏具有定壓外邊界，則地層中壓力趨于穩定，形成穩態，雙對數診斷圖上表現為無因次壓力導數曲線急劇下掉，無因次壓力曲線為水平線;如果油藏為無限大邊界，則地層中流體繼續系統徑向流。

圖5 裂縫徑向流示意圖Fig.5 Sketch map of fracturing radial flow

圖6 地層線性流示意圖Fig.6 Sketch map of formation lineal flow

圖7 系統徑向流示意圖Fig.7 Sketch map of formation radial flow

圖8 考慮井儲和表皮的壓裂水平井井底壓力動態曲線Fig.8 Pressure behavior of fracturing horizontal well considering storage and skin factor

如圖8所示，考慮水平井井筒存儲和表皮系數的影響時，井筒的續流段(圖8中的Ⅰ區)和過渡段(圖8中的Ⅱ區)掩蓋了裂縫線性流和裂縫徑向流階段，Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ區分別對應于圖3中③ 、④ 、⑤ 區的流動階段。如果井筒存儲系數更大或表皮系數增大，續流段和過渡段甚至還會掩蓋地層線性流階段，所以實測的壓力曲線中可能觀察不到裂縫早期的流動形態。

3 參數敏感性分析

不同的油藏參數、壓裂裂縫參數及井參數都會對水平井井底壓力動態產生影響。以盒狀封閉油藏中心一口壓裂水平井生產的情況為例分析井底壓力動態對各個參數的敏感性。

3.1 竄流系數對壓力動態的影響

如圖9所示，在雙對數曲線圖上可以看出，竄流出現在系統徑向流階段或流動達到邊界以后，且竄流系數越大，竄流段出現的時間就越早，壓力導數曲線上的“凹子”越靠近左側。

圖9 竄流系數對壓裂水平井井底壓力的影響Fig.9 Effect of interporosity flow on pressure behavior of fracturing horizontal well

3.2 彈性儲能比對壓力動態的影響

圖10 彈性儲能比對壓力動態的影響Fig.10 Effect of storativity ratio on pressure behavior

如圖10所示，彈性儲容比ω對水平井井底壓力動態的早期影響較大，ω越小，早期壓降越大。這是因為ω表示的是裂縫系統的儲油能力，早期流動主要是裂縫系統的流動。另外，ω的大小還決定了竄流持續的時間，ω越小，竄流持續的時間越長，在壓力導數曲線上表現為“凹子”的深度越深、寬度越大。這是因為當裂縫系統壓力降低后，基巖向裂縫補充流體，需要較長的時間才能提高裂縫系統的壓力。

3.3 壓裂裂縫條數對壓力動態的影響

隨著壓裂工藝技術的不斷完善，水平井可以采用分段壓裂技術壓出多條裂縫。由圖11可知:壓裂裂縫條數對壓力動態曲線的影響較大，隨著壓裂裂縫條數的增加，同樣的生產時間時，無因次井底壓降變小。這是由于增大裂縫條數可以使流體更容易流入井底，從而減少了滲流的壓力損失。但是隨著裂縫條數的繼續增加及生產時間的增加，這種效果會越來越不明顯。由此可知，雖然裂縫條數較多能加快油藏的開發速度，但盲目增大裂縫條數會導致開采成本大幅度增長。對一具體油藏，存在一個最佳的裂縫條數值，在保證油藏高效開發的同時，獲得最大的經濟效益。

圖11 裂縫條數nf對壓裂水平井井底壓力的影響Fig.11 Effect of fracture number on pressure behavior of fracturing horizontal wellbore

3.4 壓裂裂縫半長對壓力動態的影響

裂縫長度是影響壓裂水平井生產動態的一個重要因素。圖12為不同裂縫半長條件下的壓力動態曲線。可以看出，隨著裂縫長度的增加，無因次井底壓降變小，但這種變小并不是無限制的。同時還可以觀察到，壓裂裂縫的長度會影響壓裂裂縫徑向流出現的時間。壓裂裂縫越長，壓裂裂縫徑向流出現的時間越晚;當壓裂裂縫很長時，壓裂裂縫徑向流將不會出現。

圖12 裂縫半長Lxf對壓裂水平井井底壓力的影響Fig.12 Effect of fracture half-length on pressure behavior of fracturing horizontal wellbore

在縱向上增加裂縫長度即是增加裂縫寬度，研究發現，增加裂縫寬度對壓力動態的影響與增加裂縫半長對壓降的影響相同。這是因為不論是增加壓裂裂縫的長度還是寬度都是增加了壓裂縫的面積，從而使得流體更容易流向井筒，但裂縫寬度不會影響壓裂裂縫徑向流出現的時間。考慮到經濟及技術因素，對于具體油藏來說，在裂縫條數、儲層滲透率及裂縫導流能力等參數一定時，存在一個最優的裂縫長度及寬度。

3.5 壓裂裂縫間距對壓力動態的影響

如圖13所示，從無因次壓力導數曲線上可以看出，壓裂裂縫間距會影響壓裂裂縫徑向流結束的時間，且縫距越小，壓裂縫徑向流持續的時間越短。這是因為當兩條壓裂裂縫靠近時，相互間的干擾作用就會加劇，使得兩條裂縫中間形成一個低壓區，低壓區形成后，該區域的原油就很難流動，此時水平井的產量主要受裂縫外圍區域流體滲流的影響。隨著滲流區域的擴大，滲流阻力也會相應增加，與較大的裂縫間距相比，小的裂縫間距會使滲流在裂縫徑向流結束后所需的壓降變大，這一點在無因次壓力曲線上可以看出。增大裂縫間距并不會增加施工難度及施工費用，同時裂縫間距的增大可以增加水平井周圍的泄油面積，減小壓裂裂縫間的相互干擾。因此，水平井壓裂設計時應盡可能加大裂縫間距，以提高水平井壓裂效益。

圖13 裂縫間距d對壓裂水平井井底壓力的影響Fig.13 Effect of fracture spacing on pressure behavior of fracturing horizontal wellbore

4 實例驗證

為驗證模型的正確性，取某油田的一個測試實例進行驗證。油藏的基礎參數為:油層平均有效厚度32.5m，平均孔隙度0.2，井筒半徑0.091 m，水平井水平段長度60 m，原油黏度2 mPa·s，原油體積系數 1.05，綜合壓縮系數 4.7 ×10－4MPa－1，測試前該井產量為60 m3/d。應用上述試井解釋模型計算測試井的理論壓力響應，并利用遺傳算法對理論壓力響應與實測壓力響應進行自動擬合［23］，擬合結果如圖14所示。由圖14所示的壓力恢復雙對數擬合結果可得如下試井解釋參數:平均滲透率k=180×10－3μm2，表皮系數 S=0，彈性儲能比 ω =0.199，竄流系數λ=9.89×10－6，裂縫條數 n=3，裂縫半長Lxf=5.8 m。

圖14 測試井理論曲線與實測曲線雙對數擬合圖Fig.14 Type curve matching of theoretical curves and tested curves

5 結束語

利用Green函數法，通過鏡像映射和疊加原理求得了頂底封閉四周無限大、封閉及定壓邊界條件下裂縫性油氣藏壓裂水平井單條裂縫或多條裂縫生產時水平井井底壓力響應的Laplace空間解。裂縫性油氣藏壓裂水平井存在壓裂裂縫線性流、壓裂裂縫徑向流、地層線性流、系統徑向流及邊界影響5種流動形態，并且會出現基巖系統向裂縫系統的竄流。壓裂裂縫條數越多，相同的生產時間時，無因次井底壓降越小，但當壓力波傳播到邊界后，裂縫條數不再對流動造成明顯影響;壓裂裂縫長度及寬度只影響地層線性流之前的流動，增加壓裂裂縫長度或寬度，無因次井底壓降減小，且隨著壓裂裂縫長度的增加，壓裂裂縫徑向流出現的時間越來越晚，當壓力裂縫長度很大時，壓力裂縫徑向流將不會出現;壓裂裂縫間距會影響壓裂裂縫徑向流結束的時間，且縫距越小，壓裂裂縫徑向流持續的時間越短。現場應用實例證明了試井解釋模型的正確性。

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