巧用填補(bǔ)法解決大學(xué)物理電學(xué)非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

魏生賢，邱學(xué)云，晏翠瓊，何禧佳

（1.曲靖師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，云南 曲靖 655011，2.文山學(xué)院 數(shù)理系，云南 文山 663000）

在求解物理問(wèn)題時(shí)，常常因某些物理量分布的非對(duì)稱(chēng)性使問(wèn)題復(fù)雜化，無(wú)法利用公式或定理直接求解，致使問(wèn)題難以求解，甚至無(wú)法求解。填補(bǔ)法又稱(chēng)補(bǔ)償法，就是使一些非對(duì)稱(chēng)分布問(wèn)題，在與原問(wèn)題和物理規(guī)律不相違背的前提下，適當(dāng)補(bǔ)充一些物理?xiàng)l件而變?yōu)閷?duì)稱(chēng)分布，使一些定理或公式得以直接應(yīng)用，將原來(lái)較復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)化，并便于求解的方法［1-4］。因此，填補(bǔ)法在力學(xué)、電磁學(xué)、物理試驗(yàn)中應(yīng)用較為廣泛。本文就填補(bǔ)法在大學(xué)物理電學(xué)非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行詳細(xì)分析，具體討論了填補(bǔ)法在電場(chǎng)強(qiáng)度、電場(chǎng)力、電勢(shì)、角速度、電通量和電阻求解中的應(yīng)用。教學(xué)中引入填補(bǔ)法，并將其應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，可大大簡(jiǎn)化問(wèn)題，便于問(wèn)題的求解和學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)，可使教學(xué)效果事半功倍。

1 利用填補(bǔ)法計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)

1.1 缺口金屬圓環(huán)在其圓心處的場(chǎng)強(qiáng)

如圖1所示，將金屬絲AB彎成半徑為R的圓弧，A、B間留有寬度為d的間隙（d＜＜R）。若缺口圓環(huán)均勻帶電，電荷線密度為λ，試計(jì)算圓心O處的場(chǎng)強(qiáng)。

圖1 缺口金屬圓環(huán)

為便于分析，建立如圖1所示的極坐標(biāo)，Ox穿過(guò)AB間隙的中心。由于d＜＜R，可將AB間隙帶的負(fù)電荷-λd視為點(diǎn)電荷［3,6］。據(jù)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式可得

場(chǎng)強(qiáng)方向由圓心指向AB間隙中心，即Ox正方向。

1.2 挖去小塊面積的均勻帶電球面在其球心處的場(chǎng)強(qiáng)

真空中有一半徑為R的均勻帶電球面，總電量為Q（Q＞0），電荷面密度為+σ，如圖2所示。今在球面上挖去非常小的一塊面積△S（連同電荷），且假設(shè)挖去后不影響原來(lái)電荷的分布。計(jì)算挖去△S后球心處電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向。

分析與解答：挖去部分△S的電荷面密度為零，與同時(shí)存在面電荷密度+σ與-σ等效。將挖去部分用電荷面密度為+σ的球面補(bǔ)上，使之成為均勻帶電球面。此時(shí)，球心處的場(chǎng)強(qiáng)是均勻帶電球面在球心處的場(chǎng)強(qiáng)與挖去部分（電荷面密度為-σ）在球心處的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和，即。

由于Q＞0，球面面電荷密度為σ=Q/（4πR2）。由于球面的電荷均勻分布，由靜電場(chǎng)中的高斯定理可知均勻帶電的球面在球心處的場(chǎng)強(qiáng)=0，所以由于挖去部分△S較小，可視為點(diǎn)電荷［8］。為便于分析，建立圖3所示的極坐標(biāo)，O點(diǎn)位于球心，Ox穿過(guò)△S的中心。由△S上的負(fù)電荷激發(fā)［7-8］，則

圖2 挖去小塊面積的均勻帶電球面

除上述兩種情況以外，還可利用填補(bǔ)法與高斯定理結(jié)合求解無(wú)限大均勻帶電平面圓孔軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)［9-10］，均勻帶電偏心球殼內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)［9，11-13］。

2 利用填補(bǔ)法計(jì)算電場(chǎng)力

在球心為O、半徑為R1、電荷體密度為ρ的均勻帶電球體內(nèi)偏心地挖去一個(gè)半徑為R2的帶電小球（球心為O '），形成如圖3所示空腔球體。設(shè)，試計(jì)算空腔內(nèi)任意一點(diǎn)電荷q所受的電場(chǎng)力［14］。

分析與解答：將挖去小球的空腔視為是在原來(lái)均勻帶電+ρ的球內(nèi)，填進(jìn)一個(gè)均勻帶電-ρ的小球而構(gòu)成的。由疊加原理，空腔中任意一點(diǎn)電荷q所受的電場(chǎng)力可看成是沒(méi)有空腔且電荷體密度ρ均勻分布的帶電球體對(duì)點(diǎn)電荷q所施的電場(chǎng)力與體電荷密度為-ρ的空腔球部分對(duì)點(diǎn)電荷q所施加的電場(chǎng)力之疊加，即

圖3 偏心球殼內(nèi)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)力

上式顯示，點(diǎn)電荷q在空腔內(nèi)受到恒力的作用。

3 利用填補(bǔ)法計(jì)算電勢(shì)

如圖3所示，一半徑為R1的球體均勻帶電，電荷體密度為ρ，球內(nèi)有一半徑為R2的球形空腔，空腔中心O '與球心O相距為c。試計(jì)算空腔中心O '處的電勢(shì)。

分析與解答：根據(jù)上一節(jié)的分析可知，球形空腔為勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)，其中表示O至O'的距離。由填補(bǔ)法分析可知，空腔中場(chǎng)點(diǎn)P的電勢(shì)是半徑為R1、電荷體密度為ρ的大球和半徑為R2、電荷體密度為-ρ的小球產(chǎn)生的電勢(shì)之和，即Vp=V1+V2。

取無(wú)限遠(yuǎn)處的電勢(shì)V∞=0，大球電場(chǎng)分布為［9，15］

利用電勢(shì)的定義，可得大球內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)為

對(duì)于空腔中心O '右r=c，則大球產(chǎn)生的電勢(shì)為

同理，可得小球在O '處產(chǎn)生的電勢(shì)為

由電勢(shì)疊加原理可得點(diǎn)O '處的電勢(shì)為

4 利用填補(bǔ)法計(jì)算角速度

如圖4所示，一個(gè)絕緣的剛性細(xì)圓環(huán)，半徑為R，質(zhì)量為m，可以繞垂直于紙面的軸O自由旋轉(zhuǎn)，但不能平動(dòng)。此環(huán)長(zhǎng)度均勻帶電，電荷量為Q。在A點(diǎn)剪下一個(gè)小缺口，其空隙長(zhǎng)度為l（l＜＜R）。開(kāi)始時(shí)圓環(huán)靜止不動(dòng)，接通一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)E，讓E既垂直于軸O，又垂直于半徑OA。試計(jì)算圓環(huán)旋轉(zhuǎn)的最大角速度。

分析與解答：若該細(xì)圓環(huán)沒(méi)有缺口，由于受到的合力矩為零，將不旋轉(zhuǎn)。如果將缺口處的不帶電看成是單位長(zhǎng)度帶電情況和圓環(huán)帶電情況相同的正負(fù)電荷的疊加所致，因?yàn)閘＜＜R，即可將缺口處的電荷認(rèn)為是點(diǎn)電荷。因此，有缺口的帶電細(xì)圓環(huán)就可等效為一個(gè)電荷線密度為Q/2πR的均勻帶電圓環(huán)和一個(gè)帶電荷量q=Ql/2πR的負(fù)點(diǎn)電荷在缺口處的疊加。顯然，電場(chǎng)只對(duì)負(fù)點(diǎn)電荷產(chǎn)生力矩，當(dāng)點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)90°時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)它做功最多，對(duì)應(yīng)速度最大，即圓環(huán)的角速度最大［16］。

根據(jù)動(dòng)能定理有

圖4 缺口線圈角速度的計(jì)算

故缺口帶電圓環(huán)的最大角速度為

5 利用填補(bǔ)法計(jì)算電通量

如圖5所示，在邊長(zhǎng)為a的正方形平面的中垂線上，距中心O點(diǎn)a/2處，有一電量為q的正點(diǎn)電荷，試計(jì)算通過(guò)該平面的電通量。

分析與解答：依據(jù)題意，正方形平面各面元與源電荷q的距離不等，無(wú)法直接利用公式計(jì)算q的場(chǎng)強(qiáng)通過(guò)該平面的電通量。但可用6個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形平面將q包圍起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正六面體的閉合曲面，q位于正六面體的中心。由高斯定理可知，通過(guò)任意閉合曲面的電通量等于該閉合曲面包圍的電荷的代數(shù)和的1/ε0倍。對(duì)于此問(wèn)題，通過(guò)正六面體構(gòu)成的閉合曲面的電通量為q/ε0。由于q位于正六面體的中心，則通過(guò)正六面體任意一個(gè)面的電通量為總電通量的1/6，即為q/（6ε0）。

圖5 電通量的計(jì)算

6 利用填補(bǔ)法計(jì)算電阻

如圖6所示，P是一塊均勻的半圓形薄電阻片，先將它按圖6（a）中的方式連接在電極A、B間，測(cè)得其阻值為R。試問(wèn)：將電阻片P按圖6（b）的方式與電極A、B相連，其電阻值Rx是多少？

圖6 填補(bǔ)法計(jì)算電阻值

分析與解答：此題若用積分法則較難求解，用填補(bǔ)法卻能輕易求解。若將圖6（a）的半圓形薄電阻片填補(bǔ)成圖6（c）的方式，它相當(dāng)于兩阻值為R的電阻的串聯(lián)，其等效電阻值為2R。將圖6（c）中的電阻片順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得圖6（d），在圖6（d）中，此圓形電阻片的阻值仍為2R，但它相當(dāng)于兩個(gè)P片的并聯(lián)，即有［4］

以上結(jié)果與通過(guò)分割法得到的結(jié)果一致［5］。

7 結(jié)束語(yǔ)

本文利用填補(bǔ)法對(duì)大學(xué)物理電學(xué)中的非對(duì)稱(chēng)物理量（場(chǎng)強(qiáng)、電場(chǎng)力、電勢(shì)、角速度、電通量和電阻）進(jìn)行了實(shí)例分析與解答。分析表明，利用填補(bǔ)法可將非對(duì)稱(chēng)物理問(wèn)題化為對(duì)稱(chēng)的物理問(wèn)題，便于公式或定理的直接應(yīng)用。教學(xué)中應(yīng)重視科學(xué)方法的教學(xué)，將填補(bǔ)法應(yīng)用于教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用科學(xué)的分析方法解決實(shí)際問(wèn)題。一方面可起到拓寬思路，使教學(xué)效果事半功倍；另一方面有利于學(xué)生探索能力和解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)。

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