一類單調(diào)數(shù)列極限的求法

萬為國

（長江大學(xué) 一年級教學(xué)工作部，湖北 荊州 434001）

數(shù)列極限的計(jì)算方法中，單調(diào)有界原理是一種非常有效的方法.有些數(shù)列的極限，用其它方法不一定能求出極限值，用單調(diào)有界原理卻能迎刃而解.應(yīng)用單調(diào)有界原理求極限時，許多情況下，往往是證明數(shù)列單調(diào)增加有上界，或者單調(diào)減少有下界，由此確定數(shù)列有極限.

定理 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.這個定理就是單調(diào)有界原理（證明略）［1］50－55.

還有一類數(shù)列，求它的極限要用到單調(diào)有界原理，卻不清楚它是單調(diào)增加還是單調(diào)減少的.這類數(shù)列極限的求法，可以考慮一種新的思路，先證明它是單調(diào)的，不用知道其增減性，再證明數(shù)列有界，確定極限存在并求值.

這個數(shù)列｛xn｝，既有可能單調(diào)增加，也有可能單調(diào)減少，不妨換一種思路求解.

從而0＜xn＜ max｛x1，x2，x2＋｜x2－x1｜｝，（n∈N），｛xn｝有界，

類似于例2、例3這種類型的數(shù)列，采用例2、例3這種解法，有益于拓寬思路，有時也能簡化解題過程.

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［2］復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊）［M］.北京：高等教育出版社，2002.