帶有臨界指數的非齊次Klein-Gordon-Maxwell方程解的存在性*

趙婧琳, 沈自飛

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

帶有臨界指數的非齊次Klein-Gordon-Maxwell方程解的存在性*

趙婧琳, 沈自飛

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

主要研究了以下一類非齊次Klein-Gordon-Maxwell方程:

解的存在性.在g(x)滿足一定的假設條件下,通過變分方法得出系統解的存在性結論.

Klein-Gordon-Maxwell 方程;山路引理;變分方法;非齊次;Ekland變分原理

0 引 言

主要研究了一類非齊次Klein-Gordon-Maxwell方程

本文主要討論了當g(x)≠0,即方程組為非齊次方程組時解的存在性問題,并得到了方程組至少有2個解,且其中有一個為局部極小值解的結論.

本文的主要結論是下面的定理:

1 預備知識

系統(2)具有變分結構,考慮泛函F:H1(R3)×D1,2(R3)→R,

類似于文獻[1]中所用的方法,為了克服泛函本身的無界性,需要對泛函進行一些簡化.

引理1(u,Φ)是系統(2)的弱解當且僅當它是F在H1(R3)×D1,2(R3)上的臨界點.

證明 由F∈C1(H1(R3)×D1,2(R3),R)知,對于?ξ∈H1(R3),η∈D1,2(R3),F的偏導形式為

由式(4)知,結論顯然成立.引理1證畢.

引理2對于每一個u∈H1(R3),存在唯一的φ=φu∈D1,2(R3),使得系統(2)中的第2式成立.映射Φ：u∈H1(R3)→φu∈D1,2(R3)是連續可導的,且

1)在集合{x|u(x)≠0}上，-ω≤φu≤0;

證明 1)由文獻[1,4]直接可得.

2)為了證明性質2),將系統(2)中的第2式左右同時乘以φu,并分部積分,得

由于 -ω≤φu≤0,因此,

于是

‖φu‖D1,2≤cω‖u‖2≤c‖u‖2.

引理2證畢.

1)ψu是下面方程的解:

2)ψu≤0.

由引理1～引理3可以將泛函進行簡化,考慮泛函E:H1(R3)→R,E(u)=F(u,Φ),

E是C1(R3)的,對任意的u,v∈H1(R3),有

引理4[1]以下結論是等價的:

1)(u,φ)∈H1(R3)×D1,2(R3)是F的臨界點;

2)u是E的臨界點,且φ=φu.

2 定理1的證明

證明 由式(6)及引理2知

‖u‖(a1‖u‖-a2‖u‖2*-1-‖g(x)‖L).

引理6存在v1∈H1，‖v1‖>ρ,使得E(v1)<0.

證明 由式(6)及引理2可知

(8)

由式(8)可知，存在v1=t1u,當t1>0且充分大時,E(v1)<0.引理6證畢.

由引理5和引理6及山路引理可知,存在序列{un}?H1(R3),使得

引理7序列{un}有界.

證明 由式(6)、式(7)和式(9)可知

當t>0充分小時,易得E(tψ)<0,且

[1]Benci V,Fortunato D.Solitary waves of the nonlinear Klein-Gordon equation coupled with the Maxwell equations[J].Rev Math Phys,2002,14(4):409-420.

[2]Benci V,Fortunato D.The nonlinear Klein-Gordon equation coupled with the Maxwell equations[J].Nonlinear Anal,2001,47(9)：6065-6072.

[3]D′Aprile T,Mugnai D.Solitary waves for nonlinear Klein-Gordon-Maxwell and Schr?dinger-Maxwell equations[J].Proc Royal Soc Edinburgh:A,2004,134(5)：893-906.

[4]D′Aprile T,Mugnai D.Non-existence results for the coupled Klein-Gordon-Maxwell equations[J].Adv Nonlinear Stud,2004,4(3)：307-322.

[5]Azzollini A,Pomponio A.Ground state solutions for the nonlinear Klein-Gordon-Maxwell equations[J].Topol Meth Nonlinear Anal,2010,35:33-42.

[6]Cassani D.Existence and non-existence of solitary waves for the critical Klein-Gordon equation coupled with Maxwell′s equations[J].Nonlinear Anal,2004,58(7/8)：733-747.

(責任編輯 陶立方)

SolutionsfornonhomgeneousKlein-Gordon-Maxwellequationswithcriticalexponent

ZHAO Jinglin, SHEN Zifei

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

The existence of solutions for a class of nonhomgeneous Klein-Gordon-Maxwell equations as follows was studied,

Under some assumptions on the nonhomgeneous itemg(x), the existence results of solutions for the system was obtained by variational methods.

Klein-Gordon-Maxwell equations; moutain pass theorem; variational methods; nonhomogeneous; Ekland variational principle

O175.25

A

1001-5051(2013)02-0146-04

2012-11-24

國家自然科學基金資助項目(11271331)

趙婧琳(1987-),女,河南信陽人,碩士研究生.研究方向:非線性泛函分析.