(2+1)-維強排斥玻色-愛因斯坦凝聚體中的解析解*

姜云青， 林 機

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

(2+1)-維強排斥玻色-愛因斯坦凝聚體中的解析解*

姜云青， 林 機

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

運用經典李群方法，以“硬核”玻色子為模型，研究了原子間為強排斥作用的(2+1)維玻色-愛因斯坦凝聚體中的物質波.在特殊情況下，得到了物質波的一些解析解，包括暗孤子解、亮孤子解及周期解.分析了此強關聯體系的物理參量,包括最近鄰格點間的躍遷強度、最近鄰格點間原子的相互作用,對物質波的波速及振幅的影響.

經典李群方法；“硬核”玻色子；玻色-愛因斯坦凝聚；解析解

0 引 言

物質波的非線性動力學已成為當今物理學的研究熱點之一.近年來，稀薄金屬氣體中玻色-愛因斯坦凝聚(簡稱BEC)的實現為非線性物理學的研究開創了新領域.在BEC中，物質波暗孤子是凝聚體密度缺損的一種表現，只存在于凝聚體的內部，而物質波亮孤子本身就是凝聚體,且不同性質的原子間相互作用會形成不同的物質波孤子.對于原子間相互作用比較弱的情形，BEC的動力學問題可由Gross-Pitaevskii(GP)方程[1]來描述：當相互作用為排斥作用時，GP方程有暗孤子解[1]；當相互作用為吸引作用時，GP方程有亮孤子解[2];二維情況下有模擬的孤子解[3]. 實驗上弱相互作用BEC中的暗孤子[4]、亮孤子[5]等也已被成功觀察.對于凝聚原子相互作用比較強的情形，當原子之間為強排斥作用時，玻色體系的行為就如同相互排斥的粒子體系，“硬核”玻色子(hard-core boson (HCB))就能恰如其分地表現這一點，并在此基礎上建立了“硬核”(Bose-Hubbard)模型.一維“硬核”玻色氣體也稱為“Tonks-Girardeau”原子氣[6-7],于2004年在實驗上實現了這一物質狀態[8].

對于強排斥BEC體系，不再用GP方程對其動力學行為進行描述[9-10]，非“GP”型孤子是近期研究的熱點[11].對于“硬核”玻色子體系，一維情形下的暗孤子[12]、亮孤子[13]及其他類型的孤子[14]已被獲得，但現有的數值及解析結果并不多，特別對于高維體系，解析結果更是少.2009年，Balakrishnan等[15]用新的“自旋相干態平均法(spin-coherent state averages)”得出了一維強排斥BEC的新型孤子解[14]. 本文在此工作的基礎上，運用經典李群方法[16]研究了(2+1)維的情形，得出了(2+1)維強排斥BEC中物質波的一系列解析結果.

1 經典李群約化

以近鄰格點原子間存在相互作用的“硬核”Bose-Hubbard為模型，(2+1)維強排斥BEC體的動力學方程為[14]

式(1)中:下標表示對時間變量t和空間變量x,y的求導；η(r),δ(r)分別表示BEC中凝聚原子的局域序參量(local order parameter)和粒子-空穴不平衡變量(particle-hole imbalance variable)；Ue=2(T-V);Ve=Va2;T為Bose-Hubbard模型中最近鄰格點間粒子的躍遷強度;V為引入的最近鄰格點上原子間的相互吸引作用(V>0)(當V<0，即為排斥作用時，所得結果也成立)；a為晶格常數;μ為化學勢.由“自旋相干態平均法”[16]得凝聚序參數η(r)=2-1sin(θ)ejφ(r)；凝聚粒子數密度ρc=|η|2=4-1sin2(θ)；總粒子數密度ρ=sin2(θ/2).這里易得ρc=ρ(1-ρ)，而對于描述弱相互作用的BEC的GP方程，有ρc=ρ.又總粒子數密度ρ與空穴數密度ρh有關系ρh=1-ρ，所以，可得粒子-空穴不平衡變量δ(r)=ρh-ρ=1-2ρ=cos(θ(r)).將η(r),δ(r)代入式(1)中，消去η，得到關于δ,φ的方程組

式(2)中取?=1,m=1.

對方程組(2)，運用經典李群方法，要求方程組(2)的解集在無窮小變換{x,y,t,δ,φ}→{x,y,t,δ,φ}+ε{X,Y,T,ξ,ζ}是不變的，就要求下述方程

成立.式(3)中的Pr(2)V是保持方程組(2)不變的單參數群的向量場(生成元)V=X?x+Y?y+T?t+ξ?δ+ζ?φ的二階延拓

式(4)中系數Kt=?i(K-Xkx-Tkt)+Xkxi+Tkit,Kii=?ii(K-Xkx-Tkt)+Xkxii+Tkiit(K=(ξ,ζ),k=(δ,φ),i=(x,y,t))分別表示一階無窮小和二階無窮小.把式(2)、式(4)代入方程(3)，將含有δ,φ的各階導數合并同類項，使δ,φ各階導數的系數為零，即可得到一系列線性偏微分方程組，解之，可以得到

式(5)中,a1,c1,c2,c3,c4是任意實常數.當a1=0時，通過積分特征方程

可以得到相似變量z和相似解δ,φ為

式(7)中，f(z),g(z)為積分不變量且c1=c2.將式(7)代入方程組(2)，通過E1對z積分得

c是積分常數.再將式(8)代入E2，則可得約化方程

式(9)中，g′,f′,f″分別表示對變量z的一次、二次求導.方程(9)為非線性常微分方程，對其求解，再聯合式(7)、式(8)，則可得到方程(2)關于δ，φ的解.再由上文已知δ(r)=1-2ρ,ρc=ρ(1-ρ)，則可得(2+1)維具有強排斥BEC中物質波ρc的解析解形式.

2 精確解

方程(9)是一個復雜的非線性常微分方程，直接求解非常困難.但是，當方程的參數取某些特定值的情況下，方程(9)存在著一系列解析解.以下給出一系列關于物質波ρc的精確解析解形式，主要有暗孤子、亮孤子及周期解形式.

2.1暗孤子

圖1 物質波暗孤子在t=1時刻的演化圖 圖2 物質波暗孤子隨速度變化圖

2.2亮孤子

情形1

圖3 物質波亮孤子在t=1時刻的演化圖

(13)

v=c1/c3為孤子的傳播速度，只與參量Ue有關.該物質波為一亮孤子，圖3即為t=1時物質波亮孤子的演化圖，具體參數取值為c3=c1=c=1,v=1,b1=0.5.

情形2

則凝聚的粒子數密度為

它是一定態的亮孤子解，如圖4所示，取c3=1.此特殊情形中，有Ue=2(T-V)<0，即要求最近鄰格點間的躍遷強度T小于最近鄰格點上原子間的相互作用V.因此可以得出，當體系中的物理參量μ與T,V取適當的關系時，此凝聚體中的物質波為一定態亮孤子波，此時，強關聯體系的物理量T或V的變化不會引起物質波的變化，即對凝聚體中粒子的空間分布幾率無影響.

圖4 物質波定態亮孤子的演化圖 圖5 物質波定態hump孤子的演化圖

情形3

當Ue=0,c4=(μ?c23)c3,Ve=1,c=0,c1=0時，方程(9)有解

強關聯BEC中的凝聚粒子數密度為

它是一定態的hump孤子，如圖5所示，取參量c3=1.在此情形中，特別是當Ue=2(T-V)=0，即要求最近鄰格點上的躍遷強度T等于最近鄰格點上原子間的相互作用V，并且化學勢μ獨立存在，與變量Ue無關.同上，在此情形中，強關聯體系的物理參量T或V的變化不會影響此hump孤子的寬度及振幅，即不會影響凝聚體中粒子的空間分布幾率.

2.3周期解

圖6 周期性物質波的演化圖

(18)

3 結 論

本文以“硬核”玻色氣體為模型,研究了原子間為強排斥作用的(2+1)維玻色-愛因斯坦凝聚體中的物質波.首先，由具有強排斥作用的玻色-愛因斯坦凝聚體的動力學方程出發，運用經典李群方法，通過約化，得到了一常微分方程,求解此常微分方程，最終得到了物質波的一系列解析解，包括亮孤子、暗孤子與周期解.然后，對這些解的物理意義進行了討論，分析了各種情況下所得的物質波中，強關聯體系中的物理參量如最近鄰格點間粒子的躍遷強度、最近鄰格點上原子間的相互作用對物質波的傳播速度及振幅的影響.

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(責任編輯 杜利民)

Analyticalsolutionsofthe(2+1)-dimensionalstronglyrepulsiveBose-Einsteincondensate

JIANG Yunqing， LIN Ji

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

Using the classical Lie-group method, it was studied a (2+1)-dimensional strongly repulsive Bose-Einstein condensate system known as the hard-core bosons and some analytical solutions were obtained including dark soliton, bright soliton and periodic solutions for the matter wave of the strongly repulsive Bose-Einstein condensate in special cases. It was also elucidated how the factors including the nearest-neighbor hopping parameter and the nearest-neighbor interaction of the system to determine the solution characteristics including the velocities and the amplitudes of the matter waves.

classical Lie-group method; hard-core bosons; Bose-Einstein condensates; analytical solutions

O41

A

1001-5051(2013)02-0182-06

2012-03-08

國家自然科學基金資助項目(11175158)

姜云青(1984-)，女，江蘇淮安人，碩士研究生.研究方向：非線性物理.

林 機.E-mail: linji@zjnu.cn.