一維費米原子系統中的拓撲超流和Majorana費米子*

高先龍, 陳 捷， 陳阿海

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

一維費米原子系統中的拓撲超流和Majorana費米子*

高先龍, 陳 捷， 陳阿海

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

通過數值求解Bogoliubov de Gennes方程，研究了具有自旋軌道耦合作用的一維費米晶格系統的性質.結果表明:在有限的自旋軌道耦合下和一定的磁場強度時，系統具有零能,此時的準粒子即為Majorana費米子.準無序效應研究表明，Majorana費米子不會被弱準無序所破壞.

拓撲超流；光晶格；Majorana費米子;零能；準無序

0 引 言

自1995年超冷原子的玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)實現以來,原子冷卻、捕獲和操縱的技術得到進一步的發展.目前,實驗人員利用光學晶格可以很“干凈”地模擬和仿真出凝聚態物理系統中的許多模型,例如強關聯體系的Hubbard模型[1]和無序體系中的Anderson模型等[2].如今,在冷原子實驗中可以實現單原子分辨技術,可以對幾乎全部實驗參數進行大范圍調節,可以人造規范場,實現有效磁場[3]、自旋-軌道耦合等等[4].這些技術的發展也給理論工作者提出了更多的機遇和更大的挑戰,由此引發了更深更廣的探索.本文的主要目的就是利用冷原子實驗中實現的自旋軌道耦合效應,討論可能出現的拓撲超流和Majorana費米子,以及其中的無序效應.在論述主要研究內容之前,先介紹一下拓撲超流、Majorana費米子、p-波超導及其研究背景.

隨著2005-2006年量子自旋霍爾效應的理論預言[5]及隨后的實驗觀察[6],一類能夠實現量子自旋霍爾效應的量子拓撲態——拓撲絕緣體開始受到廣泛關注,并在理論與實驗兩方面都取得了重要突破.拓撲絕緣體從本質上區別于任何已知的物態,是一種新的量子物態,擁有重要的科學意義.它的體元激發由于能隙的存在而沒有載流子運動,屬于絕緣體,但在系統的邊緣處具有受拓撲保護的無能隙邊緣激發,導致載流子得以在樣品的邊界處傳導.無能隙邊緣激發是具有非阿貝爾統計的任意子(anyons),類似于填充υ=5/2分數量子霍爾效應的Pfaffian態.后者的產生需要外加磁場,破壞了時間反演對稱性,而拓撲絕緣體中的表面電子結構源于體材料中非常強的自旋軌道耦合效應,受到時間反演對稱性的保護,是一種拓撲序態.因而,它的表面態與表面的具體結構無關,完全是由材料的體電子態的拓撲結構所決定.拓撲態的分類可由拓撲量子數決定[7],其方式不同于Landau對稱破缺的范式.

具有非零拓撲數的邊界態的存在對有限體系來說是非常重要的[8].當向拓撲序態引入某種對稱性破缺時,就有可能激發出新奇量子現象,并導致與之相關的量子器件的問世[9].2008年,Fu等[10]論證了拓撲絕緣體和普通的s-波超導體的結合體,利用鄰近效應(proximity effect)產生s-波超導配對電子,其界面電子的性質類似于p-波超導體,因此也可以有Majorana 費米子:一種反粒子就是它本身的粒子(由意大利物理學家Ettore Majorana于1937年提出).在此類體系中產生Majorana 費米子的關鍵是拓撲絕緣體表面態的強自旋軌道耦合作用,以及表面態處Kramer簡并的破壞.也可進一步把拓撲絕緣體和磁性薄膜結合,如最近的實驗,在超導材料——NbSe2單晶表面,以分子束外延法生長出拓撲絕緣體薄膜——Bi2Se3,從而形成了Bi2Se3/NbSe2復合材料體系.此體系具有超導態與拓撲序態共存的特點,為探尋Majorana費米子和進一步調控拓撲絕緣體的拓撲電子態找到了重要的突破口[11-12].2000年,Read等[13]指出二維體系中無自旋的費米子通過p-波超導耦合的低能激發(所謂Bogoliubov準粒子)是Majorana費米子.Kitaev[12]進一步論證了一維p-波超導體的兩端也會出現Majorana費米子,但是在如今的實驗材料中,穩定的p-波超導體很難找到.2010年,Sau的研究團隊[14]意識到半導體二維電子氣中也有強自旋軌道耦合,所以他們進一步簡化Fu等的模型,不用拓撲絕緣體,代之以更常見的半導體材料,并通過磁場破壞時間反演對稱性,從而也得到類似于p-波超導體的Majorana費米子模型.結合Kitaev的工作,一個自然的想法就是用半導體量子線加上超導體來實現一維的p-波超導體,而其邊界就會出現要尋找的Majorana費米子.很快在實驗中[15]把一根半導體量子線放在一塊s-波超導體上,通過鄰近效應在量子線中誘導出s-波配對,然后加上一個平行于量子線的塞曼磁場來破壞時間反演.實驗上能夠調節的參數是磁場的強度和半導體線中的費米能.當這2個參數滿足一定的條件時,量子線的兩端就會出現零能量的Majorana費米子.

目前實現Majorana費米子的方案有:1)一維p-波超導體;2)二維px+ipy體系;3)拓撲絕緣體和超導體組成的異質結;4)自旋軌道耦合的半導體和超導體組成的異質結.那么，還可以在哪些材料或系統中找到Majorana費米子呢?近來，隨著人造規范場的誕生,人們開始對冷原子體系中的自旋軌道耦合產生了興趣[4].在冷原子體系中,利用拉曼光實現人造規范場,隨時間變化的人造規范場可以模擬電場,隨空間變化的人造規范場可以模擬磁場[3].有學者利用人造規范場在玻色系統中通過非Abelian人造規范場產生了自旋軌道耦合效應[3].文獻[16]用40K和文獻[17]用6Li在費米體系中也實現了等權的Rashba-Dresselhaus自旋軌道耦合效應.這樣人們不僅可以在冷原子體系中量子模擬具有自旋軌道耦合的固態系統,還可以在冷原子實驗中實現和操縱更多固態體系中不存在的結構和物理性質[18].

由上所述,不用固體系統中的納米線結構,也可以用一維具有自旋軌道耦合的費米原子氣,加上誘導出的s-波超流和改變不同精細結構粒子數目引入的有效磁場就可以實現對一維拓撲超流和Majorana配對的模擬.早期有用二維冷原子產生Majorana費米子的方案[19]。近期,文獻[20]提出利用光捕獲的一維費米原子氣來產生:通過光子反沖的光學拉曼躍遷耦合原子的2個態,并誘導出有效自旋軌道耦合和有效磁場,再加上三維分子BEC背景誘導的s-波配對,從而得到一個類似于半導體量子線的模型;而Majorana費米子的檢測可用空間分辨的射頻譜(radio-frequency spectroscopy)測量局域態密度,類似于凝聚態體系中的掃描隧道顯微鏡技術.最近，理論物理學家設計用二維具有自旋軌道耦合和超流的費米系統實現Majorana費米子[21-22],討論了準一維體系帶來的新的物理[23];利用二維體系中拓撲超流相中的渦旋激發產生Majorana零模[24-28],用一維具有d-波超流的自旋軌道耦合系統操縱Majorana費米子[29],另外也討論了相互作用對一維費米體系中拓撲相的影響[30].目前，對于拓撲性和無序關系等方面及拓撲表面態的弱局域化和反局域化的研究也已開展[31-32].通過討論一維p-波超導下準無序強度驅動的拓撲超流和Majorana配對[31],發現了通過調節相移及密度調制的p-波超導線可出現零模的Majorana邊界態.研究表明:拓撲超流的邊界態由于其非局域的拓撲性不受局域弱無序所干擾,強局域無序可導致拓撲非平凡的絕緣行為,稱為拓撲Anderson絕緣體[33],冷原子中產生的speckle無序具有空間關聯性,為長程無序,長程無序的體系具有不同的拓撲Anderson絕緣體性質[34〗[35],是個重要的課題.

相比于凝聚態體系,冷原子系統具有一些優勢,如:可產生長量子線,從而實現空間上分離的具有長距離量子關聯的Majorana費米子對,這樣就保證量子計算中的比特數據不受外界的干擾;對三維空間的1個或2個維度進行強束縛可以實現二維或一維系統;相互作用可調;雜質可控:單雜質,準無序,以及speckle無序等在實驗上的實現都很成熟.本文通過對具有自旋軌道耦合的一維晶格系統進行數值研究,結果表明:在磁場強度滿足一定條件時,系統可以出現Majorana費米子,此Majorana費米子對無序具有較強的免疫力.

1 理論模型

筆者將主要考慮受限的具有自旋軌道耦合作用的費米氣,如進一步在y-z平面方向加上強二維光晶格,就會形成很多沿x方向的一維束叢,在其中的一束,原子運動可看成一維的,此方向運動的原子可以用諧振勢、量子環或hard-wall來束縛.如在此方向再加光晶格則可形成一維的晶格系統.自旋軌道耦合可由一對耦合2個自旋態且方向相反的拉曼光來產生,拉曼光沿x方向.以連續體系為例,這樣的準一維體系可由單通道的模型哈密頓量

來描述.式(1)中:

Hint=gdxΨ+↑(x)Ψ+↓(x)Ψ↓(x)Ψ↑(x).

(3)

式(1)和式(2)中：σ=↑,↓表示2個超精細態;Ψσ(x)為x方向質量為m、自旋為σ的費米場消滅算符;ΩR是拉比頻率，描述兩光子拉曼光的耦合強度;kR=(2π)/λR由2束激光的波長λR確定,因此,2?kR為散射中的動量轉移;μ(x)用于描述相應的化學勢,雜質或無序(可為x的函數);Vtrap(x)=(mω2x2)/2描述軸向的諧振束縛勢.為了進一步明確兩光子拉曼散射帶來的自旋軌道耦合,引入局域規范變換以消除拉曼耦合項中的空間依賴性,

這樣原哈密頓量則變為

哈密頓量(5)變為

若在x方向加一足夠深的光晶格,并用Wannier函數展開,則可得到相應具有自旋軌道耦合的晶格體系的模型哈密頓量,

具體每一項為

式(10)中的4項分別描述格點間的動能躍遷同格點的相互作用,自旋軌道耦合和Zeeman場、強度分別為t,U,αR,h.這里的μi可用于描述化學勢、雜質、無序或束縛勢.

對于光晶格中的雜質問題,在實驗中有很多辦法可以操控,如用去共振的渦旋激光場或另一種原子或離子來產生單個雜質,利用激光照射到擴散板上產生隨機分布的speckle無序或通過另一對激光產生準無序.一維體系由在橫向的y-z方向上加很強的二維光晶格來產生,此時可在x方向加額外的諧振束縛原子,或加一光晶格,從而分別實現連續空間和離散空間的準一維Fermi體系.自旋軌道耦合可用前面提到的非Abelian人造規范場技術來產生.所以,在目前的冷原子實驗中實現Hcom0,Hdis0這2種體系是可行的.

本文主要研究光晶格體系所描述的具有自旋軌道耦合的低維混合費米冷原子氣系統,探討其中的拓撲超流性,Majorana費米子的形成和操縱,準無序對體系量子相的影響,特別是拓撲相的影響.

2 數值結果及討論

首先研究方程(10)在配對超流的近似下,

系統的能譜特征,其中Δi描述了格點i處吸引相互作用誘導的s-波配對強度.引入Bogoliubov de Gennes (BdG)變換,可得到BdG方程:

式(12)中,

圖1是均勻配對強度下系統的能譜隨磁場的變化圖,系統具有hard-wall,其他的參數為Δ=0.5,μ=-1,αR=1,L=100(在計算中取能量單位t=1,晶格常數a=1).從圖1中可以看出,系統的能譜具有粒子-空穴對稱性.在有限的s-波配對能隙假設下,能量中正的部分在hc1=1.2處下降到零,并在hc2=3處再次上升,即系統在hc1≤h≤hc2處出現零能,零能的出現意味著系統中的準粒子可能是Majorana費米子,筆者將畫出其波函數,并數值證明其即為Majorana費米子.

在這個系統中,可能的Majorana費米子的出現需要2個條件:存在自旋軌道耦合和磁場,自旋軌道耦合消除Kramer簡并,而磁場則破壞了時間反演對稱性.其中自旋軌道耦合強度的大小對Majorana費米子的出現并沒有太大的影響,如圖2所示,αR=1,2,3,5對應著相同的臨界磁場強度.

圖1 均勻配對強度下系統的能譜隨磁場的變化圖 圖2 能隙和磁場的變化關系

為了驗證零能對應著Majorana費米子的出現,筆者引入Majorana算符,

滿足γA+iσ=γAiσ,γB+iσ=γBiσ.以此可得到相應Majorana費米子的波函數,其與BdG方程本征態的關系為

圖3給出了最低能態n=1對應的自旋向上(圖3(a))和向下(圖3(b))的一對Majorana費米子的波函數,可以看出它們分別局域在系統的左邊界和右邊界處.

Majorana費米子對無序有很強的抵抗力.這里討論冷原子實驗中可以實現的準無序效應,

3 結 論

本文系統介紹了量子自旋霍爾效應、Majorana費米子、拓撲絕緣體、p-波超導體和s-波超流的Majorana費米子等概念以及自旋軌道耦合作用對拓撲量子計算的重要意義.

通過對具有自旋軌道耦合的一維s-波超流費米體系的研究,表明體系在2個臨界的磁場范圍內存在零能區,其對應的準粒子是Majorana費米子,自旋軌道耦合的強度對出現Majorana費米子的參數范圍影響較小,Majorana費米子對準無序具有很強的免疫力.所以,具有自旋軌道耦合的冷原子系統可以用來驗證Majorana費米子的存在,從而提供一個進行量子計算的可操作體系.

今后的研究將涉及到態密度分布、無序參與度等的計算并以此確定準無序的V0-h相圖.其他有意義的研究還包括:不同無序如長程無序和磁雜質或無序對相圖的影響;一維體系中的邊界遷移率問題;相互作用對Majorana費米子的影響等等.

[1]Lewenstein M,Sanpera A,Ahufinger V,et al.Ultracold atomic gases in optical lattices:mimicking condensed matter physics and beyond[J].Adv Phys,2007,56:243-379.

[2]Billy J,Josse V,Zuo Zhanchun,et al.Direct observation of Anderson localization of matter waves in a controlled disorder[J].Nature,2008,453:891-894.

[3]Lin Y J,Compton R L,Jiménez-García K,et al.Synthetic magnetic fields for ultracold neutral atoms[J].Nature,2009,462:628-632.

[4]Lin Y J,Jimenez-Garcia K,Spielman I B.Spin-orbit-coupled Bose-Einstein condensates[J].Nature,2011,471:83-86.

[5]Kane C L,Mele E J.Z2topological order and the quantum spin hall effect[J].Phys Rev Lett,2005,95:146802.

[6]K?nig M,Wiedmann S,Brüne C,et al.Quantum spin hall insulator state in HgTe quantum wells[J].Science,2007,318:766-770.

[7]Wen X G.Quantum field theory of many-body systems[M].New York:Oxford University,2004.

[8]Halperin B I.Quantized hall conductance,current-carrying edge states,and the existence of extended states in a two-dimensional disordered potential[J].Phys Rev B,1982,25:2185-2190.

[9]Winkler R.Spin-orbit coupling effects in two-dimensional electron and hole systems[M].Berlin:Springer-Verlag,2003.

[10]Fu L,Kane C L.Superconducting proximity effect and majorana fermions at the surface of a topological insulator[J].Phys Rev Lett,2008,100:096407.

[11]Wang Meixiao,Liu Canhua,Xu Jinpeng,et al.The coexistence of superconductivity and topological order in the Bi2Se3Thin films[J].Science,2012,336:52-55.

[12]Kitaev A Y.Unpaired majorana fermions in quantum wires[J].Physics-Uspekhi,2001,44:131-136.

[13]Read N,Green D.Paired states of fermions in two dimensions with breaking of parity and time-reversal symmetries and the fractional quantum Hall effect[J].Phys Rev B,2000,61:10267-10297.

[14]Lutchyn R M,Sau J D,Das Sarma S.Majorana fermions and a topological phase transition in semiconductor-superconductor heterostructures[J].Phys Rev Lett,2010,105:077001.

[15]Mourik V,Zuo K,Frolov S M,et al.Signatures of majorana fermions in hybrid superconductor-semiconductor nanowire devices[J].Science,2012,336:1003-1007.

[16]Wang Pengjun,Yu Zengqiang,Fu Zhengkun,et al.Spin-orbit coupled degenerate fermi gases[J].Phys Rev Lett,2012,109:095301.

[17]Cheuk L W,Sommer A T,Hadzibabic Z,et al.Spin-injection spectroscopy of a spin-orbit coupled Fermi gas[J].Phys Rev Lett,2012,109:095302.

[18]Dalibard J,Gerbier F,Juzseliunas G,et al.Artificial gauge potentials for neutral atoms[J].Rev Mod Phys,2011,83:1523-1543.

[19]Zhang Chuanwei,Tewari S,Lutchyn R M,et al.Px+ipysuperfluid froms-wave interactions of Fermionic cold atoms[J].Phys Rev Lett,2008,101:160401.

[20]Jiang L,Kitagawa T,Alicea J,et al.Majorana Fermions in equilibrium and in driven cold-atom quantum wires[J].Phys Rev Lett,2011,106:220402.

[21]Liu Xiaji,Hu Hui.Topological superfluid in one-dimensional spin-orbit-coupled atomic Fermi gases[J].Phys Rev A,2012,85:033622.

[22]Wei R,Mueller E J.Majorana fermions in one-dimensional spin-orbit-coupled Fermi gases[J].Phys Rev A,2012,86:063604.

[23]Zhang R,Wu F,Tang J R,et al.Significance of dressed molecules in a quasi-two-dimensional polarized Fermi gas[J/OL].[2011-08-11].http://arxiv.org/abs/1209.5935.

[24]Zhou Jing,Zhang Wei,Yi Wei.Topological superfluid in a trapped two-dimensional polarized Fermi gas with spin-orbit coupling[J].Phys Rev A,2011,84:063603.

[25]Han W,Zhang S,Liu W M.Spin-orbit coupled Bose-Einstein condensates in spin-dependent optical lattices[J/OL].[2012-11-09].http://arxiv.org/abs/1211.2097.

[26]Zhang Chunwei,Tewari S,Lutchyn R M,et al.Px+ipysuperfluid froms-wave interactions of Fermionic cold atoms[J].Phys Rev Lett,2008,101:160401.

[27]Zhu Shiliang L,Shao L B,Wang Z D,et al.Probing non-abelian statistics of majorana Fermions in ultracold atomic superfluid[J].Phys Rev Lett,2011,106:100404.

[28]Gong Ming,Chen Gang,Jia Suotang,et al.Searching for majorana Fermions in 2D spin-orbit coupled Fermi superfluids at finite temperature [J].Phys Rev Lett,2012,109:105302.

[29]Yan Zhoubo,Yang Xiaosen,Wan Shaolong.Topological superfluid in one-dimensional ultracold atomic system with spin-orbit coupling[EB/OL].[2011-11-08].http://arxiv.org/abs/1111.1952.

[30]Guo Huai,Shen Shunqing.Topological phase in a one-dimensional interacting fermion system[J].Phys Rev B,2011,84:195107.

[31]Lang Lijun,Chen Shu.Majorana fermions in density-modulatedp-wave superconducting wires[J].Phys Rev B,2012,86:205135.

[32]Lu Haizhou,Shi Junren,Shen Shunqing.Competition between weak localization and antilocalization in topological surface states[J].Phys Rev Lett,2011,107:076801.

[33]Groth C W,Wimmer M,Akhmerov A R,et al.Theory of the topological anderson insulator[J].Phys Rev Lett,2009,103:196805.

[34]Girschik A,Libisch F,Rotter S.Topological insulator in the presence of spatially correlated disorder[J].Phys Rev B,2013,88:012401.

[35]Gangadharaiah S,Braunecker B,Simon P,et al.Majorana edge states in interacting one-dimensional systems[J].Phys Rev Lett,2011,107:036801.

(責任編輯 杜利民)

TopologicalsuperfluidandMajoranafermionsinone-dimensionalfermionicatomicsystems

GAO Xianlong， CHEN Jie, CHEN Ahai

(CollegeofMathematics，PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was studied the properties of one-dimensional fermionic atomic systems of spin-orbital couplings by means of numerically solving the Bogoliubov de Gennes equations. It was showed that, under the finite spin-orbital coupling strength and strong enough magnetic field, the system would be of zero energy, which behaved as the Majorana fermions. The effects of the quasi-disorder on the Majorana wave functions were also studied, which had little influence on the localization of the Majorana fermions.

topological superfluid; optical lattice; Majorana fermions; zero energy; quasi-disorder

O562.4

A

1001-5051(2013)04-0372-07

2013-06-03

國家自然科學基金資助項目(11174253)

高先龍(1973-),男,安徽肥西人,教授,博士.研究方向:低維強關聯體系.