電光雙穩混沌系統的廣義同步和相位同步

高春歌，姜永恒，林曉瓏

（吉林大學 物理學院，長春130012）

電光雙穩系統在光通信、光開關和光存儲等領域應用廣泛.目前，該系統在鎖頻、混沌、混沌控制及信息存儲方面的研究結果較多［1－5］，但對信號存儲及通信保密領域混沌同步的研究結果較少［6－7］.混沌同步中廣義同步和相位同步已在實驗中實現，但由于同步發生時2個混沌系統的動力學變量存在較復雜的函數關系，因而不易被發覺［8－12］.廣義混沌同步可通過計算系統全部李指數、找出2個系統間的函數關系及增加輔助系統3種方法判斷是否同步，但相位同步不易確定.本文以電光雙穩混沌系統為例，研究延遲反饋混沌系統間的廣義同步和相位同步.通過分析最大條件李指數（MCLE），找出延遲反饋混沌系統實現廣義同步和相位同步的規律，并研究對混沌系統的混沌控制和反控制.

1 混沌同步方案

在長延時條件下，電光雙穩系統的動力方程可表示［1］為

其中：I為入射光的光強；xn（t）和xn＋1（t）為系統的狀態變量；θ為初始相位；k為消光系數；n＝1，2，….在適當的條件下，該系統的狀態可通過倍周期分岔過程進入混沌狀態.

基于廣義混沌同步的輔助系統判別法，本文提出一種實現混沌系統廣義同步及完全混沌同步的新方法，如圖1所示.該方法包含1個驅動系統和2個完全相同的響應系統.通過驅動系統和響應系統的差值信號驅動響應系統.于是電光雙穩混沌系統的動力學方程可表示為：

圖1 電光雙穩系統混沌同步原理框圖Fig.1 Scheme of chaos synchronization in electro－optic bistable systems

其中q為驅動強度.若q＝0，則3個系統相互獨立；若q＞0，則驅動系統驅動2個響應系統.

2 數值仿真與分析

由混沌理論可知，當2個響應系統實現完全混沌同步時，驅動系統和響應系統即實現了廣義混沌同步.由于MCLE描述了不同初始條件下系統相空間軌道的分離速度.因此，被驅動響應系統的MCLE＜0，表明當響應系統在相空間中的軌道分離呈指數衰減時，可實現2個響應系統間的完全混沌同步.即負的MCLE可作為是否實現廣義同步的判據.

根據方程（2）～（4）可推得響應系統的MCLE表達式為

其中M表示計算時間.本文取M＞20 000.其他參數分別為k＝0.8，θ＝π，I1＝5.5，I2＝4.8，5.5，5.7.由文獻［1］可知，驅動系統和響應系統取上述參數時均處于混沌狀態.由式（5）可得響應系統MCLE隨驅動強度的變化曲線，如圖2所示.由圖2可見，MCLE曲線存在2個負的MCLE區域，即為實現驅動系統與響應系統間廣義混沌同步的參數區間.

圖2 響應系統的MCLE隨驅動強度的變化曲線Fig.2 MCLE of response system changes with the driving stiffness for different initial state

為說明2個區域內廣義同步的差別，本文分析了驅動系統和響應系統的時序圖，如圖3～圖6所示.其中圖3和圖4分別為驅動和響應系統處于不同混沌狀態時2個系統間的同步情況.各參數分別為：k＝0.8，θ＝π，I1＝5.5，I2＝5.7.圖3給出了系統在第一個負的MCLE區域時（驅動強度q＝0.2）響應系統和驅動系統狀態間的關系.其中圖3（A），（B）分別為驅動和響應系統的時序圖及其差值信號的時序圖.由圖3（A）和（B）可見，驅動系統與相應系統間不存在關聯，但由2個相應系統差值信號的時間序列（圖3（C））可見，2個響應系統實現了完全同步.表明在第一個負的MCLE區域內，驅動系統和響應系統間可實現廣義混沌同步.當系統處于第二個負的MCLE區域（q＝0.4）時，響應系統和驅動系統間的狀態關系與圖3相似.表明響應系統和驅動系統在第二個負的MCLE區域也可實現廣義混沌同步.

圖4和圖5分別為驅動和響應系統處于相同混沌狀態時2個系統間的關系，其參數分別為：k＝0.8，θ＝π，I1＝I2＝5.5.由圖4和圖5可見：當驅動系統和響應系統處于相同混沌狀態時，在第一個系統負的MCLE區域內可實現響應系統和驅動系統間的廣義同步，在第二個負的MCLE區域內可實現響應系統和驅動系統及2個響應系統間完全相同的混沌同步；當驅動系統處于周期態，響應系統處于混沌態時，隨著驅動強度的增加，響應系統將由混沌態經分岔過程控制在不同的周期態，且控制達到的最小周期與驅動系統所處的周期相同，即實現了對混沌系統的穩定控制.控制方案仍可用式（2）～（4）表示，差別在于控制方案中的驅動系統或響應系統處于周期狀態，而同步方案中二者均處于混沌狀態.

圖3 初始混沌態不同時驅動和響應系統間的廣義同步（q＝0.2）Fig.3 Diagram of generalized synchronization between drive and response systems initially in different chaotic states with q＝0.2

圖4 初始混沌態相同時驅動和響應系統間的廣義同步（q＝0.2）Fig.4 Diagram of generalized synchronization between drive and response systems initially in the same chaotic state with q＝0.2

圖5 初始混沌態相同時驅動和響應系統間的同步（q＝0.4）Fig.5 Diagram of identical synchronization between drive and response systems initially in the same chaotic state with q＝0.4

圖6為響應系統在不同分岔強度下的倒分岔過程.參數分別為：k＝0.8，θ＝π，I1＝2，I2＝5.5，即驅動系統處于單周期態，響應系統處于混沌態.由圖6可見，當響應系統處于周期態，驅動系統處于混沌態時，隨著驅動強度的增加，響應系統進入混沌狀態.這種現象稱為對響應系統的混沌反控制.

圖7為k＝0.8，θ＝π，I1＝5.5，I2＝4.8時響應系統反控制的分岔過程.由圖7可見，驅動系統處于混沌態，響應系統處于4周期態.由于響應系統從4周期態直接進入4Ⅰ混沌區后進入1Ⅰ混沌區.因此，相同的方案通過改變初始條件，即可實現混沌同步、控制和反控制.

圖6 響應系統在不同驅動強度下的倒分岔過程Fig.6 Inverse bifurcational diagram of response system with the driving stiffness increasing q

圖7 響應系統反控制的分岔過程Fig.7 Bifurcation diagram of anti－control to the response system

綜上，本文運用混沌理論提出一種實現延遲反饋系統間的混沌同步判別方法，并在此基礎上研究了電光雙穩系統廣義同步和完全同步的規律.結果表明，通過改變系統初始條件，可實現電光雙穩系統的混沌控制和反控制.

［1］GAO Jin－yue，Narducci L M，Schulman L S，et al.Hight－Order Bifurcation in a Bistable System with Delay［J］.Phys Rev A，1984，30（2）：901－905.

［2］ZHENG Zhi－ren，GAO Jin－yue.Dynamic Behavior of the Frequency－Locking in a Hybrid Bistable System with Delay and Input Modulation［J］.IEEE J Quantum Electronics，1996，32（3）：549－552.

［3］ZHANG Ying，LI Jian－bin，ZHENG Zhi－ren，et al.Dynamic Storage Function by Chaos Control in a Hybrid Bistable System ［J］.Phys Rev E，1998，57（2）：1611－1614.

［4］ZHENG Zhi－ren，GAO Jin－yue，DONG Po.Capacity of Dynamic Storage in an Electrooptical Bistable System［J］.IEEE J Quantum Electronics，2000，36（4）：425－429.

［5］WANG Xing－yuan，WANG Ming－jun.Chaotic Control of Logistic Map ［J］.Mod Phys Lett B，2008，22（20）：1941－1949.

［6］LI Dong，DENG Liang－ming，DU Yong－xia，et al.Synchronization for Fractional Order Hyperchaotic Chen System and Fractional Order Hyperchaotic R?ssler System with Different Structure［J］.Acta Phys Sin，2012，61（5）：050502.（李東，鄧良明，杜永霞，等.分數階超混沌Chen系統和分數階超混沌R?ssler系統的異結構同步 ［J］.物理學報，2012，61（5）：050502.）

［7］Pecora L M，Carroll T L.Synchronization in Chaotic Systems［J］.Phys Rev Lett，1990，64（8）：821－824.

［8］Goodridge C L，Pecora L M，Carroll T L，et al.Detecting Functional Relationships between Simultaneous Time Series［J］.Phys Rev E，2001，64（2）：026221.

［9］Afraimovich V，Cordonet A，Rulkov N F.Generalized Synchronization of Chaos in Noninvertible Maps［J］.Phys Rev E，2002，66（1）：016208.

［10］Osipov G V，Hu B，Zhou C，et al.Three Types of Transitions to Phase Synchronization in Coupled Chaotic Oscillators［J］.Phys Rev Lett，2003，91（2）：024101.

［11］Kurth J，Boccaletti S，Grebogi C，et al.Control and Synchronization in Chaotic Dynamical Systems［J］.Chaos，2003，13（1）：126－127.

［12］Ticos C M，Rosa E J，Pardo W B，et al.Experimental Real－Time Phase Synchronization of a Paced Chaotic Plasma Discharge［J］.Phys Rev Lett，2000，85（14）：2929－2932.