pq3維半單Hopf代數的結構

董井成，戴 麗

（1.東南大學 數學系，南京210096；2.南京農業大學 工學院，南京210031）

目前，關于有限維半單Hopf代數的分類研究已取得許多結果.設p，q，r是不同的素數.p維、p2維、p3維和pq維半單Hopf代數已被完全分類［1－4］.特別地，Etingof等［5］用Fusion范疇的方法完成了pq2維和pqr維半單Hopf代數的分類；董井成等［6－9］給出了p2q2維和pq3維半單Hopf代數的結構和分類.文獻［6］研究了pq3維半單Hopf代數的結構，其中p，q是滿足條件p＞q3的素數，證明了此類Hopf代數或者是半可解的，或者同構于Radford雙積R＃A，其中：A是q3維半單Hopf代數；R是左Yetter－Drinfeld模范疇Y D中的p維半單Hopf代數.

本文研究pq3維半單Hopf代數的結構，證明了文獻［6］的結論可被推廣到p＞q2的情形，且本文的證明包含了文獻［6］的情形.本文僅在一個特征為零的代數閉域k上討論問題.本文所有模和余模都是k上的有限維左模和左余模，?k和dimk簡記為?和dim.Hopf代數的符號和性質參見文獻［10］.

1 預備知識

假設T是k上的有限維半單Hopf代數.設V是一個T－模.定義V的特征標x＝xV∈T＊為〈x，h〉＝trV（h），?h∈T.定義x的次數為deg x＝〈x，1〉＝dimV.平凡T－模的特征標是余單位ε.用符號Irrt（T）表示T所有t次不可約特征標的集合，即所有t維單模的特征標.

設Irr（T）表示T所有互不同構的不可約特征標的集合，則Irr（T）可以張成T＊的一個子代數［4］，稱為T的特征標代數，用R（T）表示.對極S可以導出一個反代數對合＊：

如果R（T）的子代數S可由T的不可約特征標張成，則稱S為R（T）的標準子代數.因此，如果B是Irr（T）的一個子集，則B可以張成R（T）標準子代數的充分必要條件是：B中任意兩個特征標的乘積仍可分解為B中特征標的和.由文獻［11］中定理6的對偶情形可知，在R（T）的標準子代數與T的商Hopf代數之間存在一一對應關系.

T＊的類群元集合G（T＊）通過左乘（或右乘）作用在集合Irrt（T）上.任取x∈Irrt（T），記x在該作用下的穩定化子為G［x］.它是G（T＊）的子群，并且階數不超過（deg x）2.特別地，g∈G［x］的充分必要條件是g在xx＊的分解中，并且重數為1［11］.因此，可得如下分解式

其中m（y，xx＊）表示y在xx＊分解中的重數.

引理1［12－13］設x是T 的不可約特征標，則：

1）x穩定化子G［x］的階數整除（deg x）2；

2）類群元集合G（T＊）的階數整除n（deg x）2，其中n是非同構的deg x次不可約特征標的個數.

如果d1＝1＜d2＜…＜ds是所有單T－模的維數，ni是非同構的di維單T－模的個數，則稱T具有代數型（d1，n1；…；ds，ns）.如果對偶 Hopf代數T＊具有代數型（d1，n1；…；ds，ns），則稱T 具有余代數型（d1，n1；…；ds，ns）.如果T 具有代數型（d1，n1；…；ds，ns），則T 同構于一組全矩陣代數的直積：

設A是有限維 Hopf代數.對于A的 Hopf子代數B，如果a1BS（a2）?B或S（a1）Ba2?B，?a∈A，則稱B是正規的Hopf子代數.如果A不含有真的正規Hopf子代數，則稱其為單Hopf代數.易驗證A是單Hopf代數當且僅當A＊是單的.

引理2 設π：A→是余正規的商Hopf代數.假設dim是可以整除dimA的最小素數，則有

其中Z（A＊）表示A＊的中心.

命題1 設q是一個素數.如果T有代數型（1，q2；q，m；…），其中q不能整除m，則T＊有一個維數≥2q2的Hopf子代數K，且kG（T＊）是K的一個正規Hopf子代數.

設C是T＊包含xq的q2維單子余代數，則

由文獻［14］中命題3.2.6知，G（T＊）是K∶＝k［C］的正規Hopf子代數，其中k［C］表示由C生成的子代數.易驗證K 是T＊包含kG（T＊）的 Hopf子代數.由于K 由C 生成并包含kG（T＊），故dim K≥2q2.

設π：T→B是Hopf代數同態，考慮其余不變子空間：

則由文獻［15］知，余不變子空間Tcoπ是T在左伴隨作用下穩定的左余理想子代數，并且

綜合文獻［14］的1.3節可得：

引理3 設π：T→B是Hopf代數同態，A是滿足條件A?Tcoπ的T的Hopf子代數.則dimA整除dimTcoπ.

類似于可解群的定義，可給出半可解Hopf代數的定義.如果存在一條Hopf子代數的鏈

則稱T為下半可解的，其中對任意的i，Ti＋1是Ti正規的Hopf子代數，且所有的商Hopf代數Ti／TiT＋i＋1都是平凡的.這里平凡的含義是指這些Hopf代數同構于群代數或對偶的群代數.如果存在一條Hopf商代數的鏈

由文獻［16］中推論3.3可知，T是上半可解的當且僅當T＊是下半可解的.此時，T可以通過多次擴張由平凡的Hopf代數構造.如果T是上半可解的或下半可解的，則稱其為半可解的.

命題2［8］設T是pq3維半單Hopf代數，其中p，q是不同的素數.如果T不是單Hopf代數，則它是半可解的.

R＃A具有如下性質：設T是一個有限維Hopf代數并帶有Hopf代數同態ι：A→T和π：T→A.如果πι：A→A是一個Hopf代數同構，則左余理想子代數R＝Tcoπ具有A 上自然的Yetter－Drinfeld Hopf代數結構，并且R＃A→T可導出一個Hopf代數同構.

用D（T）＝T＊cop??T表示T的Drinfeld偶，作為向量空間D（T）即為T＊cop?T，是一個具有特殊結構的Hopf代數［10］.由文獻［19］中命題9和命題10可得：

定理1 設T是一個有限維Hopf代數，則：

2）D（T）＊的每個類群元都具有形式g?η，其中：g∈G（T）；η∈G（T＊）.進一步，g?η∈G（D（T）＊）當且僅當η??g在D（T）的中心內.

推論1 設T是一個有限維Hopf代數，G（D（T）＊）是一個非平凡的群.如果G（D（T）＊）包含元素g?η，其中g和η的階數不同，則T和T＊均有一個非平凡的中心類群元.特別地，T不是單Hopf代數.

證明：假設1≠g∈G（T），否則η∈G（T＊）將是T＊一個非平凡的中心類群元.類似地，可以假設ε≠η∈G（T＊）.設g的階數是n，則

即ηn??1在D（T）的中心.因此，ηn是T＊一個非平凡的中心類群元.類似地，可證明T也含有一個非平凡的中心類群元.

2 主要結果

考慮分解式（2），易見當q2＜p＜q3時，單T－模的維數只能是1，q，q2或p，而當p＞q3時，單T－模的維數只能是1，q，q2或q3.因此，可得：

其中a，b，c均為非負整數.

由 Nichols－Zoeller定理［12］知，G（T＊）的階整除dimT.

引理4 如果q2＜p＜q3，則G（T＊）的階數不可能是q和pq；如果p＞q3，則G（T＊）的階數不可能是p，q和pq.

1）T不是單Hopf代數；

設x是一個p次不可約特征標.顯然，G［x］≠｛ε｝，否則由式（1）知，xx＊的分解將會導出矛盾p2＝1＋mp，其中m 是某個正整數.即G［x］＝G（T＊）.進一步，由文獻［14］中引理2.1.4知，G［x＊］＝G（T＊）.因此，設C是包含x的T＊的單子余代數，則由文獻［14］中注3.2.7知，C／C（kG（T＊））＋是一個余交換的余代數.再由文獻［14］中推論3.3.2知，余代數T＊／T＊（kG（T＊））＋是余交換的.

命題3 設T具有代數型（1，q2；q，m；…）且q不整除m，則：

1）如果T具有余代數型（1，q2；q，n；…）且q不整除n，則T或者不是單的，或者同構于Radford雙積R＃A，其中A是q3維的非平凡自對偶半單Hopf代數；

3）如果p≠1（mod q），則T不是單Hopf代數.

證明：由命題1，T＊有一個維數≥2q2的Hopf子代數K，且K包含kG（T＊）作為其正規Hopf子代數.根據 Nichols－Zoeller定理［12］dim K 整除dimT＊，故dim K＝pq3，pq2或q3.

如果dim K＝pq3，則K＝T＊.由于kG（T＊）在T＊中是正規的，故T＊不是單Hopf代數，從而T不是單Hopf代數.如果dim K＝pq2，則由文獻［21］中主要結論知T＊也不是單Hopf代數.如果dim K＝q3，則K 具有余代數型（1，q2；q，q－1）.

下面考慮由包含關系K?T＊導出的Hopf代數同態π：T→K＊.由dim Tcoπ＝p，如果存在1≠g∈G（T）滿足g∈Tcoπ，則群代數k〈g〉包含在Tcoπ中，其中〈g〉表示由g生成的循環群.這是因為Tcoπ是T的子代數，其中元素的乘積具有封閉性.由于dimk〈g〉不整除dim Tcoπ，故與引理3矛盾.因此，作為T的左余理想，有分解：

其中Ui，Vj和Wk分別是T的q維，q2維和q3維不可約左余理想.當q2＜p＜q3時式（5）中的Wk不存在.

1）如果T具有給定的余代數型，則T或者不是單Hopf代數，或者有一個q3維的Hopf子代數A，且A 具有余代數型（1，q2；q，q－1）.

一方面，根據A和Tcoπ分解成不可約左余理想直和的分解式，有

其中n是非負整數.另一方面，由文獻［14］中引理1.3.4知，

因此，n＝0，A∩Tcoπ＝k1.從而π：A→ K＊是一個 Hopf代數同構.由 Radford投射定理［18］，T?Tcoπ＃A是一個Radford雙積.由同構及A和K的余代數型知，A是非平凡的.因此，A是自對偶的，并且是文獻［3］中構造的某個半單Hopf代數.

2）通過分析易得kG（T）∩Tcoπ＝k1.因此，作為Hopf代數，kG（T）同構于K＊.于是，由Radford投射定理［18］知，T?R＃kG（T）是一個Radford雙積.

3）如果p≠1（mod q），則分解式（5）不可能成立，因而T不是單Hopf代數.

1）T或者不是單Hopf代數，或者同構于Radford雙積R＃A，其中A是q3維的半單Hopf代數；

2）如果p≠1（mod q），則T不是單Hopf代數.

綜上，本文在p＞q2的假設下考察了G（T＊）的每個可能階數.因此結合命題2，可得本文的主要結果：

定理2 設T是一個pq3維半單Hopf代數，其中p，q是滿足條件p＞q2的素數，則T或者是半可解的，或者同構于Radford雙積R＃A，其中：A是q3維半單Hopf代數；R是左Yetter－Drinfeld模范疇Y D中的p維半單Hopf代數.

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