復射影空間中具有常平均曲率的全實子流形

劉 敏

（安徽師范大學 數學計算機科學學院，安徽 蕪湖241000）

0 引 言

設CPn＋p是具有Fubini－Study度量的復n＋p維復射影空間，全純截面曲率為常數4.設J為CPn＋p的復結構，Mn為CPn＋p的實n維子流形.如果Mn上每點切空間被J變換到自身，則稱Mn是CPn＋p的全純子流形.反之，若Mn上每點的切空間被J變換到該點法空間，則稱Mn為CPn＋p的全實子流形.

關于CPn中的全實子流形研究目前已有許多結果［1－3］.沈一兵［4－5］討論了CPn＋p中全實極小子流形，得到了關于數量曲率、Ricci曲率和截面曲率的Pinching定理：

定理1 設Mn是CPn＋p中緊致全實極小子流形，若

則M全測地.

定理2 設Mn是CPn＋p中緊致全實極小子流形，若Q＞n－2，n≥4，則M全測地.

定理3 設Mn是CPn＋p中緊致全實極小子流形，若

則M全測地.其中：S是M 的第二基本形式模長平方；K，Q分別是M 的截面曲率和Ricci曲率下確界.

本文將上述結果推廣到具有常平均曲率的全實子流形，得到如下結果：

注1 當H＝0時，定理4即為定理1.

定理5 設Mn是CPn＋p中的n維具有常平均曲率的緊致全實偽臍子流形，若Mn的Ricci曲率的下確界Q＞n－1＋（n－1）H2，n≥4，則Mn全測地.

關于第二基本形式模長平方S，有：

定理6 設Mn是CPn＋p中的n維具有常平均曲率的緊致全實偽臍子流形，則

定理7 設Mn是CPn＋p中的n維緊致全實偽臍子流形，且Mn的平均曲率為常數，則Mn具有平行平均曲率向量.

1 預備知識

設Mn是CPn＋p中實n維全實子流形，J為CPn＋p的復結構.在CPn＋p上選取局部規范正交標架場：

使得限制于Mn，｛e1，…，en｝與Mn相切，約定各類指標的取值范圍為：

用｛ωA｝表示｛eA｝的對偶標架場，則CPn＋p的結構方程為

其中：

這里（JAB）為線性變換J關于｛eA｝的變換矩陣，即

其中In＋p為n＋p階單位矩陣.

將上述形式限制在M上，則有：

其中Rijkl和Rαβij分別是Mn的Riemann曲率張量場和法曲率張量場關于｛eA｝的分量.進一步，Mn的平均曲率向量場ξ、平均曲率H與第二基本形式模長平方S及數量曲率ρ可表示為

引理1［6］設A1，A2，…，Am是m 個n階對稱矩陣（m≥2），則

引理2［7］設Mn是CPn＋p中的n維全實子流形，用TMn和T⊥Mn分別表示Mn的切叢和法叢，V＝J（TMn），V⊥表示V在T⊥Mn中的正交補叢，即T⊥Mn＝V⊕V⊥，ξ是Mn的一個平行臍性法向量場，則ξ必位于V⊥中，即ξ∈C∞（V⊥）.

2 定理的證明

由引理2選取en＋1與平均曲率向量ξ平行，結合Mn是偽臍，則

由式（4），（9），（11），（16）得

由式（17），（18），對任意實數a，有

引理3 設Mn是CPn＋p中的n維緊致全實子流形，其平均曲率H為常數，則

證明：由

2.1 定理4的證明

不等式（20）兩邊與標架選取無關，故關于α求和可得

此外，由文獻［9］，有

由式（19），（21）～（23）得

由式（25）可見，當

時，有S＝0，即Mn全測地.

另一方面，由文獻［10］又有

由式（19），（21），（26）有

2.2 定理5的證明

即

從而

由式（13）有

在式（19）中取a＝－1，利用式（23），（24），（29），（30）有

將式（31）兩邊積分有

故當Q＞n－1＋（n－1）H2時，S＝0，即Mn全測地.

2.3 定理6的證明

在式（19）中取a＝－1，由引理3有

2.4 定理7的證明

由式（16）及文獻［10］并結合H 為常數有

則

另一方面，由式（16）可得

由式（33），（34）得

再結合式（32）的第一式有

從而Mn具有平行平均曲率向量.

注3 由定理7知，關于CPn＋p中緊致具有常平均曲率的全實偽臍子流形研究可轉化為緊致具有平行平均曲率向量的全實偽臍子流形的研究.

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