主子陣約束下廣義自反矩陣的廣義特征值反問題

周 碩，韓明花，季本明

（東北電力大學 理學院，吉林 吉林132012）

0 引 言

矩陣及其特征值反問題在科學和工程計算中應用廣泛［1－7］.矩陣的廣義特征值反問題是根據給定的特征值及（或）特征向量的信息和附加條件，討論Ax＝λBx成立的條件及通解表達式［2－5］.離散系統的擴充問題實際上是矩陣的擴充問題，矩陣擴充問題即為子矩陣約束下的矩陣反問題，因此研究矩陣擴充問題對矩陣理論及其實際應用具有重要意義［5－7］.廣義反射陣P的自反陣與反自反陣在工程技術和科學計算等領域應用廣泛［8－11］.文獻［2］研究了廣義反自反矩陣的廣義特征值反問題；文獻［3］研究了矩陣A，B分別為廣義自反矩陣和廣義反自反矩陣時的廣義逆特征值問題；文獻［5］利用矩陣對的廣義奇異值分解研究了子矩陣約束下中心對稱矩陣束的最佳逼近問題.本文利用矩陣對的商奇異值分解［12］方法，研究主子陣約束下廣義自反矩陣的廣義特征值反問題及其最佳逼近，并討論了最佳逼近解的數值穩定性.

定義1 設P∈Cn×n，若P＝PH，P2＝In，則稱P為廣義反射陣.

定義2［8］設P∈Cm×m，Q∈Cn×n為廣義反射陣，A∈Cm×n，若A＝PAQ，則稱A 為關于矩陣對（P，Q）的廣義自反矩陣.所有m×n階關于矩陣對（P，Q）的廣義自反矩陣全體記為（P，Q）；若A＝－PAQ，則稱A為關于矩陣對（P，Q）的廣義反自反矩陣.所有m×n階關于矩陣對（P，Q）的廣義反自反矩陣全體記為（P，Q）.

問題1 給定X＝（x1，x2，…，xk）∈Cn×k，Λ＝diag（λ1，λ2，…，λk）∈Ck×k和廣義反射陣P∈Cm×m，Q∈Cn×n，A0，B0∈Cq×q，求矩陣A，B∈Cm×nr（P，Q），使得

其中A（1∶q）和B（1∶q）分別是矩陣A和B的前q階順序主子陣.

其中SE為問題1的解集.

當P，Q∈Rn×n為對稱正交矩陣（即P＝PT＝P－1）時，問題1和問題2轉化為主子陣約束下廣義中心對稱矩陣的廣義特征值反問題；當P＝Q＝Sn時，問題1和問題2轉化為主子陣約束下中心對稱矩陣的廣義特征值反問題［5］.

1 問題1的求解

引理1［8］設P∈Cm×m，Q∈Cn×n為廣義反射矩陣，則存在一個m×m階酉陣U和一個n×n階酉陣V，使得P，Q的譜分解為

對文獻［9］的相關結果進行推廣，可得如下引理.

引理2 設A∈Cm×n，P∈Cm×m，Q∈Cn×n為廣義反射矩陣，且P，Q 的譜分解為式（3），則A∈Cm×nr（P，Q）為廣義自反陣當且僅當

引理3 對給定的X＝（x1，x2，…，xk）∈Cn×k，Λ＝diag（λ1，λ2，…，λk）∈Ck×k，矩陣方程AX＝BXΛ恒有解A，B∈Cm×n，且其解可表示為

其中：G∈Cm×（2n－r）是任意矩陣；U2∈C2n×（2n－r）是單位列酉陣，且

引理4 對給定的 X＝（x1，x2，…，xk）∈Cn×k，Λ＝diag（λ1，λ2，…，λk）∈Ck×k和廣義反射陣P∈Cm×m，Q∈Cn×n，矩陣方程AX＝BXΛ恒有解A，B∈Cm×nr（P，Q），并且其解可表示為

引理1給出了廣義反射矩陣的譜分解形式，引理2～引理4是對文獻［9］中相關結果的推廣，給出了廣義自反矩陣的結構、廣義特征值反問題AX＝BXΛ有一般解及廣義自反解的形式.

在引理4的基礎上，可得AX＝BXΛ的廣義自反解，再利用廣義自反矩陣的結構及主子矩陣約束，可得問題1有解的充要條件及解的表達式.

記（Iq，0）U＝（D1，D2），其中：D1∈Cq×t；D2∈Cq×（m－t）.設D1，D2的商奇異值分解為

其中：E∈Cq×q為可逆矩陣；R∈Ct×t和F∈C（m－t）×（m－t）均為酉陣；

S＝diag（α1，α2，…，αs1）＞0；s1＝rank（D1）＋rank（D2）－l1；l1＝rank（D1，D2）；t1＝l1－rank（D2）；0，O1，O2為相應階數的零矩陣.

設

定理1 給定X＝（x1，x2，…，xk）∈Cn×k，Λ＝diag（λ1，λ2，…，λk）∈Ck×k和廣義反射陣P∈Cm×m，Q∈Cn×n，A0，B0∈Cq×q，則問題1有解的充要條件是

其中X31，X32，X33，X13，X23，X22，Y11，Y12，Y13，Y21，Y31為相應階數的任意矩陣.

進而式（16）可轉化為

即

將式（9）和式（11）～（13）代入式（19），可得

則式（17）成立當且僅當式（14）成立，同時可解得

將式（20）代入式（12）可得式（15），故問題1解的一般形式為式（6）.

2 問題2的求解

證明：設

其中：G1＝（g1ij）；G2＝（g2ij）；E1＝（e1ij）；E2＝（e2ij）；F1＝（f1ij）；F2＝（f2ij）∈Rm×n.

令f（G）＝‖G－E‖2＋‖Λ1GΛ2－F‖2，則

由式（22）知f（G）＝min等價于

而

要使f1（G）最小，當且僅當

與式（12）的分塊形式相同.

定理2 對給定的 X＝（x1，x2，…，xk）∈Cn×k，Λ＝diag（λ1，λ2，…，λk）∈Ck×k和廣義反射陣P∈Cm×m，Q∈Cn×n，A＊，B＊∈Cm×n，問題1的解集由式（6）給出，則問題2有唯一最佳逼近解∈SE，可表示為

其中：

證明：由定理1及式（23），可得

故‖（A，B）－（A＊，B＊）‖＝min等價于

由式（25）及引理5可得問題2的解為式（24）.

3 最佳逼近解的穩定性

引理6 已 知 Δ＝ （xij）∈Cs1×s2，S＝diag（α1，α2，…，αs1），α1≥α2≥ … ≥αs1＞0，C＝diag（β1，β2，…，βs2），β1≥β2≥…≥βs2＞0，則

證明：由

可得式（26）成立.

引理7 已知ΔM22＝（mij）∈Cs1×s2，ΔN22＝（nij）∈Cs1×s2，Δ＝（xij）∈Cs1×s2，Φ＝（φij）∈≥βs2＞0，Δ＝Φ＊（ΔM22－S（ΔN22）C），則

證明：由

可得

而

故由引理6和式（26），可得式（27）.

證明：由定理2及F范數的酉不變性，有

由引理6和引理7，得

而

于是，由式（29）知

因此，公式（28）成立，證畢.

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