一類具局部化源的快擴(kuò)散方程解的熄滅

孟繁慧，高文杰

（1.長(zhǎng)春金融高等專科學(xué)校，長(zhǎng)春130028；2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)春130012）

0 引 言

考慮如下快擴(kuò)散方程：

解的熄滅性質(zhì).其中：0＜m＜1；a，q＞0；Ω是?N（N≥1）中的有界光滑區(qū)域；x0是Ω中的一個(gè)固定點(diǎn)；非負(fù)函數(shù)u0∈L∞（Ω）.該模型是一個(gè)耦合局部化源的快擴(kuò)散方程，具有較強(qiáng)的物理和生物學(xué)背景，可以用來(lái)描述具有內(nèi)部源的流體在多孔介質(zhì)中的擴(kuò)散或種群密度的變化規(guī)律［1－3］.

解的有限時(shí)刻熄滅與解的有限時(shí)刻爆破相對(duì)應(yīng)，也是發(fā)展型方程的一個(gè)重要性質(zhì).自Kalashnikov［4］通過(guò)比較 Cauchy問(wèn)題：

的解及其顯式解

提出解的有限時(shí)刻熄滅概念以來(lái)，關(guān)于該問(wèn)題的研究已引起人們廣泛關(guān)注.目前，發(fā)展方程解的熄滅理論已日趨完善［5－12］.特別地，如下形式的快擴(kuò)散方程：

得到了廣泛研究，其中0＜m＜1.當(dāng)f（u）＝auq，a，q＞0時(shí)，借助積分估計(jì)和Sobolev嵌入定理，李玉祥等［13］證明了：如果q＞m，則對(duì)適當(dāng)小的初值u0，問(wèn)題（2）的唯一解在有限時(shí)刻熄滅；如果q＜m，問(wèn)題（2）的最大解在Ω內(nèi)是恒正的；對(duì)于臨界情形q＝m，問(wèn)題（2）的解是否熄滅取決于－Δ在Ω上第一特征值的大小.田婭等［14］和尹景學(xué)等［15］分別對(duì)p－Laplace方程證明了類似的結(jié)論.當(dāng)

時(shí)，韓玉柱等［16］證明了該問(wèn)題的臨界熄滅指標(biāo)為q＝m.與具局部源相對(duì)應(yīng)的問(wèn)題為：當(dāng)q＝m時(shí)，問(wèn)題（2）的解是否熄滅取決于aμ的大小.這里μ＝∫Ωφ（x）dx，φ（x）是如下線性橢圓方程的唯一正解：

基于上述結(jié)果，本文研究問(wèn)題（1）解的臨界熄滅指標(biāo).

1 預(yù)備知識(shí)

當(dāng)m＞1時(shí)，問(wèn)題（1）是退化的；當(dāng)0＜m＜1時(shí)，問(wèn)題（1）是奇異的，所以它沒(méi)有古典解.為了對(duì)問(wèn)題（1）定義恰當(dāng)?shù)娜踅猓瑢?duì)任意的0＜T＜∞，記

引入如下檢驗(yàn)函數(shù)類：

定義1 如果函數(shù)u∈L∞（QT）滿足下列條件：

1）u（x，0）≤（≥）u0（x），x∈Ω；

2）u（x，t）≤（≥）0，（x，t）∈ΓT；

3）對(duì)任意的t∈（0，T）和任意的ξ∈F，

則稱函數(shù)u是問(wèn)題（1）在QT上的一個(gè)弱下解（弱上解）.如果u既是弱上解、又是弱下解，則稱u是問(wèn)題（1）在QT上的一個(gè)弱解.

線性橢圓方程解具有相關(guān)性質(zhì)：

本文令φ（x）為式（3）的唯一正解，并記

問(wèn)題（1）弱解的局部存在性證明過(guò)程是標(biāo)準(zhǔn)的［17］.考慮如下正則化問(wèn)題：

這里選取T＞0適當(dāng)小，使得對(duì)任意的k∈?，問(wèn)題（4）在QT上存在唯一正解uk（x，t），且‖uk‖L∞（QT）關(guān)于k是一致有界的.事實(shí)上，對(duì)任意的k∈?，下述常微分方程Cauchy問(wèn)題的解都是問(wèn)題（4）的一個(gè)上解：

選取T＞0為問(wèn)題（5）的最大存在區(qū)間即可.此外，由一致拋物型方程的比較原理［18］可知，若k＜l，則1／l≤ul≤uk.

下面定義有界函數(shù)Φk和Fk，使其滿足

進(jìn)一步可得

用類似文獻(xiàn)［17］的方法選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)函數(shù)ξ并借助Gronwall不等式可得u≤uk，從而u（x，t）≤U（x，t）.如果v是問(wèn)題（1）的一個(gè)下解，則同理可得v≤U.于是，U（x，t）是問(wèn)題（1）的最大解，且滿足下解比較原理.

類似上述過(guò)程可得：

命題1 假設(shè)v和u分別是問(wèn)題（1）在QT上的非負(fù)上、下解，且存在δ＞0，使得u≥δ，則u≤v于QT.

2 主要結(jié)果

定理1 如果q＞m，則當(dāng)初值u0適當(dāng)小時(shí)，問(wèn)題（1）的解在有限時(shí)刻熄滅；如果q＝m且aμ＜1，則問(wèn)題（1）的解對(duì)任意有界非負(fù)初值都在有限時(shí)刻熄滅.

證明：首先證明q＝m且aμ＜1的情形.通過(guò)構(gòu)造一個(gè)在有限時(shí)刻熄滅的上解完成證明.設(shè)φ1（x）是問(wèn)題

的唯一正解，這里區(qū)域Ω1滿足Ω?Ω1.如果記

則由線性橢圓方程的強(qiáng)極值原理可知μ1＞μ，δ＞0.其中μ＝∫Ωφ（x）dx，φ（x）是問(wèn)題（3）的唯一正解.注意到方程（6）的解對(duì)區(qū)域Ω1有連續(xù)依賴性及假設(shè)aμ＜1，從而可以選取適當(dāng)?shù)膮^(qū)域Ω1?Ω，使得aμ1＜1.設(shè)g（t）是下述常微分方程初值問(wèn)題的唯一解：

此外，對(duì)任意給定的0＜T＜T0，存在正常數(shù)C1，C2，使得

固定滿足上述條件的常數(shù)k可知，當(dāng)初值u0（x）適當(dāng)小使得u0（x）≤v（x）成立時(shí)，v（x）即為問(wèn)題（1）的一個(gè)上解.此外，它還是有正下界的.由命題1可得

從而u（x，t）是下述問(wèn)題的弱下解：

定理2 如果q＜m或q＝m且aμ＞1，則對(duì)任意非負(fù)初值u0（x），問(wèn)題（1）的最大解U（x，t）是不熄滅的.

證明：由于問(wèn)題（1）的最大解U（x，t）滿足下解比較原理，所以為證明定理的結(jié)論，只需構(gòu)造一個(gè)不熄滅的下解即可.設(shè)v（x，t）＝g（t）φ1／m（x），其中φ（x）是問(wèn)題（3）的唯一正解.如果g（t）滿足如下常微分方程：

則g（t）是單調(diào)不減且上方有界的.此外，容易驗(yàn)證v（x，t）是問(wèn)題（1）當(dāng)q＜m時(shí)的一個(gè)不熄滅下解.事實(shí)上，當(dāng)x∈Ω時(shí)，v（x，0）＝0≤u0（x）；當(dāng)x∈?Ω時(shí)，v（x，t）＝0，且v（x，t）（在弱的意義下）滿足：

如果q＝m且aμ＞1，選取g（t）使其滿足：

同理可驗(yàn)證v（x，t）是問(wèn)題（1）的一個(gè)不熄滅下解.于是U（x，t）不可能在任何有限時(shí)刻熄滅.證畢.

注1 當(dāng)q＝m且aμ＝1時(shí)，易驗(yàn)證對(duì)任意的k＞0，kφ1／m（x）是問(wèn)題（1）的一個(gè)穩(wěn)態(tài)解.從而對(duì)任意光滑的正初值u0（x），問(wèn)題（1）的最大解U（x，t）是不熄滅的.

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