約束向量優化問題的像空間分析

羅 彬，王蓮明，張 謀

（1.重慶大學 數學與統計學院，重慶401331；2.大連理工大學 數學科學學院，遼寧 大連116024）

在像空間分析（ISA）中，約束向量優化問題的最優性條件可表示為一個參數系統的不可行性，或可等價地表示為約束向量優化問題像空間（IS）中兩個適當子集的分離.Chinaie等［1－2］用該方法研究了多值函數及最優解中多值函數的標量化問題；李軍等［3］用該方法研究了錐約束變分不等式問題并運用到交通平衡問題中；Mastroeni用該方法研究了約束優化的對偶問題［4］、向量擬平衡問題的鞍點和間隙函數［5］、錐序下的向量擬平衡問題［6］以及向量優化問題的錐分離［7］，并用該方法討論了向量優化問題的一些最優性條件［8－9］；文獻［10］用非線性標量化函數Δ分析非光滑優化問題的幾何形狀，并獲得了非凸優化問題的必要最優性條件.目前，該非線性標量化函數已被應用于各種優化問題［11－16］中.

本文使用非線性標量化函數Δ構造一個非線性弱分離函數和一個非線性正則弱分離函數，通過這些非線性分離函數得到約束向量優化問題的一些充分和必要的最優性條件.

1 預備知識

設Y，Z是兩個賦范空間，子集M?Y，分別用cl M，Mc，ri M，int M和?M表示M 的閉包、補集、相對代數內部、拓撲內部和邊界.令C是Y中的一個閉凸尖錐，則C的對偶錐為

其中Y＊是Y的對偶空間.

設S是一個度量空間，f是定義在S上的函數，α∈?，集合lev≥αf∶＝ ｛x∈S：f（x）≥α｝和lev＞αf∶＝｛x∈S：f（x）＞α｝分別稱為f的非負水平集和正水平集.

考慮如下約束向量優化問題：

定義集合：

無解，即Kx∩H＝?.

定義1 若函數w：Y×Z×Π→?（其中Π是一個參數系統）滿足下列兩個條件：

則w稱為弱分離函數.

由所有弱分離函數組成的集合記為W（Π）.

定義3 設Y是一個賦范空間，A是Y的一個子集，定義ΔA：Y→?∪｛±∞｝為

命題1［15］設A是Y的一個非空真子集，則有：

1）ΔA是實值的；

2）ΔA是1－Lipschizian的；

3）當y∈?A時，ΔA（y）＝0；

4）當y∈int A時，ΔA（y）＜0；

5）當y∈int Ac時，ΔA（y）＞0；

6）當A是一個錐時，ΔA是正齊次的.

2 分離函數

考慮如下非線性分離函數：

命題2 1）當（φ，λ）∈Π1＝H＊＼｛0X×Y｝時，非線性函數w1是一個弱分離函數；2）當（φ，λ）∈Π2＝int C＊×D＊時，非線性函數w1是一個正則弱分離函數.

證明：1）對任意的（φ，λ）∈Π1和（u，v）∈H，有φ（u）≥0和〈λ，v〉≥0.由命題1中3）和4），有

從而有

下證

若式（5）不成立，則存在（u，v）?H 滿足

對于（u，v）?H，分兩種情形討論：

情形1）若u?C＼｛0Y｝且v∈Z，則存在φ∈C＊，使得φ（u）≤0.令λ＝0Z，則有（φ，λ）∈Π1，但w1（u，v；φ，λ）＝φ（u）≤0，與式（6）矛盾.

情形2）若u∈Y且v?D，則存在λ∈D＊＼｛0Z｝，使得〈λ，v〉＜0.令φ＝0Y，則由命題1中5）得

與式（6）矛盾.

由式（4），（5）知w1∈W（Π1）.

2）由（φ，λ）∈Π2＝int C＊×D＊，與1）證明同理，有

下證

若式（8）不成立，則存在（u，v）?H 滿足

對于（u，v）?H，分兩種情形討論：

情形1）若u?C＼｛0Y｝且v∈Z，則存在φ∈C＊，使得φ（u）≤0.令λ＝0Z，則有（φ，λ）∈Π1，而w1（u，v；φ，λ）＝φ（u）≤0，與式（9）矛盾.

情形2）若u∈Y 且v?D，則存在λ∈D＊＼｛0Z｝，使得〈λ，v〉＜0.顯然當t＞0時，有tλ∈D＊＼｛0Z｝，由命題1中5）和6），得

與式（9）矛盾.

由式（7），（8）知w1∈W?（Π2）.

3 最優性條件

先建立擇一性定理，然后討論問題（1）的優化條件.由文獻［3］中弱擇一性定理和強擇一性定理類似可得：

定理1 系統（2）和系統：

不可能同時成立.

由文獻［3］中定理4.4.2類似可得：

定理2 系統（2）和系統：

不可能同時成立.

由定理1和定理2可得問題（1）解的一些充分條件和必要條件.

證明：必要性.先證明

因為w2是一個正則弱分離函數，所以式（15）的第一個等式成立.顯然式（15）的第二個等式也成立.下證

充分性.若式（14）成立，則

令x∈V，得

［1］Chinaie M，Zafarani J.Image Space Analysis and Scalarization of Multivalued Optimization ［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2009，142（3）：451－467.

［2］Chinaie M，Zafarani J.Image Space Analysis and Scalarization forε－Optimization of Multifuctions［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2013，157（3）：685－695.

［3］LI Jun，HUANG Nan－jing.Image Space Analysis for Variational Inequalities with Cone Constraints and Applications to Traffic Equilibria［J］.Science China：Mathematics，2012，55（4）：851－868.

［4］Mastroeni G.Some Applications of the Image Space Analysis to the Duality Theory for Constrained Extremum Problems［J］.Journal of Global Optimization，2010，46（4）：603－614.

［5］Mastroeni G.A Separation Approach to Vector Quasi－equilibrium Problems：Saddle Point and Gap Function［J］.Taiwanese Journal of Mathematics，2009，13（2B）：657－673.

［6］Mastroeni G.On the Image Space Analysis for Vector Quasi－equilibrium Problems with a Variable Ordering Relation［J］.Journal of Global Optimization，2012，53（2）：203－214.

［7］Mastroeni G，Pellegrini L.Conic Separation for Vector Optimization Problems［J］.Optimization，2011，60（1／2）：129－142.

［8］Mastroeni G.Optimality Conditions and Image Space Analysis for Vector Optimization Problems［M］.Berlin：Springer－Verlag，2012：169－220.

［9］KOU Xi－peng，PENG Xing－yuan，ZHU Sheng－kun.Second Order Optimality Conditions for Constrained Set－Valued Optimization Problems［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2012，50（2）：244－250.（寇喜鵬，彭興媛，朱勝坤.約束集值優化問題的二階最優性條件 ［J］.吉林大學學報：理學版，2012，50（2）：244－250.）

［10］Hiriart－Urruty J B.Tangent Cone，Generalized Gradients and Mathematical Programming in Bananch Spaces［J］.Mathematics of Operation Research，1979，4（1）：79－97.

［11］Li S J，Xu Y D，Zhu S K.Nonlinear Separation Approach to Constrained Extremum Problems［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2012，154（3）：842－856.

［12］Miglierina E.Characterization of Solutions of Multiobjective Optimization Problems［J］.Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo，2001，50（1）：153－164.

［13］Zaffaroni A.Degrees of Efficiency and Degrees of Minimality［J］.SIAM Journal on Control and Optimization，2003，42（3）：1071－1086.

［14］Clarke F H.Optimization and Nonsmooth Analysis［M］.New York：Wiley，1983.

［15］Miglierina E，Molho E.Scalarization and Stability in Vector Optimization［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2002，114（3）：657－670.

［16］Amahrop T，Taa A.On Lagrange Kuhn－Tucker Mulitipliers for Muliobjective Optimization Problems ［J］.Optimizations，1997，41（2）：159－172.