儒歇定理的推論、推廣及應(yīng)用

張 慶

（唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000）

儒歇（Rouche）定理是復(fù)變函數(shù)論中的一個(gè)著名定理，在理論和應(yīng)用上都有著極其重要的地位。利用儒歇定理可以考察函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及其分布情況。本文主要探討應(yīng)用儒歇定理給出復(fù)變函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及分布情況的方法以及儒歇定理的等價(jià)形式和推廣形式。

1 預(yù)備知識(shí)

引理1（輻角原理）[1]設(shè)C是一條圍線，若函數(shù) f(z)滿足以下條件：

（1）f(z)在C的內(nèi)部是亞純的（即除可能有極點(diǎn)外解析）；

（2）f(z)在C上解析且不為零；則有

注：條件（2）減弱為“f(z)連續(xù)到邊界C，且沿C有f(z)≠0”，則輻角原理的結(jié)論仍然成立。

引理 2（經(jīng)典儒歇（Rouche）定理）[2]設(shè)C是一條圍線，函數(shù)f(z)及φ(z)滿足以下條件：

（1）f(z)及φ(z)在C內(nèi)部均解析，且連續(xù)到C；

那么，

2 儒歇定理的推論與推廣

定理1設(shè)C是一條圍線，函數(shù)f(z)及g(z)滿足：

（1）f(z)及g(z)在C的內(nèi)部均解析，且連續(xù)到C；

則

證明 因?yàn)閒(z)及g(z)在C的內(nèi)部均解析，所以

在C內(nèi)解析，設(shè)

則由條件（2），在C上

由引理2，

又

因此

容易證明經(jīng)典的儒歇定理與上述定理1是等價(jià)的。

由儒歇定理可以得到如下推論：

（1）f(z)、φ(z)和ψ(z)在C的內(nèi)部均解析，且連續(xù)到C；

那么，

證明 由引理2有：

所以，

在這個(gè)推論中條件（2）可以換成：在C上

且

則結(jié)論仍然成立。

如果把經(jīng)典的儒歇定理的條件適當(dāng)放寬，即將條件（1）放寬為“函數(shù)f(z)及φ(z)在C的內(nèi)部亞純，且連續(xù)到C”其余條件不變，結(jié)論將相應(yīng)得到改變，這將得到經(jīng)典的儒歇定理的一個(gè)推廣。

定理 2（儒歇定理的推廣）設(shè)C是一條圍線，函數(shù)f(z)及φ(z)滿足以下條件：

（1）f(z)及φ(z)在C內(nèi)部亞純，且連續(xù)到C；

那么，

證明 由條件（2）知，在C上，

由引理1（輻角原理），有：

及

只需證明

成立。因?yàn)?/p>

所以

令

由條件（2），在C上

所以

所以

從而

因此結(jié)論成立。

3 儒歇定理的應(yīng)用

3.1 證明代數(shù)學(xué)基本定理

代數(shù)學(xué)基本定理：任何一個(gè)n次多項(xiàng)式

在復(fù)數(shù)域中有且只有n個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）。

該定理是代數(shù)學(xué)的基石，但用純粹的代數(shù)方法證明卻十分困難且繁雜，因此在高等代數(shù)教材中一般未給出它的證明；然而，利用儒歇定理卻可以給出簡(jiǎn)潔的證明。

證明 設(shè)

取

又

所以

因此，在圓周C上，

事實(shí)上，任取 z0在上或其外部，則

于是，

即z0不是n次多項(xiàng)式

的根。

綜上，n次多項(xiàng)式

在復(fù)數(shù)域中有且只有n個(gè)根。

3.2 確定在一定范圍內(nèi)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

確定n次多項(xiàng)式函數(shù)滿足一定條件的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及零點(diǎn)出現(xiàn)在什么范圍是復(fù)變函數(shù)論研究的重點(diǎn)理論問題，利用儒歇定理可以很容易解決此類問題。

例1 設(shè)n次多項(xiàng)式

并且

則

證明 設(shè)

而

所以，

注：進(jìn)一步利用例1的結(jié)論，可以確定多項(xiàng)式函數(shù)何處有零點(diǎn)，何處無零點(diǎn)。

除了關(guān)注多項(xiàng)式函數(shù)零點(diǎn)的研究，在此基礎(chǔ)上我們還關(guān)注多項(xiàng)式函數(shù)與某些基本初等解析函數(shù)的和得到的解析函數(shù)的零點(diǎn)問題的討論。

證明 設(shè)

由儒歇定理，

而

所以，

即

例3 證明：函數(shù)

證明 設(shè)

由儒歇定理，

而

所以，

即

3.3 證明零點(diǎn)定理

證明 若f(0)=0，則f(z)至少有一個(gè)零點(diǎn)0。

由儒歇定理，

從而，

3.4 證明不動(dòng)點(diǎn)存在問題

如果z(z)=f，則稱z是 f(z)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

證明 取

由儒歇定理

即存在z0，且，使

3.5 證明赫爾維茨（Hurwitz）定理

赫爾維茨定理[3]如果

證明 由已知及魏爾斯特拉斯定理[5]易知，f(z)在D內(nèi)解析，且設(shè)

所以，在C上，當(dāng)Nn＞時(shí)，

由定理1，得

以上給出了儒歇定理在五個(gè)方面的應(yīng)用，至于儒歇定理的推廣的應(yīng)用可參閱文獻(xiàn)[4]。

[1] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003:262.

[2] 余家榮復(fù)變函數(shù)[M].北京:人民教育出版社,1980:128.

[3] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書[M].北京:高等教育出版社,1996:326.

[4] 鐘玉泉.一個(gè)解析函數(shù)定理的推廣[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1990(1):86-87.

[5] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003:153.