平面溫度場的復勢研究

溫 建，王 莉，王慶祿

（1.武漢大學 物理科學與技術學院，湖北 武漢 430072，2.唐山師范學院 物理系，河北 唐山 063000；3.唐山師范學院 現代教育技術中心，河北 唐山 063000）

物理上及工程技術上常常需要研究各種各樣的場，例如電磁場、聲場、溫度場等[1]。對于與時間無關的恒定場，若在空間某方向上是均勻的，則在垂直于該方向的平面內，場的分布情況完全相同。這樣的場稱為平面場。比較常見的平面場有平面靜電場、平面無旋液流場、平面溫度場等。其中，平面溫度場是一種無旋無源平面場，可以用復勢理論[2,3]進行分析和研究。

馬仁和滕敦朋[2]用復勢理論研究了平面靜電場，證明了任意電力線既不相交也不相切。李秀燕和陳賜海[3]給出給出了無限長均勻帶電直線的復勢，討論了平行直線排列與平行環形排列兩種情況下，無限長均勻帶電直線組的復勢與電場，得出了相應的電場線與等勢線方程。張華和潘際鑾[4]采用圖象比色法建立了焊接溫度場實時檢測系統，快速獲取了二維焊接溫度場分布。他們的研究表明，雙橢圓熱源分布模型二維溫度場計算結果與實際溫度檢測結果最為接近。洪新蘭等[5]采用無單元法對平面熱應力問題進行了研究，求解了平面穩態溫度場的第一類邊值條件的溫度分布，并對其進行了熱應力分析，取得了較好的數值結果。這里，我們將討論穩恒的平面溫度場的復勢，計算其溫度分布。

1 平面溫度場的復勢

任何無旋無源平面向量場都有復勢[1]，任f (z )必有以它為復勢的無旋無源平面向量場何解析函數

即

因而

因此在單連通區域B內，

則

由此可得：

即為傅里葉定律。

在z軸方向上，溫度是恒定的，溫度的分布只是在垂直于z軸的橫向上有變化。令溫度為U(x, y)，它滿足

結合U(x,y)的邊界條件可求出平面溫度場的溫度分布，再根據柯西—黎曼方程可求出平面溫度場的熱流量函數，進而得出該平面溫度場的復勢

其中

為等溫線，

為熱流線族。

2 平面長方形溫度場分布

長為a，寬為b的矩形板，在達到穩定后x=0，y=0的兩個邊分別有熱量流入、流出，其熱流強度分別為q/b和q/a，而另外兩個邊均絕熱。該物理問題的數學表述為：

得

由柯西-黎曼方程

得

則相應的復勢為

令 k=1，q=8，a=0.8，b=0.5，由 MATLAB可以得出如圖1所示的長方體的矩形溫度分布。

圖1 橫截面長0.8寬0.5的矩形溫度場穩定分布

如圖1所示，熱流從左側流入，從下側流出，且上邊和右邊絕熱，溫度達到穩定分布。在（0.8, 0）點溫度最低。隨著y方向增加、x方向減小溫度逐漸增加，當到達點（0,0.5）時溫度最高。圖中曲線為等溫線，箭頭為熱量傳遞的方向。

3 圓柱體溫度場分布

如圖2所示，半徑為ρ0，表面熏黑了的長圓柱，在零度的空氣中受著陽光照射，陽光垂直于柱軸，熱流強度為q0。

圖2 受陽光照射的圓柱截面

泛定方程為ΔU=0，邊界條件為

f(φ)是熱流強度的法向分量。由題意可知：

定解問題為

由柯西-黎曼方程

得

取 a=1，H=1.5，k=0.3，h=0.2，q=5，應用 MATLAB可得圖3和圖4。

圖3為溫度穩定分布圖像，圓形橫截面上溫度在（0，-1）點溫度最低，為0度。在點（0,1）上溫度達到最大2.8度。圖像關于過（0，-1）（0,1）兩點的直線 l1對稱。令θ為半徑與直線 l1沿y軸正方向的夾角，則隨著θ的增大溫度逐漸地降低。圖4直觀地給示出該平面溫度場的等溫線。

圖3 受光照射圓柱溫度穩定分布圖

圖4 受光照射圓柱的等溫線

4 結論

平面溫度場為無旋無源平面場，一定存在復勢f(z)。物體溫度穩定分布可通過復勢方法來研究。本文利用柯西—黎曼公式求解熱傳導的定解問題得出了兩種典型平面溫度場的復勢f(z)，并應用MATLAB工具直觀地描繪出了溫度場的穩定分布圖像和等溫線。

[1] 梁坤淼.數學物理方法(第4版)[M].北京:高等教育出版社,2009:10-20.

[2] 馬仁,滕敦朋.關于電力線的一點討論[J].青島大學報,2001,14(2):27-29.

[3] 李秀燕,陳賜海.無限長均勻帶電直線組電場分布的復勢解法[J].大學物理,2010,29(1):23-25.

[4] 張華,潘際鑾.基于二維焊接溫度場檢測的三維溫度場計算模擬[J].焊接學報,1999,20(4):225-231.

[5] 洪新蘭,鄧苗毅,李炳南.無單元法在平面熱應力分析中的應用[J].河南科學,2004,22(4):455-457.